更直观,并且能简化运算,提高解题效率即时训练已知点,在圆上运动,则的最大值与最小值分别为解析圆心半径为,定点表示圆上任点与点连线的斜率,由图可知,当与圆相切时取到最大或最小值如图中,又,故此时的斜率为由对称性可知的最大值与最小值分别为,答案,第节圆与方程最新考纲掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与般方程,能根据给定直线圆的方程,判断直线与圆的位置关系,能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系能用直线和圆的方程解决些简单的问题初步了解用代数方法处理几何问题的思想编写意图圆与圆的方程是高考重点内容之,常与直线向量圆锥曲线等知识综合命题依据高考命题规律,本节围绕圆的方程,直线与圆及圆与圆的位置关系,与圆相关的最值轨迹问题这几个方面精选例习题注意基本方法的训练,重点突出了数形结合思想转化化归思想的应用考点突破思想方法夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理圆的方程标准方程圆心半半径为,圆既在直线上又在直线上,过点,的圆的切线方程为若曲线和直线有两个公共点,则实数的取值范围是解析圆的标准方程为是高考安徽卷过点,的直线与圆有公共点,则直线的倾斜角的取值范围是圆的半径为,故圆的标准方程为答案考点二直线与圆的位置关系例高考浙江卷已知圆截直线所得弦的长度为,则实数的值由题意,设圆心坐标为则由直线被该圆所截得的弦长为,得,解得或又因为圆心在轴的正半轴上,所以,故圆心坐标为又已知圆过点所以所求圆的程是已知圆过点且圆心在轴的正半轴上,直线被该圆所截得的弦长为,则圆的标准方程为解析设圆心为,则圆的方程为在求圆的方程时,常用到圆的以下几个性质圆心在过切点且与切线垂直的直线上圆心在任弦的垂直平分线上即时训练已知圆心在轴上,半径为的圆位于轴左侧,且与直线相切,则圆的方圆的方程为或反思归纳求圆的方程,般采用待定系数法若已知条件与圆的圆心和半径有关,可设圆的标准方程若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径,可选择圆的般方程直线上,也就是在直线上,设圆心为半径为,则有,解得或组成的方程组得或,故所求圆的方程为或法二中点圆过两点,圆心在的中垂线上,即在将点的坐标分别代入得,令,由得由已知,其中是方程的两根,所以解整理得,解得所以圆的方程为,即法设圆的方程为所求圆的方程为法二设所求圆的方程为,其圆心为,则由已知可得,在线段的垂直平分线上线段的垂直平分线的方程为设所求圆的圆心坐标为则有解得,例求经过点,且圆心在直线上的圆的方程已知圆过且在轴上截得的线段长为求该圆方程解法圆过两点,圆心定满足方程,正确由切线性质及圆内接四边形知四点在以为直径的圆上,圆方程为,两圆方程相减得直线的方程答案考点突破剖典例找规律圆的方程考点,为上任意点且与点不重合,且,于是即,显然,直线的方程为解析中两圆可能相内切中两圆可以相内切相交内含中若两圆相交所得二元次方程是两圆公共弦所在直线方程,若两圆相切应为两圆公切线的方程设过点的圆的切线直线的方程为解析中两圆可能相内切中两圆可以相内切相交内含中若两圆相交所得二元次方程是两圆公共弦所在直线方程,若两圆相切应为两圆公切线的方程设过点的圆的切线,为上任意点且与点不重合,且,于是即,显然,满足方程,正确由切线性质及圆内接四边形知四点在以为直径的圆上,圆方程为,两圆方程相减得直线的方程答案考点突破剖典例找规律圆的方程考点例求经过点,且圆心在直线上的圆的方程已知圆过且在轴上截得的线段长为求该圆方程解法圆过两点,圆心定在线段的垂直平分线上线段的垂直平分线的方程为设所求圆的圆心坐标为则有解得,所求圆的方程为法二设所求圆的方程为,其圆心为,则由已知可得,整理得,解得所以圆的方程为,即法设圆的方程为将点的坐标分别代入得,令,由得由已知,其中是方程的两根,所以解组成的方程组得或,故所求圆的方程为或法二中点圆过两点,圆心在的中垂线上,即在直线上,也就是在直线上,设圆心为半径为,则有,解得或圆的方程为或反思归纳求圆的方程,般采用待定系数法若已知条件与圆的圆心和半径有关,可设圆的标准方程若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径,可选择圆的般方程在求圆的方程时,常用到圆的以下几个性质圆心在过切点且与切线垂直的直线上圆心在任弦的垂直平分线上即时训练已知圆心在轴上,半径为的圆位于轴左侧,且与直线相切,则圆的方程是已知圆过点且圆心在轴的正半轴上,直线被该圆所截得的弦长为,则圆的标准方程为解析设圆心为,则圆的方程为由题意,设圆心坐标为则由直线被该圆所截得的弦长为,得,解得或又因为圆心在轴的正半轴上,所以,故圆心坐标为又已知圆过点所以所求圆的半径为,故圆的标准方程为答案考点二直线与圆的位置关系例高考浙江卷已知圆截直线所得弦的长度为,则实数的值是高考安徽卷过点,的直线与圆有公共点,则直线的倾斜角的取值范围是圆的半径为,圆既在直线上又在直线上,过点,的圆的切线方程为若曲线和直线有两个公共点,则实数的取值范围是解析圆的标准方程为则圆心,到直线的距离为由,得,故选易知直线的斜率存在,所以可设,即因为直线与圆有公共点,所以圆心,到直线的距离,即,解得,故直线的倾斜角的取值范围是,故选由知,故圆方程为由题意可设所求直线方程为由解得或故所求直线方程为或曲线表示以,为圆心,为半径的上半圆,直线过定点如图所示由图可知当直线与曲线有两个公共点时的取值范围为,答案或,解,两圆相离,故选由题意知⊥,在中由,得答案与圆有关的轨迹问题考点四例设定点动点在圆上运动,以为两边作平行四边形,求点的轨迹解如图所示,设则线段的中点坐标为线段的中点坐标为,因为平行四边形的对角线互相平分,故,,从而,在圆上,则当四点共线时不合题意,此时,即,由得,或,因此所求轨迹为圆,除去两点,和,反思归纳与圆有关的轨迹问题主要是求动点的轨迹方程,其求解的般步骤是建系设点列式化简,求解,要灵活运用图形的几何性质注意求解过程是否与题意具有等价性,否则删去与题意不符合部分,补上按题意要求有而求解过程遗漏的部分即时训练高考全国新课标卷Ⅰ已知点圆,过点的动直线与圆交于,两点,线段的中点为,为坐标原点求的轨迹方程当时,求的方程及的面积解圆的方程可化为,所以圆心为半径为设则,由题设知,故,即由于点在圆的内部,所以的轨迹方程是由可知的轨迹是以点,为圆心,为半径的圆由于,故在线段的垂直平分线上,又在圆上,从而⊥因为的斜率为,所以直线的斜率为,故的方程为又,到直线的距离为,故,所以的面积为确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质圆心在过切点且与切线垂直的直线上圆心在任弦的中垂线上两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线计算直线被圆截得的弦长或两圆相交弦长的常用方法在由弦心距即圆心到直线的距离弦长的半及半径构成的直角三角形中利用勾股定理计算有关圆的问题,常画出图形应用数形结合思想和转化思想求解过圆外定点求圆的切线,应该有两个结果,若只求出个结果,应该考虑切线斜率不存在的情况助学微博思想方法融思想促迁移数形结合思想在与圆有关的最值问题中的应用典例已知实数满足方程求的最大值和最小值求的最大值和最小值求的最大值和最小值解原方程化为,表示以点,为圆心,以为半径的圆设,即,由图可知当直线与圆相切时,斜率取最大值和最小值,中,,故的最大值为,由对称性知的最小值为故的最大值为,最小值为设,即,由图可知当与圆相切时,纵截距取得最大值和最小值,此时,即故的最大值为,最小值为表示圆上点与原点距离的平方,由图知的最大值为最小值为方法点睛解决与圆有关的最值问题常用方法有几何法和代数法当所求目标函数具有较强的几何意义时常用几何法求解,结合图形利用数形结合思想求解最值,使问题更直观,并且能简化运算,提高解题效率即时训练已知点,在圆上运动,则的最大值与最小值分别为解析圆心半径为,定点表示圆上任点与点连线的斜率,由图可知,当与圆相切时取到最大或最小值如图中,又,故此时的斜率为由对称性可知的最大值与最小值分别为,答案,第节圆与方程最新考纲掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与般方程,能根据给定直线圆的方程,判断直线与圆的位置关系,能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系能用直线和圆的方程解决些简单的问题初步了解用代数方法处理几何问题的思想编写意图圆与圆的方程是高考重点内容之,常与直线向量圆锥曲线等知识综合命题依据高考命题规律,本节围绕圆的方程,直线与圆及圆与圆的位置关系,与圆相关的最值轨迹问题这几个方面精选例习题注意基本方法的训练,重点突出了数形结合思想转化化归思想的应用考点突破思想方法夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理圆的方程标准方程圆心半径般方程圆心,半径圆的定义与方程圆的定义在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆质疑探究圆的般方程中为何限制提示圆的般方程配方后得当时,方程才能表示圆当时,方程表示点当时,方程无意义,不表示任何曲线点,与☉的位置关系⇔点在圆外⇔相离相切相交图形代数观点量化几何观点直线与圆的位置关系把直线的方程与圆的方程组成的方程组转化为元二次方程,其判别式为,设圆心到直线的距离为,圆的半径为位置关系列表如下直线被圆截得弦长的求法几何法圆的弦长的计算常用弦心距,弦长半及圆的半径所构成的直角三角形来解,即代数法即利用根与系数的关系及弦长公式说明圆的弦长弦心距的计算常用几何方法圆与圆的位置关系☉☉半径分别为,相离外切相交内切内含图形量的关系质疑探究两圆相交时,公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系提示两圆的方程作差消去二次项得到的关于,的二元次方程,就是公共弦所在直线的方程基础自测圆心在轴上,半径为,且过点,的圆的方程为解析由题意,设圆心则,得,所以圆的方程为,故选☉与☉的位置关系是内切外切相交相离解析☉的圆心为半径两圆心之间距离,所以两圆外切已知方程表示圆,则实数的取值范围为,,,,,解析由方程知,由方程表示圆的条件得,解得高考安徽卷直线被圆截得的弦长为解析圆的方程化为,该圆的圆心坐标为半径