时函数单调递增分所以的单调递减区间为单调递增区间为,分由知,时,函数在,内单调递减,故在,内不存在极值点分当时,设函数,,分因为,当,单调递增故在,内不存在两个极值点分当时,得,时函数单调递增所以函数的最小值为分函数在,内存在两个极值点当且仅当解得,分综上所述,函数在,内存在两个极值点时,的取值范围为,分答题模板用导数法求函数单调区间般可用以下几步答题第步求函数的定义域第二步求函数的导数第三步由解出相应的的范围方程的根检查在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么在这个根处取得极小值如果左右符号相同,则此根处不是极值点提醒值是综上,当时,的极大值是,极小值是反思归纳运用导数求可导函数的极值的步骤先求函数的定义域,再求函数的导数求若,函数单调递增若,函数单调递增此时是的极大值点,是的极小值点,函数的极大值是,极小的极大值是,极小值是当时,,所以函数在定义域,内单调递增,此时没有极值点,故无极值当时,当,函数单调递增若,函数单调递增此时是的极大值点,是的极小值点,函数已知,得在,处切线的斜率为,所以,即,所以,此时,故所求的切线方程为考点二例设,函数求曲线在,处与直线垂直的切线方程求函数的极值利用导数研究函数的极值解由,因为在,上单调递减,所以,所以若函数为,上的单调减函数,则在,上恒成立,不可能综上,实数的取值范围是,间由题意得,函数在,上是单调函数若函数为,上的单调增函数,则在,上恒成立,即在,上恒成立,设求实数的取值范围解由已知,函数的定义域为当时所以,则当,时,为的单调递增区母参数的函数的单调性需要根据参数的取值范围进行讨论即时训练长春模拟已知函数当时,求函数的单调区间若在,上是单调函数,范围,转化为在上不变号即或在上恒成立问题求解根据在区间上不单调,求参数取值范围,转化为方程在上无重复的实数根问题求解提醒含有字问题求解根据在区间上存在单调递增减区间,求参数取值范围,转化为或在上成立求解根据在区间上为单调函数,求参数取值取值范围是,,,反思归纳由函数的单调性求参数的取值范围的题型及求解策略根据在区间上单调递增减,求参数取值范围,转化为在上恒成立,当时,只要,即,解得或当时,函数在,内单调递增当时,只要,即,解得或综上可知的,单调递减区间是,当时函数在,上单调递增当时,函数的单调递增区间是,,单调递减区间是,根据的单调性解当时的解为,的解为,,函数的单调递增区间是的单调性解当时的解为,的解为,,函数的单调递增区间是单调递减区间是,当时函数在,上单调递增当时,函数的单调递增区间是,,单调递减区间是,根据,当时,只要,即,解得或当时,函数在,内单调递增当时,只要,即,解得或综上可知的取值范围是,,,反思归纳由函数的单调性求参数的取值范围的题型及求解策略根据在区间上单调递增减,求参数取值范围,转化为在上恒成立问题求解根据在区间上存在单调递增减区间,求参数取值范围,转化为或在上成立求解根据在区间上为单调函数,求参数取值范围,转化为在上不变号即或在上恒成立问题求解根据在区间上不单调,求参数取值范围,转化为方程在上无重复的实数根问题求解提醒含有字母参数的函数的单调性需要根据参数的取值范围进行讨论即时训练长春模拟已知函数当时,求函数的单调区间若在,上是单调函数,求实数的取值范围解由已知,函数的定义域为当时所以,则当,时,为的单调递增区间由题意得,函数在,上是单调函数若函数为,上的单调增函数,则在,上恒成立,即在,上恒成立,设,因为在,上单调递减,所以,所以若函数为,上的单调减函数,则在,上恒成立,不可能综上,实数的取值范围是,考点二例设,函数求曲线在,处与直线垂直的切线方程求函数的极值利用导数研究函数的极值解由已知,得在,处切线的斜率为,所以,即,所以,此时,故所求的切线方程为当,函数单调递增若,函数单调递增此时是的极大值点,是的极小值点,函数的极大值是,极小值是当时,,所以函数在定义域,内单调递增,此时没有极值点,故无极值当时,若,函数单调递增若,函数单调递增此时是的极大值点,是的极小值点,函数的极大值是,极小值是综上,当时,的极大值是,极小值是反思归纳运用导数求可导函数的极值的步骤先求函数的定义域,再求函数的导数求方程的根检查在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么在这个根处取得极小值如果左右符号相同,则此根处不是极值点提醒若函数在区间,内有极值,那么在,内不是单调函数,即在区间上单调函数没有极值即时训练设,其中为正实数当时,求的极值点若为上的单调函数,求的取值范围解对求导得当时,若,则,解得,结合,可知,↗↗极大值↘↘极小值↗↗所以是极小值点,是极大值点若为上的单调函数,则在上不变号,结合与条件,知在上恒成立,即,由此并结合,知所以的取值范围为利用导数研究函数的最值考点三例已知函数,其中,为自然对数的底数讨论函数的单调性求函数在区间,上的最大值解当时,由得,由得故函数在,上单调递增,在,和,上单调递减当时,在区间,上单调递增,其最大值为当,在区间,上单调递增,其最大值是当时,是函数在区间,上唯的极大值点,也就是最大值点,此时函数最大值是综上得当时,在,上的最大值是当时,在,上的最大值为反思归纳求函数在闭区间,上的最值时,首先可判断函数在,上的单调性,若函数在,上单调递增或单调递减,则,个为最大值,个为最小值若函数在,上不单调,般先求,上的极值,再与,比较,最大的即为最大值,最小的即为最小值提醒求极值最值时,要求步骤规范,表格齐全含参数时,要讨论参数的大小即时训练郑州模拟已知函数,求的单调区间求在区间,上的最本为元根据题意得,所以,从而由,且可得,故函数的定义域为,由知,故令,解得,因为不在定义域内,舍去当,时,故在,上为增函数当,时,故在,上为减函数由此可知,在处取得最大值,此时,即当,时,该蓄水池的体积最大反思归纳在求实际问题中的最大值或最小值时,般先设自变量因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相符合,用导数求解实际问题中的最大小值,如果函数在区间内只有个极值点,那么根据实际意义该极值点就是最值点即时训练教师备用吉林省吉林市二模蔬菜基地有批黄瓜进入市场销售,通过市场调查,预测黄瓜的价格单位元与时间单位天,,且的数据如下表时间价格根据上表数据,从下列函数中选取个函数描述黄瓜价格与上市时间的变化关系,其中,并求出此函数在日常生活中,黄瓜的价格除了与上市时间相关,与供给量也密不可分已知供给量在供给量的限定下,黄瓜实际价格求黄瓜实际价格的最小值解根据表中数据,表述黄瓜价格与上市时间的变化关系的函数不是单调函数,这与函数均具有单调性不符,所以,在的前提下,可选取二次函数进行描述把表格提供的三对数据代入该解析式得到,解得所以,黄瓜价格与上市时间的函数关系是,,且因为,所以,所以令,所以,即,所以或令,所以或又因为且,所以函数在区间,和,上是增函数同理函数在区间,上是减函数又,且,所以最小值,所以黄瓜价格的最小值约为元千克助学微博树立函数定义域优先的原则,求函数的单调区间和极值点等问题时须在函数的定义域内进行在区间内是函数在此区间上为增减函数的充分不必要条件可导函数在,上是增减函数的充要条件是对∀都有,且在,的任何子区间内都不恒为零对于可导函数,是函数在处有极值的必要不充分条件若函数在定义域上存在最大值与最小值,则对任意⇔存在⇔在实际问题中,如果函数在区间内只有个极值点,那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较规范答题得高分有依据利用导数确定函数的单调区间问题典例分高考山东卷设函数为常数,是自然对数的底数当时,求函数的单调区间若函数在,内存在两个极值点,求的取值范围满分展示解函数的定义域为,分分由可得,分所以当,时函数单调递增分所以的单调递减区间为单调递增区间为,分由知,时,函数在,内单调递减,故在,内不存在极值点分当时,设函数,,分因为,当,单调递增故在,内不存在两个极值点分当时,得,时函数单调递增所以函数的最小值为分函数在,内存在两个极值点当且仅当解得,分综上所述,函数在,内存在两个极值点时,的取值范围为,分答题模板用导数法求函数单调区间般可用以下几步答题第步求函数的定义域第二步求函数的导数第三步由解出相应的的范围第四步写出函数的单调区间第五步反思回顾查看关键点,易错点和解题规范第节导数在研究函数中的应用最新考纲了解函数的单调性与导数的关系能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间其中多项式函数不超过三次了解函数在点取得极值的必要条件和充分条件会用导数求函数的极大值极小值其中多项式函数不超过三次会求闭区间上函数的最大值最小值其中多项式函数不超过三次会利用导数解决实际问题编写意图利用导数求函数的单调区间及极值最值结合单调性与不等式恒成立情况求参数范围是高考命题的热点,常与基本初等函数的图象与性质解析几何不等式方程等交汇命题,主要考查转化与化归思想分类讨论思想的应用,题型主要以解答题为主,属中高档题本节围绕高考命题的规律进行设点选题,重点突出利用导数研究函数的单调性利用导数求函数单调区间利用导数研究函数的极值与最值以及利用导数解决生活中的最优化问题,难点突破含参函数的单调性极值与最值问题,利用函数的单调性或极值与最值情况确定参数的取值或取值范围,分类讨论思想转化与化归思想数形结合思想的应用,答题模板栏目突破了利用导数确定函数单调区间的般步骤,规范了思维,序化了答题课时训练以考查基础知识基本方法和基本技能为主,精挑细选,立题新颖,题题都有可能会是高考命题的再生点考点突破规范答题夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理函数的单调性与导数函数在个区间内可导若,则在这个区间内若,则在这个区间内如果在个区间内恒有,则为常函数单调性的应用若函数在区间,上单调,则在该区间上不变号单调递增单调递减质疑探究若函数在,内单调递增,那么定有吗是否是在,内单调递增的充要条件提示函数在,内单调递增,则是在,内单调递增的充分不必要条件函数的极值与导数函数极小值的概念函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都小在点附近的左侧,右侧则点叫做函数的,叫做函数的函数极大值的