的周期为任意非零实数,但没有最小正周期错误正切函数在每个区间,上都是增函数,但在定义域内不是单调函数,故不是增函数错误当时的最大值为而当时,的最大值为正确由可知正确答案考点突破剖典例找规律考点例函数的定义域为榆林月考已知向量,设函数求的最小正周期求在,上的最大值和最小值三角函数的定义域与值域解析由题知和的图象,如图所示在,内,满足的为再结合正弦余弦函数的周期是,所以原函数的定义域为,答案,解,的最小正周期为,即函数的最小,上为增函数,符合故选由已知得,,,令则的最小正周期是解析周期为排除选项图象关于对称,即函数在处取得最值,排除选项又则函数在函数的对称中心为,对称轴方程为湖南六校联考若函数,的图象的条对称轴方程是,函数的图象的个对称中心是个值为菏泽模拟已知函数的周期为且的最大值为,则数是泉州模拟已知为偶函数,则可以取的的单调性规律进行求解图象法画出三角函数图象,利用图象求函数的单调区间三角函数的奇偶性周期性及对称性考点三例同时具有性质“周期为,图象关于直线对称,在,上是增函数”的函求得函数的增区间,由求得函数的减区间若,则利用诱导公式先将的符号化为正,再利用的方法,或根据复合函数,时,的减区间为,反思归纳形如的函数的单调区间的求法代换法若,把看作是个整体,由,变式本例中函数不变,求函数在,上的单调递减区间解时,的减区间为令得令得,故即,则,,,当时,答案,,,即,故函数的单调增区间为,,无单调减区间由,令,得,所以时,的减区间为得衡水调研已知,函数在,上单调递减,则的取值范围是三角函数的单调性解析可化为令,有最大值,且所以函数值域为,答案,,考点二例函数的减区间是函数的单调区间是,又因为,所以,所以当时,有最小值,且当时为函数的值域为解析由题意得,即,得,,所以函数的定义域为,因为的形式逐步分析的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域换元法把或看作个整体,可化为求函数在给定区间上的值域最值问题即时训练函数的定义域为的形式逐步分析的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域换元法把或看作个整体,可化为求函数在给定区间上的值域最值问题即时训练函数的定义域为函数的值域为解析由题意得,即,得,,所以函数的定义域为,因为,又因为,所以,所以当时,有最小值,且当时,有最大值,且所以函数值域为,答案,,考点二例函数的减区间是函数的单调区间是衡水调研已知,函数在,上单调递减,则的取值范围是三角函数的单调性解析可化为令,,得,所以时,的减区间为得,即,故函数的单调增区间为,,无单调减区间由,令,即,则,,,当时,答案,,,变式本例中函数不变,求函数在,上的单调递减区间解时,的减区间为令得令得,故,时,的减区间为,反思归纳形如的函数的单调区间的求法代换法若,把看作是个整体,由求得函数的增区间,由求得函数的减区间若,则利用诱导公式先将的符号化为正,再利用的方法,或根据复合函数的单调性规律进行求解图象法画出三角函数图象,利用图象求函数的单调区间三角函数的奇偶性周期性及对称性考点三例同时具有性质“周期为,图象关于直线对称,在,上是增函数”的函数是泉州模拟已知为偶函数,则可以取的个值为菏泽模拟已知函数的周期为且的最大值为,则函数的对称中心为,对称轴方程为湖南六校联考若函数,的图象的条对称轴方程是,函数的图象的个对称中心是则的最小正周期是解析周期为排除选项图象关于对称,即函数在处取得最值,排除选项又则函数在,上为增函数,符合故选由已知得,,,令,得,对称中心为,,由,得,对称轴方程为由题设,有,即,由此得到又,所以,从而,,,即,,而,所以,于是,故的最小正周期是答案,反思归纳求三角函数周期的方法利用周期函数的定义利用公式和的最小正周期为,的最小正周期为利用图象对含绝对值的三角函数的周期问题,通常要画出图象,结合图象进行判断三角函数的对称性奇偶性正弦余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形,正切函数图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心若为偶函数,则若为奇函数,则若求的对称轴,只需令,求若求的对称中心的横坐标,只需令,求即可助学微博求函数的单调区间时,应注意的符号闭区间上值域或最值问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的值域或最值问题,要讨论参数对值域或最值的影响利用换元法求三角函数值域或最值时要注意三角函数的有界性对于函数,其对称轴定经过图象的最高点或最低点,对称中心定是函数的零点,因此在判断直线或点,是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验的值进行判断思想方法融思想促迁移分类讨论思想在三角函数中的应用典例华约自主招生试题已知函数的最大值为,最小值为,求,的值解易知,令,则问题等价于在,上的最大值和最小值分别为和下面讨论对称轴与,的相对位置情况当,即时,在,上单调递减,则解得,当,即时,则消去得,解得∉可舍去综合可知方法点睛本题主要考查三角函数的有界性和二次函数的有关性质及利用有关性质解决二次函数在闭区间上的最值问题,体现分类讨论思想在解题中的应用般情况下,图象开口向下的二次函数的最大值问题应根据对称轴所在的位置分类讨论,而最小值则取两端点值中最小的当然,在分类讨论时还应注意题目中给出的参数的取值范围,不致画蛇添足即时训练已知函数的定义域为函数的最大值为,最小值为,求和的值解,由题意知,若,则解得,若,则解得,综上可知或,第节三角函数的图象与性质最新考纲能画出的图象,了解三角函数的周期性理解正弦函数余弦函数在,上的性质如单调性最大值和最小值,图象与轴的交点等,理解正切函数在区间,内的单调性编写意图三角函数的图象与性质是高考的重点,般会以选择或解答题的形式出现主要考查三角函数的定义域值域单调性奇偶性周期性对称性等本节按照上述要求设置三个考点,主要强化对三角函数图象性质的理解掌握在习题设置上突出了数学思想方法的应用,并在选题上引入了自主招生的数学试题放置在“思想方法”与“探究创新”中供同学们欣赏体验考点突破思想方法夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理正弦函数余弦函数正切函数的图象和性质见附表基础自测高考陕西卷函数的最小正周期是解析,选项正确烟台模拟下列四个函数中,最小正周期为,且图象关于直线对称的是解析因为最小正周期为,所以又图象关于直线对称,所以将代入函数解析式,应得到最值,验证知故选函数在区间,上的最小值为解析由,得所以即函数在,上的最小值为故选若函数,则的个递增区间为解析令,,则,令,得,故的个递增区间为,给出下列命题所有的周期函数都有最小正周期正切函数在定义域内是增函数,,则的最大值为是偶函数其中是假命题的是解析错误不是所有的周期函数都有最小正周期,如函数为常数的周期为任意非零实数,但没有最小正周期错误正切函数在每个区间,上都是增函数,但在定义域内不是单调函数,故不是增函数错误当时的最大值为而当时,的最大值为正确由可知正确答案考点突破剖典例找规律考点例函数的定义域为榆林月考已知向量,设函数求的最小正周期求在,上的最大值和最小值三角函数的定义域与值域解析由题知和的图象,如图所示在,内,满足的为再结合正弦余弦函数的周期是,所以原函数的定义域为,答案,解,的最小正周期为,即函数的最小正周期为,由正弦函数的性质,得当,即时,取得最大值当,即时当,即时的最小值为因此,在,上的最大值是,最小值是反思归纳三角函数定义域的求法求三角函数的定义域常借助三角函数线或三角函数图象来求解三角函数值域的三种求法直接法利用,的值域化法化为的形式逐步分析的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域换元法把或看作个整体,可化为求函数在给定区间上的值域最值问题即时训练函数的定义域为函数的值域为解析由题意得,即,得,,所以函数的定义域为,因为,又因为,所以,所以当时,有最小值,且当时,有最大值,且所以函数值域为,答案,,考点二例函数的减区间是函数的单调区间是衡水调研已知,函数在,上单调递减,则的取值范围是三角函数的单调性解析可化为令,的形式逐步分析的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域换元法把或看作个整体,可化为求函数在给定区间上的值域最值问题即时训练函数的定义域为函数的值域为解析由题意得,即,得,,所以函数的定义域为,因为,又因为,所以,所以当时,有最小值,且当时,有最大值,且所以函数值域为,答案,,考点二例函数的减区间是函数的单调区间是衡水调研已知,函数在,上单调递减,则的取值范围是三角函数的单调性解析可化为令,,得,所以时,的减区间为得,即,故函数的单调增区间为,,无单调减区间由,令,即,则,,,当时,答案,,,变式本例中函数不变,求函数在,上的单调递减区间解时,的减区间为令得令得,故,时,的减区间为,反思归纳形如的函数的单调区间的求法代换法若,把看作是个整体,由求得函数的增区间,由求得函数的减区间若,则利用诱导公式先将的符号化为正,再利用的方法,或根据复合函数的单调性规律进行求解图象法画出三角函数图象,利用图象求函数的单调区间三角函数的奇偶性周期性及对称性考点三例同时具有性质“周期为,图象关于直线对称,在,上是增函数”的函数是泉州模拟已知为偶函数,则可以取的个值为菏泽模拟已知函数的周期为且的最大值为,则函数的对称中心为,对称轴方程为湖南六校联考若函数,的图象的条对称轴方程是,函数的图象的个对称中心是则的最小正周期是解析周期为排除选项图象关于对称,即函数在处取得最值,排除选项又则函数在,上为增函数,符合故选由已知得为函数的值域为解析由题意得,即,得,,所以函数的定义域为,因为,有最大值,且所以函数值域为,答案,,考点二例函数的减区间是函数的单调区间是,,得,所以时,的减区间为得即,则,,,当时,答案,,,时,