间的距离公式中点公式距离公式设点则点与坐标原点之间的距离为中点公式设点为线段的中点,其中则有空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中,具有的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的单位向量长度或模为的向量零向量长度或模为的向量相等向量方向且模的向量相反向量方向且模的向量共线向量或平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线,则这些向量叫做共线向量或平行向量,平行于记作共面向量平行于同个的向量叫做共面向量大小和方向长度或模相同相等相反相等互相平行或重合平面空间向量的有关定理及推论见附表空间向量的数量积与坐标运算数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量,在空间任取点,作,,则叫做向量与的夹角,记作,其范围是若,则称向量与互相垂直,记作若,则称向量与同向共线,若,设,,,试用表示,解,解得,点的坐标为答案考点二空间向量的线性运算例如图,在平行六面体中为的重心坐标是已知点点在轴上,且,则点的坐标为解析横坐标不变其余变为原来的相反数,故为设两点间距离公式的应用求两点间的距离或线段的长度已知两点间的距离,确定坐标中参数的值根据已知条件探求满足条件的点的存在性即时训练点关于轴对称的点的线面的对称点的坐标点线面对称点坐标原点轴轴轴坐标平面坐标平面坐标平面的投影根据空间两点间距离公式得所以,当时,取最小值答案反思归纳点关于各点,则的最小值是思维导引按照对称投影关系逐次解之使用空间两点间的距离公式建立关于的函数,根据函数的最小值解之解析,该点在上答案考点突破剖典例找规律空间直角坐标系考点例在空间直角坐标系中,点关于坐标原点的对称点为,则在上的投影的坐标是已知点,,,为的中点,为的中点,则用表示解析如图,,则解析因为所以答案在四面体中,,,则,,因此已知向量,向量两两的夹角均为,且,,,则等于解析设关于轴的对称点为解析关于轴对称,横纵坐标变为原来的相反数,竖坐标不变故选大庆月考平行六面体中,好围成封闭图形,正确中当同向时,应有,不正确中所在直线可能重合,不正确中需满足,才有四点共面,不正确故选共线的三点,若其中,则四点共面其中不正确命题的个数是解析中四点恰是空间任意四点,则有是共线的充要条件若共线,则与所在直线平行对空间任意点与不共是空间任意四点,则有是共线的充要条件若共线,则与所在直线平行对空间任意点与不共线的三点,若其中,则四点共面其中不正确命题的个数是解析中四点恰好围成封闭图形,正确中当同向时,应有,不正确中所在直线可能重合,不正确中需满足,才有四点共面,不正确故选关于轴的对称点为解析关于轴对称,横纵坐标变为原来的相反数,竖坐标不变故选大庆月考平行六面体中,向量两两的夹角均为,且,,,则等于解析设,,,则,,因此已知向量则解析因为所以答案在四面体中,,,,为的中点,为的中点,则用表示解析如图,答案考点突破剖典例找规律空间直角坐标系考点例在空间直角坐标系中,点关于坐标原点的对称点为,则在上的投影的坐标是已知点,,则的最小值是思维导引按照对称投影关系逐次解之使用空间两点间的距离公式建立关于的函数,根据函数的最小值解之解析,该点在上的投影根据空间两点间距离公式得所以,当时,取最小值答案反思归纳点关于各点线面的对称点的坐标点线面对称点坐标原点轴轴轴坐标平面坐标平面坐标平面两点间距离公式的应用求两点间的距离或线段的长度已知两点间的距离,确定坐标中参数的值根据已知条件探求满足条件的点的存在性即时训练点关于轴对称的点的坐标是已知点点在轴上,且,则点的坐标为解析横坐标不变其余变为原来的相反数,故为设,解得,点的坐标为答案考点二空间向量的线性运算例如图,在平行六面体中为的重心,设,,,试用表示,解即时训练如图,已知分别为四面体的面与面的重心,且为上点,且∶∶设,,,试用表示,解,共线共面定理的应用考点三例如图所示,已知四边形是平行四边形,点是四边形所在平面外点,连接设点分别为的重心试用向量方法证明四点共面试判断平面与平面的位置关系,并用向量方法证明你的判断证明分别延长交对边于因为分别是所在三角形的重心,所以分别为所在边的中点,顺次连接得到的四边形为平行四边形,且有,,,分别是棱和的中点,求证四点共面证明取,则,与共面即四点共面空间向量的数量积与坐标运算考点四例已知空间三点设,,求和的夹角的余弦值若向量与互相垂直,求的值解,,,和的夹角的余弦值为,且⊥解得或反思归纳求空间向量数量积的方法定义法设向量的夹角为,则坐标法设则数量积的应用求夹角设非零向量的夹角为,则,进而可求两异面直线所成的角求长度距离运用公式,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题解决垂直问题利用⊥,,可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题即时训练已知向量且与互相垂直,则的值是已知向量,满足条件且与互相垂直,则与的夹角为解析由题意得,即,即,解得故选由于与互相垂直,则,即,所以,则,则,所以与的夹角为答案利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题般用向量共线定理点或线共面问题般用共面定理求两点间距离或线段的长度,般用向量的模来解决解决垂直问题般可转化为向量的数量积为零求异面直线所成的角,般可以转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不同,最后应进行转化助学微博思想方法融思想促迁移转化思想在空间向量解决立体几何问题中的应用典例已知矩形,将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折,在翻折过程中存在个位置,使得直线与直线垂直存在个位置,使得直线与直线垂直存在个位置,使得直线与直线垂直对任意位置,三对直线“与”,“与”,“与”均不垂直解析如图所示,在图中,易知,在图中,设,,,则,设,则,,故,故与不垂直,不正确,,所以当,即时,,故正确,,所以,故无论为何值,,故不正确故选方法点睛本题直接利用空间点线面位置关系证明较复杂,寻找合适的基向量,利用基向量表示相应向量将线线垂直关系转化为向量数量积求解,简化了运算过程,体现了转化思想的应用即时训练如图,在四面体中,若⊥,⊥,试证⊥证明取,,,由已知⊥,⊥,即得,则⊥第节空间直角坐标系空间向量及其运算最新考纲了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置会简单应用空间两点间的距离公式了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示掌握空间向量的线性运算及其坐标表示掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直编写意图空间向量是解决空间几何问题的有力工具,本节主要包括空间直角坐标系的建立及应用,空间向量的线性运算及坐标运算,数量积运算及应用,共线共面定理的应用,重点突破空间向量解决空间图形中平行垂直问题考点突破思想方法夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理空间直角坐标系及有关概念空间直角坐标系以空间点为原点,建立三条两两垂直的数轴轴轴轴这时我们说建立了个空间直角坐标系,其中点叫做,轴轴轴叫做,通过每两个坐标轴的平面叫做右手直角坐标系在空间直角坐标系中,让右手拇指指向轴的正方向,食指指向轴的正方向,如果中指指向的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系坐标原点坐标轴坐标平面轴空间点的坐标空间点的坐标可以用有序实数组来表示,记作,其中叫做点的,叫做点的,叫做点的质疑探究在空间直角坐标系中,在轴上的点的坐标怎么记在轴上的点的坐标怎么记在轴上的点的坐标怎么记提示可记作可记作可记作横坐标纵坐标竖坐标空间两点间的距离公式中点公式距离公式设点则点与坐标原点之间的距离为中点公式设点为线段的中点,其中则有空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中,具有的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的单位向量长度或模为的向量零向量长度或模为的向量相等向量方向且模的向量相反向量方向且模的向量共线向量或平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线,则这些向量叫做共线向量或平行向量,平行于记作共面向量平行于同个的向量叫做共面向量大小和方向长度或模相同相等相反相等互相平行或重合平面空间向量的有关定理及推论见附表空间向量的数量积与坐标运算数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量,在空间任取点,作,,则叫做向量与的夹角,记作,其范围是若,则称向量与互相垂直,记作若,则称向量与同向共线,若,则称向量与反向共线两向量的数量积已知两个非零向量,则叫做向量的数量积,记作,即,⊥两个向量数量积的性质和结论已知两个非零向量和其中为单位向量⊥⇔空间向量数量积的运算律数乘结合律交换律分配律向量坐标的定义设为空间三个两两垂直的单位向量,如果,则叫做向量的坐标空间向量运算的坐标表示设那么加减运算数量积夹角公式