,在中在中又为锐角,当即时取最小值此时直线斜率为直线方程为第八篇平面解析几何必修选修第节直线与方程最新考纲在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的三种形式点斜式两点式及般式,了解斜截式与次函数的关系能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标掌握两点间的距离公式点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离编写意图直线是解析几何的重要内容,虽然在高考中般不单独命题考,但直线与圆直线与圆锥曲线位置关系是高考的必考内容本节围绕高考命题的规律进行设点选题,重点突出求直线的倾斜角斜率直线方程点到直线的距离及其应用,突出方程思想转化与化归思想数形结合思想的应用考点突破多维审题夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理的范围是函数在,上均为增函数,但在,上不单调考点二直线的方程例根据下列条件,分别写出直线的方程经过点斜率为,在轴公式法若已知直线上两点根据斜率公式求斜率或倾斜角取值范围时要注意结合图象,从旋转的角度求解求倾斜角或斜率问题时应注意倾斜角的解析知,直线的倾斜角分别为结合图形知要使直线与线段有交点,直线倾斜角的取值范围为,答案,变式反思归纳斜率的求法定义法例中,若直线与线段有公共点,其他条件不变,则直线的倾斜角的取值范围为解析由图知,故故选由例些斜率是相等的,由图象可知的取值范围是答案,例中直线的倾斜角分别为,则也即,故该式子可看作是函数图象上的点与原点连线的直线的斜率,且这知,当直线绕点从逆时针旋转到时的所有直线与线段均有交点,此时斜率满足或因此满足条件的直线的斜率的取值范围为,因则的取值范围是解析根据直线斜率为正,且直线的倾斜角大于的倾斜角,可得,又直线的倾斜角为钝角,得,所以得故选如图,由斜率公式直线与线段没有公共点,则直线的斜率的取值范围是函数的图象如图所示,在区间,上可找到个不同的数使得,的斜率分别是,则已知若过点,的不能用点斜式及截距式表示,故错显然正确若条直线斜率为,另条直线斜率不存在,则这两条直线垂直,故错答案考点突破剖典例找规律直线的倾斜角与斜率考点例如图,若图中直线直线都可以用方程表示若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行若两条直线垂直,则它们斜率之积定等于解析直线倾斜角的范围为故错当条直线的斜率不存在时,其直线方程析显然,若,则解得或下列说法中正确命题的序号为若条直线的斜率为,则其倾斜角必为经过定点,的直线可用方程表示不过原点的所求直线过点所以有,解得故所求直线方程为济南模已知直线与平行,则等于或或解或合肥质检过点,且垂直于直线的直线方程为解析因所求直线与直线垂直,故可设为又因为已知直线在轴和轴上的截距相等,则的值是或或解析当时,不合题意,时,时,,则,得别对应相等基础自测银川模拟已知两点则直线的倾斜角等于解析斜率,又山东潍坊质检已别对应相等基础自测银川模拟已知两点则直线的倾斜角等于解析斜率,又山东潍坊质检已知直线在轴和轴上的截距相等,则的值是或或解析当时,不合题意,时,时,,则,得或合肥质检过点,且垂直于直线的直线方程为解析因所求直线与直线垂直,故可设为又因为所求直线过点所以有,解得故所求直线方程为济南模已知直线与平行,则等于或或解析显然,若,则解得或下列说法中正确命题的序号为若条直线的斜率为,则其倾斜角必为经过定点,的直线可用方程表示不过原点的直线都可以用方程表示若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行若两条直线垂直,则它们斜率之积定等于解析直线倾斜角的范围为故错当条直线的斜率不存在时,其直线方程不能用点斜式及截距式表示,故错显然正确若条直线斜率为,另条直线斜率不存在,则这两条直线垂直,故错答案考点突破剖典例找规律直线的倾斜角与斜率考点例如图,若图中直线的斜率分别是,则已知若过点,的直线与线段没有公共点,则直线的斜率的取值范围是函数的图象如图所示,在区间,上可找到个不同的数使得,则的取值范围是解析根据直线斜率为正,且直线的倾斜角大于的倾斜角,可得,又直线的倾斜角为钝角,得,所以得故选如图,由斜率公式知,当直线绕点从逆时针旋转到时的所有直线与线段均有交点,此时斜率满足或因此满足条件的直线的斜率的取值范围为,因也即,故该式子可看作是函数图象上的点与原点连线的直线的斜率,且这些斜率是相等的,由图象可知的取值范围是答案,例中直线的倾斜角分别为,则例中,若直线与线段有公共点,其他条件不变,则直线的倾斜角的取值范围为解析由图知,故故选由例的解析知,直线的倾斜角分别为结合图形知要使直线与线段有交点,直线倾斜角的取值范围为,答案,变式反思归纳斜率的求法定义法公式法若已知直线上两点根据斜率公式求斜率或倾斜角取值范围时要注意结合图象,从旋转的角度求解求倾斜角或斜率问题时应注意倾斜角的范围是函数在,上均为增函数,但在,上不单调考点二直线的方程例根据下列条件,分别写出直线的方程经过点斜率为,在轴上的截距为过点且在两轴上的截距相等过点,且与直线平行过点,且与直线垂直解显然的横坐标相同,故直线与轴平行,其方程为由题意,直线过点,代入直线的点斜式方程得,即设直线在两轴上的截距等于当时,直线经过原点所以直线方程为,即当时,设所求直线方程为又点在直线上,所以,解得所以直线方程为,即综上,所求直线方程为或因为所求直线与直线平行,故设为因为点在直线上,所以,解得故所求直线方程为由题意可设所求直线方程为将,代入上式得故所求行,且,之间的距离为,则直线的方程为解析圆心由点到直线的距离公式知,或,当时,直线的方程为,把的方程写成,,解得或所求直线的方程为或当时,直线的方程为,的方程为,,解得或所求直线的方程为或答案或或或借助正切函数研究直线的倾斜角与斜率的关系,注意对倾斜角的范围及斜率是否存在讨论根据题干条件确定合适的直线方程形式写直线方程,同时注意各种方程的适用范围判断两直线位置关系或由位置关系求参数时注意斜率不存在的情况求两平行线之间的距离时应先将两条直线方程化为般式且,的系数对应相等助学微博多维审题拓思维明思路与直线方程相关的最值问题典例已知直线过点且与轴轴的正半轴分别交于两点,如图所示,求的面积的最小值及此时直线的方程〚审题〛视角所求问题与直线与两轴所围成的三角形面积相关,故可设直线方程的截距式,然后代入点的坐标,表示出的面积,然后利用基本不等式求最值,并求出此时的直线方程视角二因为直线过点,故可设直线的斜率,利用点斜式设出直线方程,并求出直线与两轴的交点坐标,表示出的面积,根据解析式的特征求解最值及对应的直线方程视角三可设,利用定点将分解为两个直角三角形和个矩形分别求出对应的面积,然后根据面积的表示式求解最值和相应的直线解法设直线方程为,代入,得,得,从而,当,时,最小,此时直线方程为法二依题意知,直线的斜率存在设直线的方程为,则有当且仅当时,即时,等号成立,故所求直线的方程为法三如图所示,过分别作轴,轴的垂线垂足分别为,设,则四边形,,当且仅当,即时此时直线的斜率为,其方程为点评设直线方程时要参考两个方面,是已知条件中直线所具备的特征,如该题中,直线过点,故可考虑点斜式二是所求问题与直线的特征的关系如该题中,涉及直线与两轴围成的三角形的面积,故可利用截距式方程本题将面积表示为直线相关特征数据的函数,然后利用基本不等式求最值方程选择不同,参数就有差异,但求最值的方法应首先考虑基本不等式,然后是利用函数的单调性换元等方法即时训练过点,作直线,分别与轴的正半轴交于两点当取最小值时,求直线的方程当取最小值时,求直线的方程解法设的方程为,则由在上得当且仅当,即时成立又直线方程为法二设直线方程为当且仅当,即时取此时直线方程为如图,过点作⊥轴,⊥轴,设,在中在中又为锐角,当即时取最小值此时直线斜率为直线方程为第八篇平面解析几何必修选修第节直线与方程最新考纲在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的三种形式点斜式两点式及般式,了解斜截式与次函数的关系能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标掌握两点间的距离公式点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离编写意图直线是解析几何的重要内容,虽然在高考中般不单独命题考,但直线与圆直线与圆锥曲线位置关系是高考的必考内容本节围绕高考命题的规律进行设点选题,重点突出求直线的倾斜角斜率直线方程点到直线的距离及其应用,突出方程思想转化与化归思想数形结合思想的应用考点突破多维审题夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角定义当直线与轴相交时,我们取轴作为基准,轴与直线方向之间所成的角叫做直线的倾斜角当直线与轴平行或重合时,规定它的倾斜角为范围倾斜角的范围为直线的斜率定义条直线的倾斜角的叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母表示,即,倾斜角是的直线没有斜率正向向上正切值过两点的直线的斜率公式经过两点,的直线的斜率公式为质疑探究任意条直线都有倾斜角和斜率吗提示每条直线都有唯的倾斜角,但并不是每条直线都存在斜率倾斜角为的直线斜率不存在质疑探究直线的倾斜角越大,斜率就越大,这种说法正确吗提示这种说法不正确由知当,时,越大,斜率就越大当,时,越大,斜率也越大但当,时,这种说法不正确直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率与点,不含直线斜截式斜率与截距不含垂直于轴的直线两点式两点其中不含直线和直线截距式截距与不含垂直于坐标轴和过原点的直线般式不同时为平面直角坐标系内的直线都适用质疑探究截距是距离吗提示直线在轴上的截距是直线与轴交点的横纵坐标,所以截距是个实数,可正可负,也可为,而不是距离两条直线位置关系的判定斜截式般式直线方程相交垂直平行且或重合且或两条直线的交点设直线将这两条直线的方程联立,得方程组,若方程组有唯解,则与,此解就是交点的坐标若方程组无解,则与,此时若方程组有无数组解,则与重合相交无公共点几种距离两点距离两点之间的距离点线距离点,到直线不同时为的距离线线距离两平行直线与间的距离质疑探究应用点到直线的距离和两平行线间的距离时应注意什么提示将方程化为最简的般形式利用两平行线之间的距离公式时,应使两平行线方程中的系数分别对应相等基础自测银川模拟