基础自测不等式的解集是,,,解析原不等式化为,方程的两根为,所以原不等式的解集为故选广东惠州模拟不等式的解集为,,,,解析原不等式化为即解得故选不等式的解集为,则的值为解析由题知方程的两根为,≨,≨故选高考重庆卷关于的不等式的解集为且,则等于解析由可解得,由题意知且,≨故选下列命题若不等式若不等式的解集为,应方程的判别式三求求出对应的元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根四写写出不等式的解集考点二含参数的元二次不等式的解法例解关于的不等式,当时,不等式,又≧方程的两根为≨即,反思归纳解元二次不等式的般步骤化把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式二判计算对由题知,由,得,即不等式的解集为的解集为,知,且方程的两根为解法考点例解下列不等式的解集是求,解原不等式可化为,方程有两个不相等的实根所以原不等式的解集为的解集为不等式在上恒成立的条件是的解集为,故错误对于,若则,在上也恒成立,故错误答案考点突破剖典例找规律元二次不等式的,≨所以的取值范围是,变式例中变为若不等式对,的两根是和若方程没有实数根,则不等式对于,恒成立,只需求的最小值,记,记,在,上为增函数,则在,上为减函数,≨取值范围解当时恒成立,当时,则即综上,故的取值范围是,不等式,≨元二次不等式恒成立问题考点三例已知函数若对于恒成立,求实数的取值范围若对于恒成立,求实数的解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式即时训练解关于的不等式时,时,不等式的解集为当时,不等式的解集为思归纳解含参数的元二次不等式的步骤二次项系数若含有参数应讨论二次项系数是小于,还是大于,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式判断方程的根的个数,讨论判别式与的关系确定无根时可直接写出,不等式的解集为时,不等式的解集为当,≨不等式的解集为或或当时,不等式的解集为反判别式三求求出对应的元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根四写写出不等式的解集考点二含参数的元二次不等式的解法例解关于的不等式,当时,不等式可化为又≧方程的两根为≨即,反思归纳解元二次不等式的般步骤化把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式二判计算对应方程的由题知,由,得,即不等式的解集为的解集为,知,且方程的两根为,例解下列不等式的解集是求,解原不等式可化为,方程有两个不相等的实根所以原不等式的解集为为不等式在上恒成立的条件是的解集为,故错误对于,若则,在上也恒成立,故错误答案考点突破剖典例找规律元二次不等式的解法考点为不等式在上恒成立的条件是的解集为,故错误对于,若则,在上也恒成立,故错误答案考点突破剖典例找规律元二次不等式的解法考点例解下列不等式的解集是求,解原不等式可化为,方程有两个不相等的实根所以原不等式的解集为由题知,由,得,即不等式的解集为的解集为,知,且方程的两根为,又≧方程的两根为≨即,反思归纳解元二次不等式的般步骤化把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式二判计算对应方程的判别式三求求出对应的元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根四写写出不等式的解集考点二含参数的元二次不等式的解法例解关于的不等式,当时,不等式可化为,不等式的解集为时,不等式的解集为当,≨不等式的解集为或或当时,不等式的解集为反思归纳解含参数的元二次不等式的步骤二次项系数若含有参数应讨论二次项系数是小于,还是大于,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式判断方程的根的个数,讨论判别式与的关系确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式即时训练解关于的不等式时,时,不等式的解集为当时,不等式的解集为元二次不等式恒成立问题考点三例已知函数若对于恒成立,求实数的取值范围若对于恒成立,求实数的取值范围解当时恒成立,当时,则即综上,故的取值范围是,不等式,≨对于,恒成立,只需求的最小值,记,记,在,上为增函数,则在,上为减函数,≨,≨所以的取值范围是,变式例中变为若不等式对,的两根是和若方程没有实数根,则不等式的解集为不等式在上恒成立的条件是的解集为,故错误对于,若则,在上也恒成立,故错误答案考点突破剖典例找规律元二次不等式的解法考点例解下列不等式的解集是求,解原不等式可化为,方程有两个不相等的实根所以原不等式的解集为由题知,由,得,即不等式的解集为的解集为,知,且方程的两根为,又≧方程的两根为≨即,反思归纳解元二次不等式的般步骤化把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式二判计算对应方程的判别式三求求出对应的元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根四写写出不等式的解集考点二含参数的元二次不等式的解法例解关于的不等式,当时,不等式可化为,不等式的解集为时,不等式的解集为当,≨不等式的解集为或或当时,不等式的解集为反思归纳解含参数的元二次不等式的步骤二次项系数若含有参数应讨论二次项系数是小于,还是大于,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式判断方程的根的个数,讨论判别式与的关系确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式即时训练解关于的不等式时,时,不等式的解集为当时,不等式的解集为元二次不等式恒成立问题考点三例已知函数若对于恒成立,求实数的取值范围若对于恒成立,求实数的取值范围解当时恒成立,当时,则即综上,故的取值范围是,不等式,≨对于,恒成立,只需求的最小值,记,记,在,上为增函数,则在,上为减函数,≨,≨所以的取值范围是,变式例中变为若不等式对,恒成立,求实数的取值范围解设,其图象是直线,当,时,图象为条线段,则即解得,故的取值范围为,变式例中条件“恒成立”改为“无解”,如何求的取值范围解若无解,即恒成立,即恒成立,又得即的取值范围为,变式例条件“恒成立”改为“存在,使成立”,如何求的取值范围解由题知有解,即有解,则,又得即的取值范围为,反思归纳解决恒成立问题定要分清哪个为变量哪个为参数般地,知道范围的为变量,所求量为参数元二次不等式恒成立的条件恒成立的充要条件是,恒成立的充要条件是,助学微博对于不等式或的求解,联想二次函数的图象与轴的交点,方程的根,运用好“三个二次”间的关系二次项系数中含有参数时,有时需分类讨论,尤其注意对二次项系数是否为零的讨论解含参数的元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论若不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏思想方法融思想促迁移数形结合思想在不等式问题中的应用典例若时,均有,则解析当时,对,恒有,恒有,由于二次函数的图象开口向上,≨式不恒成立,即时,原不等式不会恒成立当时,令两函数图象都过定点,≧在,上单调递增,且与轴的交点为,≨当,时,时,又≧二次函数的对称轴为,因此只需与轴的右交点与点,重合,如图所示,则命题成立≨点,在的图象上,则整理得,≨综合知,满足条件的实数答案方法点睛本题解题关键是对参数分类讨论,而讨论的关键是正确把握其分类标准,在讨论时要注意在参数的取值范围内,要讨论所有的取值,且做到不重不漏用函数思想研究方程和不等式是高考的热点,二次函数的图象位置与相应二次不等式的解集的范围相互联系,可相互转化,从而使问题快速获解二次函数与元二次不等式的核心是二次函数的图象,理清三个“二次”间的关系是基础,转化是桥梁,运用函数思想数形结合思想解题,往往能够达到事半功倍的解题效果即时训练高考新课标全国卷Ⅱ若存在正数使,使故选第节元二次不等式及其解法最新考纲会从实际情境中抽象出元二次不等式模型通过函数图象了解元二次不等式与相应的二次函数元二次方程的联系会解元二次不等式,对给定的元二次不等式,会设计求解的程序框图编写意图解不等式,几乎每年高考均有所考查,有时以求定义域或考查集合间的关系出现在选择题填空题中,有时会与函数三角函数解析几何,向量等知识交汇出现在解答题中本节重点突出元二次不等式的解法元二次不等式恒成立问题,难点突破含参数元二次不等式的解法及分类讨论思想的运用,课时训练以考查基础知识为主,兼顾与其他知识的交汇考点突破思想方法夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理元二次不等式与相应的二次函数及元二次方程的关系质疑探究在不等式中,如果二次项系数,如何求解提示可根据不等式的性质,将二次项系数转化为正数,再对照上表求解,但要注意在转化过程中不等号的变化见附表元二次不等式的求解过程用程序框图表示为分式不等式与元二次不等式的关系等价于等价于等价于,等价于,基础自测不等式的解集是,,,解析原不等式化为,方程的两根为,所以原不等式的解集为故选广东惠州模拟不等式的解集为,,,,解析原不等式化为即解得故选不等式的解集为,则的值为解析由题知方程的两根为,≨,≨故选高考重庆卷关于的不等式的解集为且,则等于解析由可解得,由题意知且,≨故选下列命题若不等式若不等式的解集为,,,则方程的两根是和若方程没有实数根,则不等式的解集为不等式在上恒成立的条件是的解集为,故错误对于,若则,在上也恒成立,故错误答案考点突破剖典例找规律元二次不等式的解法考点例解下列不等式的解集是求,解原不等式可化为,方程有两个不相等的实根所以原不等式的解集为由题知,由,得,即不等式的解集为的解集为,知,且方程的两根为,又≧方程的两根为≨即,反思归纳解元二次不等式的般步骤化把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式二判计算对应方程的判别式三求求出对应的元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根四写写出不等式的解集考点二含参数的元二次不等式的解法例解关于的不等式,当时,不等式可化为,不等式的解集为时,不等式的解集为当,≨不等式的解集为或或当时,不等式的解集为反思归纳解含参数的元二次不等式的步骤二次项系数若含有参数应讨论二次项系数是小于,还是大于,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式判断方程的根的个数,讨论判别