⊥,⊥,⊥平面,⊥,⊥,分四边形是矩形分解法如图,以为坐标原点建立空间直角坐标系,则,,分设平面的法向量,,得取,分分法二如图,以为坐标原点建立空间直角坐标系,则是的中点分别为,的中点,得,,分设平面的法向量,则,得交于点,连接,设,,则而即,令,可得同理可得即,由,得平面平面法如图,连接,与,设为平面的法向量,设为平面的法向量则中,为的中点,求证平面⊥平面证明建立如图所示的空间直角坐标系,则得,用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外,只要证明两平面的法向量垂直即可即时训练已知正方体的棱长为,分别为的中点,求证平面平面在正方体的方向向量与平面内的任意条直线的方向向量垂直用线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直证明直线的方向向量与平面的法向量平行面面垂直平面与平面的垂直,除了行的判定定理转化为线面平行外,只要证明两平面的法向量平行即可向量方法证明空间垂直关系的基本途径是线线垂直直线与直线的垂直,只要证明两直线的方向向量垂直线面垂直用线面垂直的定义,证明直线线平行,只要证明它们的方向向量平行线面平行用线面平行的判定定理,证明直线的方向向量与平面内条直线的方向向量平行证明直线的方向向量与平面的法向量垂直面面平行平面与平面的平行,除了用面面平为平面的个法向量,而,即,即,⊥平面反思归纳向量方法证明空间平行关系的基本途径是线线平行直线与直,⊥,⊥,故,令,则故,,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则设平面的法向量为,判定定理知⊥平面法二取中点,连接为正三角形,⊥在正三棱柱中,平面⊥平面,⊥平面取中点,连接,以为原点,,所以⊥,⊥,即⊥,⊥,由直线和平面垂直的,以为空间的个基底,则,,因为,⊄平面,故平面,即平面法令,,,显然它们不共面,并且,有平面,即平面法三易知,是平面的个法向量,,因为,即向量和平面的个法向量垂直,而向量成立,由共面向量定理知向量与向量,共面,而向量和确定平面,又向量平面,故只有成立,由共面向量定理知向量与向量,共面,而向量和确定平面,又向量平面,故只有平面,即平面法三易知,是平面的个法向量,,因为,即向量和平面的个法向量垂直,而向量⊄平面,故平面,即平面法令,,,显然它们不共面,并且,以为空间的个基底,则,,因为,,所以⊥,⊥,即⊥,⊥,由直线和平面垂直的判定定理知⊥平面法二取中点,连接为正三角形,⊥在正三棱柱中,平面⊥平面,⊥平面取中点,连接,以为原点,,,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则设平面的法向量为,,⊥,⊥,故,令,则故为平面的个法向量,而,即,即,⊥平面反思归纳向量方法证明空间平行关系的基本途径是线线平行直线与直线平行,只要证明它们的方向向量平行线面平行用线面平行的判定定理,证明直线的方向向量与平面内条直线的方向向量平行证明直线的方向向量与平面的法向量垂直面面平行平面与平面的平行,除了用面面平行的判定定理转化为线面平行外,只要证明两平面的法向量平行即可向量方法证明空间垂直关系的基本途径是线线垂直直线与直线的垂直,只要证明两直线的方向向量垂直线面垂直用线面垂直的定义,证明直线的方向向量与平面内的任意条直线的方向向量垂直用线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直证明直线的方向向量与平面的法向量平行面面垂直平面与平面的垂直,除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外,只要证明两平面的法向量垂直即可即时训练已知正方体的棱长为,分别为的中点,求证平面平面在正方体中,为的中点,求证平面⊥平面证明建立如图所示的空间直角坐标系,则得,,设为平面的法向量,设为平面的法向量则即,令,可得同理可得即,由,得平面平面法如图,连接,与交于点,连接,设,,则而,,,,⊥,⊥又∩,⊥平面又平面,平面⊥平面法二建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为,则,,设平面的法向量为,则由⊥,⊥得,取,则,故平面的个法向量是同理设平面的个法向量是,则有,取,则故平面的个法向量是,故⊥,故平面⊥平面考点二向量法求线线角线面角解由题意知可以,,分别为轴轴轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,,所以异面直线与所成角的余弦值为例如图,四面体中,两两垂直分别为棱,的中点求异面直线与所成角的余弦值求与平面所成角的正弦值,,,设平面的个法向量,取,于是与平面所成角的正弦值为反思归纳向量法求异面直线所成角时应注意利用方向向量的夹角来求异面直线的夹角时,注意当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,那么这个锐角或直角就是该异面直线所成的角当异面直线的方向向量的夹角为钝,所以,,故⊥,⊥又∩,所以⊥平面解可求得,则,又,设平面的法向量为,则,取,得平面的个法向量又由知平面的个法向量为,故,由图可知二面角为锐二面角,所以其余弦值为反思归纳利用向量法求二面角的方法分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角分别在二面角的两个面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小即时训练高考新课标全国卷Ⅱ如图,四棱锥中,底面为矩形,⊥平面,为的中点证明平面设二面角为,求三棱锥的体积证明连接交于点,连接因为四边形为矩形,所以为的中点又为的中点,所以平面,⊄平面,所以平面解因为⊥平面,为矩形,所以两两垂直如图,以为坐标原点,的方向为轴轴轴的正方向,为单位长,建立空间直角坐标系,则设,则,,设为平面的法向量,则即可取又为平面的法向量,由题设易知�即,解得因为为的中点,所以三棱锥的高为,所以三棱锥的体积利用向量解决立体几何问题,多利用直线的方向向量和平面的法向量,准确求出直线的方向向量和平面的法向量是解决问题的前提,但在具体解题过程中应灵活处理助学微博求空间角时,要注意向量的夹角与所求角之间的关系,注意正确转化,求二面角时,要根据几何体的结构特征判断其取值范围,确定与向量所成角是相等还是互补求直线与平面所成的角,要注意所求角的正弦等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值两条直线所成角的范围是所以两条直线所成角的余弦是两条直线方向向量夹角余弦值的绝对值规范答题得高分有依据向量法求空间角典例分高考陕西卷四面体及其三视图如图所示,过棱的中点作平行于,的平面分别交四面体的棱于点证明四边形是矩形求直线与平面夹角的正弦值满分展示证明由该四面体的三视图可知,⊥,⊥,⊥由题设,平面,平面∩平面,平面∩平面,,,分同理,,,四边形是平行四边形分又⊥,⊥,⊥平面,⊥,⊥,分四边形是矩形分解法如图,以为坐标原点建立空间直角坐标系,则,,分设平面的法向量,,得取,分分法二如图,以为坐标原点建立空间直角坐标系,则是的中点分别为,的中点,得,,分设平面的法向量,则,得取,分分答题模板利用向量求空间角的步骤第步建立空间直角坐标系第二步确定点的坐标第三步求向量直线的方向向量平面的法向量坐标第四步计算向量的夹角或函数值第五步将向量夹角转化为所求的空间角第六步反思回顾查看关键点易错点和答题规范第节立体几何中的向量方法最新考纲理解直线的方向向量及平面的法向量能用向量语言表述线线线面面面的平行和垂直关系能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的些简单定理包括三垂线定理能用向量法解决直线与直线直线与平面平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用编写意图向量法是解决空间几何问题的种常用解法,可将空间图形位置关系的判断证明问题转化为计算问题体现了转化思想的应用本节重点是利用空间向量解决平行垂直问题的证明及空间角尤其是线面角二面角的计算问题,这部分内容是高考重点内容,为强化解题规范性特设置规范答题供学生参阅考点突破规范答题夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量直线上的向量或与共线的向量叫做直线的方向向量,显然条直线的方向向量有个平面的法向量如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面,则称这个向量垂直于平面,记作⊥,此时向量叫做平面的法向量显然个平面的法向量有个,且它们是向量无数无数共线质疑探究在求平面法向量时,所列方程组中有三个变量,但只有两个方程,如何处理提示给其中变量恰当赋值,求出该方程组的组非零解,即可以作为平面法向量的坐标直线与平面平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线的方向向量为平面,的法向量分别为,线面平行⇔⊥⇔⇔线面垂直⊥⇔⇔⇔面面平行⇔⇔⇔面面垂直⊥⇔⊥⇔