求证四点共面三线共点如图所示,在四面体中作截面,若的延长线交于点,的延长线交于点,的延长线交于点,求证三点共线证明连接分别是的中点,又,,四点共面,与必相交,设交点为,则由,平面,得平面同理平面又平面∩平面,直线,三线共点证明,直线平面,,直线平面,是平面与平面的个公共点,即在平面与平面的交线上同理可证也在平面与平面的交线上又如果两个平面有个公共点,那么它们有且只有条过该点的公共直线,三点共线反思归纳共面共线共点问题的证明证明点或线共面问题,般有两种途径首先由所给条件中的部分线或点确定个平面,然后再证其余的线或点在这个答案证明点线共面的依据是公理证明点共线的依据是公理常常构造正长方体判断直线的位置关系,也可以运用反证法判得为等边三角形,故选取的中点,连接,易得�,于是可得,则为异面直线与所成的角,在中分别为的中点,则与所成角的余弦值为解析如图延长到,使得,则四边形为平行四边形,就是异面直线与所成的角,又由中,若⊥平面,则异面直线与所成的角等于四棱锥中,⊥平面,为正方形,作平行线平移补形平移求异面直线所成角的三个步骤作通过作平行线,得到相交直线证证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角算通过解三角形,求出该角即时训练三棱柱,,所以异面直线和所成角的余弦值为反思归纳找异面直线所成的角的三种方法利用图中已有的平行线平移利用特殊点线段的端点或中点与是异面直线解取的中点,连接,则,所以或其补角就是异面直线和所成的角⊥平面,与是异面直线求异面直线和所成角的余弦值证明假设与共面,设平面为,,,,平面即为平面,平面,这与∉平面矛盾,所以,⊥,又,所以⊥,即正确答案异面直线所成的角考点三例如图所示,三棱锥中,⊥平面,是的中点求证个命题中,正确命题的序号是解析正四面体如图,与为异面直线,即不正确与为异面直线,即正确为正三角形,即正确连接则⊥,⊥,于是⊥平面来解决即时训练如图是正四面体的平面展开图,分别为的中点,在这个正四面体中,与平行与为异面直线与成角与垂直以上四置关系的判定,主要是异面平行和垂直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法对于平行直线,可利用三角形梯形中位线的性质公理及线面平行与面面平行的性质定理对于垂直关系,常常利用线面垂直的性质所在直线中与直线是异面直线的有条解析正方体共条棱与平行的有条与相交的有条与异面的有条,答案反思归纳空间中两直线位是异面直线,直线与也是异面直线,所以错误点在平面中,点在此平面外,所以是异面直线同理也是异面直线答案变式例中正方体的棱交直线直线与是平行直线直线与是异面直线直线与是异面直线其中正确的结论为注把你认为正确的结论的序号都填上思维导引根据两直线的三种位置关系作判断解析直线与线共点问题,常用的方法是先证其中两条直线交于点,再证其他直线经过该点考点二空间两条直线的位置关系例正方体中,分别为棱的中点,有以下四个结论直线与是相平面内将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合证明点共线问题,般有两种途径先由两点确定条直线,再证其他各点都在这条直线上直接证明这些点都在同条特定的直线上证明线平面内将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合证明点共线问题,般有两种途径先由两点确定条直线,再证其他各点都在这条直线上直接证明这些点都在同条特定的直线上证明线共点问题,常用的方法是先证其中两条直线交于点,再证其他直线经过该点考点二空间两条直线的位置关系例正方体中,分别为棱的中点,有以下四个结论直线与是相交直线直线与是平行直线直线与是异面直线直线与是异面直线其中正确的结论为注把你认为正确的结论的序号都填上思维导引根据两直线的三种位置关系作判断解析直线与是异面直线,直线与也是异面直线,所以错误点在平面中,点在此平面外,所以是异面直线同理也是异面直线答案变式例中正方体的棱所在直线中与直线是异面直线的有条解析正方体共条棱与平行的有条与相交的有条与异面的有条,答案反思归纳空间中两直线位置关系的判定,主要是异面平行和垂直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法对于平行直线,可利用三角形梯形中位线的性质公理及线面平行与面面平行的性质定理对于垂直关系,常常利用线面垂直的性质来解决即时训练如图是正四面体的平面展开图,分别为的中点,在这个正四面体中,与平行与为异面直线与成角与垂直以上四个命题中,正确命题的序号是解析正四面体如图,与为异面直线,即不正确与为异面直线,即正确为正三角形,即正确连接则⊥,⊥,于是⊥平面,⊥,又,所以⊥,即正确答案异面直线所成的角考点三例如图所示,三棱锥中,⊥平面,是的中点求证与是异面直线求异面直线和所成角的余弦值证明假设与共面,设平面为,,,,平面即为平面,平面,这与∉平面矛盾,所以与是异面直线解取的中点,连接,则,所以或其补角就是异面直线和所成的角⊥平面,所以异面直线和所成角的余弦值为反思归纳找异面直线所成的角的三种方法利用图中已有的平行线平移利用特殊点线段的端点或中点作平行线平移补形平移求异面直线所成角的三个步骤作通过作平行线,得到相交直线证证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角算通过解三角形,求出该角即时训练三棱柱中,若⊥平面,则异面直线与所成的角等于四棱锥中,⊥平面,为正方形,分别为的中点,则与所成角的余弦值为解析如图延长到,使得,则四边形为平行四边形,就是异面直线与所成的角,又由得为等边三角形,故选取的中点,连接,易得�,于是可得,则为异面直线与所成的角,在中答案证明点线共面的依据是公理证明点共线的依据是公理常常构造正长方体判断直线的位置关系,也可以运用反证法判断与为异面直线与成角与垂直以上四个命题中,正确命题的序号是解析正四面体如图,与为异面直线,即不正确与为异面直线,即正确为正三角形,即正确连接则⊥,⊥,于是⊥平面,⊥,又,所以⊥,即正确答案异面直线所成的角考点三例如图所示,三棱锥中,⊥平面,是的中点求证与是异面直线求异面直线和所成角的余弦值证明假设与共面,设平面为,,,,平面即为平面,平面,这与∉平面矛盾,所以与是异面直线解取的中点,连接,则,所以或其补角就是异面直线和所成的角⊥平面,所以异面直线和所成角的余弦值为反思归纳找异面直线所成的角的三种方法利用图中已有的平行线平移利用特殊点线段的端点或中点作平行线平移补形平移求异面直线所成角的三个步骤作通过作平行线,得到相交直线证证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角算通过解三角形,求出该角即时训练三棱柱中,若⊥平面,则异面直线与所成的角等于四棱锥中,⊥平面,为正方形,分别为的中点,则与所成角的余弦值为解析如图延长到,使得,则四边形为平行四边形,就是异面直线与所成的角,又由得为等边三角形,故选取的中点,连接,易得�,于是可得,则为异面直线与所成的角,在中答案证明点线共面的依据是公理证明点共线的依据是公理常常构造正长方体判断直线的位置关系,也可以运用反证法判断两直线为异面直线求两条异面直线所成角的大小,般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,往往可以选在其中条直线上线段的端点或中点利用三角形求解助学微博思想方法融思想促迁移构造法研究空间线线的位置关系典例在正方体中分别为棱,的中点,则在空间中与三条直线都相交的直线有条解析法如图所示,在上任意取点,直线与确定个平面,这个平面与有且仅有个交点,当取不同的位置时就确定不同的平面,从而与有不同的交点,而直线与这条异面直线都有交点即满足条件的直线有无数条法二在上任取点图略,过点与直线作平面,因与平面不平行,所以它们相交,设它们交于点,连接,则与必然相交,即为所求直线由点的任意性,知有无数条直线与三条直线都相交答案无数方法点睛本题利用构造平面的方法将问题转化为直线和平面的交点问题,使抽象问题具体化当遇到线面位置关系不好直接判断时也可构造正长方体与特殊几何体判断即时训练高考广东卷若空间中四条两两不同的直线满足⊥,⊥,⊥,则下列结论定正确的是⊥与既不垂直也不平行与的位置关系不确定解析如图所示长方体中,⊥,⊥,与垂直时,可以在下底面内任意转动,也可以平移至上底面内,所以与的位置关系不确定故选第节空间点直线平面的位置关系最新考纲理解空间直线平面位置关系的定义了解四个公理和等角定理能运用公理定理和已获得的结论证明些空间位置关系的简单命题编写意图空间点线面的位置关系是立体几何的基础,也是高考重点考查的内容之,难度不大本节围绕平面基本性质及其应用,空间点线面位置关系及两异面直线所成角这些重点,精心选题,重点解决两直线位置关系的判断问题及求异面直线所成角的方法,了解构造法在分析空间点线面位置关系中的应用考点突破思想方法夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理平面的基本性质及相关公定理见附表空间中点线面之间的位置关系见附表质疑探究分别在两个平面内的直线就是异面直线吗提示不是异面直线是不同在任何个平面内的两条直线,指的是找不出个平面同时经过这两条直线,分别在两个平面内的直线可以平行异面或相交异面直线所成的角定义设是两条异面直线,经过空间中任点作直线,,把与所成的叫做异面直线与所成的角锐角或直角范围,基础自测福建师大附中模拟如图是正方体或四面体,分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的个图是解析图中四点定共面,中四点不共面故选高考安徽卷在下列命题中,不是公理的是平行于同个平面的两个平面相互平行过不在同条直线上的三点,有且只有个平面如果条直线上的两点在个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内如果两个不重合的平面有个公共点,那么他们有且只有条过该点的公共直线解析选项是面面平行的性质定理,不是公理故选下列命题中,正确命题的个数是平行于同直线的两直线平行垂直于同直线的两直线平行条直线和两平行线中的条相交,也必和另条相交若直线与相交,与相交,则与相交若直线,与成等角,则解析显然正确借助正方体知错故选若直线不平行于平面,且⊄,则内的所有直线与异面内不存在与平行的直线内存在唯的直线与平行内的直线与都相交解析由题意可设∩,内直线若经过点,则与直线相交若不经过点,则与直线异面故选山东潍坊高三月考已知正四棱柱侧棱与底面垂直,底面是正方形中为中点,则异面直线与所成的角的余弦值为解析如图,连接,,为所求设,答案考点突破剖典例找规律平面的基本性质及应用考点例如图所示,在正方体中,分别是和的中点求证四点共面三线共点如图所示,在四面体中作截面,若的