图形顶点对称轴轴轴轴轴焦点离心率准线质疑探究抛物线的标准方程中的几何意义是什么提示的几何意义是焦点到准线的距离基础自测高考安徽卷抛物线的准线方程是解析抛物线的方程化为,其准线方程为故选银川模拟抛物线的焦点坐标为解析化为标准方程为,其焦点坐标是,过点,的抛物线的标准方程为或或解析因为点在第四象限,故设抛物线的标准方程为或,将点代入得或,所求抛物线方程为或动点到点,的距离与它到直线的距离相等,则点的轨迹方程是解析由抛物线的定义知,点的轨迹是以为焦点,定直线为准线的抛物线,故其标准方程点,并不表明直线与抛物线相切,因为当直线与对称轴平行或重合时,直线与抛物线也只有个交点即时训练福州模拟已知直线与抛物线交于,两点,且求的的方程为,即,即同结论或为所在直线的倾斜角直线与抛物线有个交,结合,解得所以抛物线的方程为抛物线的方程为,即,求导得设,其中则切线,的斜率分别为,所以切线求抛物线的方程当点,为直线上的定点时,求直线的方程当点在直线上移动时,求的最小值解依题意,设抛物线的方程为,则的综合问题考点三例高考广东卷已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线的距离为,设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线其中,为切点不妨取其中条由点到直线的距离公式有故选在等边三角形中,边上的高为所以,又因为点在双曲线上,故,解得答案抛物线线的焦点为,其准线与双曲线相交于,两点,若为等边三角形,则解析由抛物线,有,其焦点坐标为双曲线的渐近线方程为成标准方程技巧要结合图形分析,灵活运用平面几何的性质以图助解即时训练河南新乡模拟抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是北京朝阳模拟抛物,所以答案反思归纳求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有,所以只需个条件确定值即可利用抛物线方程确定及应用其焦点准线等性质时,关键是将抛物线方程化得点为抛物线的焦点,所以,将点的坐标代入抛物线的方程得,变形得,解得或舍去得,所以,有,所以,所以所以抛物线的方程为由正方形的定义可知,则和正方形的边长分别为,经过,两点,则解析设作垂直准线于点,则又,标准方程及性质例安阳调研过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及其准线于点,若,且,则抛物线的方程是高考湖南卷如图,正方形线方程为由抛物线的定义,到该抛物线准线的距离为,即,故,抛物线的标准方程为,在抛物线上,由两点间的距离公式知故选考点二抛物线的显然点三点共线时,动点到直线和直线的距离之和最小,最小值为,故选抛物线关于轴对称,且,在抛物线上,抛物线的标准方程可设为,其准点,并且经过点,若点到该抛物线焦点的距离为,则等于解析如图所示,过点作⊥,⊥,过抛物线焦点,作⊥于由抛物线定义知即时训练已知直线和直线,抛物线上动点到直线和直线的距离之和的最小值是已知抛物线关于轴对称,它的顶点为坐标原点即时训练已知直线和直线,抛物线上动点到直线和直线的距离之和的最小值是已知抛物线关于轴对称,它的顶点为坐标原点,并且经过点,若点到该抛物线焦点的距离为,则等于解析如图所示,过点作⊥,⊥,过抛物线焦点,作⊥于由抛物线定义知显然点三点共线时,动点到直线和直线的距离之和最小,最小值为,故选抛物线关于轴对称,且,在抛物线上,抛物线的标准方程可设为,其准线方程为由抛物线的定义,到该抛物线准线的距离为,即,故,抛物线的标准方程为,在抛物线上,由两点间的距离公式知故选考点二抛物线的标准方程及性质例安阳调研过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及其准线于点,若,且,则抛物线的方程是高考湖南卷如图,正方形和正方形的边长分别为,经过,两点,则解析设作垂直准线于点,则又,得,所以,有,所以,所以所以抛物线的方程为由正方形的定义可知,则得点为抛物线的焦点,所以,将点的坐标代入抛物线的方程得,变形得,解得或舍去,所以答案反思归纳求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有,所以只需个条件确定值即可利用抛物线方程确定及应用其焦点准线等性质时,关键是将抛物线方程化成标准方程技巧要结合图形分析,灵活运用平面几何的性质以图助解即时训练河南新乡模拟抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是北京朝阳模拟抛物线的焦点为,其准线与双曲线相交于,两点,若为等边三角形,则解析由抛物线,有,其焦点坐标为双曲线的渐近线方程为不妨取其中条由点到直线的距离公式有故选在等边三角形中,边上的高为所以,又因为点在双曲线上,故,解得答案抛物线的综合问题考点三例高考广东卷已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线的距离为,设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线其中,为切点求抛物线的方程当点,为直线上的定点时,求直线的方程当点在直线上移动时,求的最小值解依题意,设抛物线的方程为,则,结合,解得所以抛物线的方程为抛物线的方程为,即,求导得设,其中则切线,的斜率分别为,所以切线的方程为,即,即同结论或为所在直线的倾斜角直线与抛物线有个交点,并不表明直线与抛物线相切,因为当直线与对称轴平行或重合时,直线与抛物线也只有个交点即时训练福州模拟已知直线与抛物线交于,两点,且求的值设是直线上点,直线交抛物线于另点,直线交直线于点,求的值解由整理得,设则,,,即,解得或舍去,且满足,由知抛物线方程为,且设由三点共线得,,即,整理得,由三点共线,同理可得,式两边同乘得,即,由得,代入得,即,灵活利用抛物线定义实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的相互转化,解决相关最值问题求抛物线的标准方程有两种方法定义法,根据条件确定动点满足的几何特征,从而求出抛物线方程待定系数法,设出标准方程,确定参数,此时注意抛物线的四种标准方程,有时需分类讨论解决涉及直线与抛物线相交问题时,可以先判断直线是否过焦点,若过焦点可利用相关结论减少运算量助学微博规范答题得高分有依据抛物线的综合问题典例分设抛物线的焦点为,准线为,为上点,已知以为圆心,为半径的圆交于,两点若,的面积为,求的值及圆的方程若三点在同直线上,直线与平行,且与只有个公共点,求坐标原点到,距离的比值满分展示解由已知可得为等腰直角三角形圆的半径,分又点到的距离,而,即,舍去或,分圆的方程为分三点在同直线上,为圆的直径,又由抛物线定义知,,的斜率为或分当的斜率为时,可设的方程为代入得,由于与只有个公共点,故,分又的截距分坐标原点到距离的比值为分当的斜率为时,由图形对称性知,坐标原点到的距离之比仍为分答题模板第步分析抛物线的性质获得所需结论第二步用参数表示题设条件,构建关于参数的方程第三步分析图形特征,由抛物线定义得直线斜率第四步将直线方程与抛物线方程联立消元得元二次方程,由二次方程的判别式的值建立参数关系第节抛物线最新考纲掌握抛物线的定义几何图形标准方程及简单几何性质范围对称性顶点离心率理解数形结合思想了解圆锥曲线的简单应用编写意图抛物线是圆锥曲线中重要曲线之,也是历年高考命题重点,常与椭圆双曲线圆向量导数等知识综合命题本节围绕高考命题规律设置抛物线的定义及应用抛物线的标准方程及其几何性质直线和抛物线的位置关系三个考点,精选例题,重点强化训练抛物线的相关知识方法,体会数形结合思想方程思想的应用考点突破规范答题夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理抛物线的定义平面内与个定点和条定直线不经过点距离的点的轨迹叫做抛物线点叫做抛物线的,直线叫做抛物线的相等焦点准线质疑探究若抛物线定义中定点在定直线上时,动点的轨迹是什么图形提示当定点在定直线上时,动点的轨迹是过点且与直线垂直的直线抛物线的标准方程及其简单几何性质标准方程图形顶点对称轴轴轴轴轴焦点离心率准线质疑探究抛物线的标准方程中的几何意义是什么提示的几何意义是焦点到准线的距离基础自测高考安徽卷抛物线的准线方程是解析抛物线的方程化为,其准线方程为故选银川模拟抛物线的焦点坐标为解析化为标准方程为,其焦点坐标是,过点,的抛物线的标准方程为或或解析因为点在第四象限,故设抛物线的标准方程为或,将点代入得或,所求抛物线方程为或动点到点,的距离与它到直线的距离相等,则点的轨迹方程是解析由抛物线的定义知,点的轨迹是以为焦点,定直线为准线的抛物线,故其标准方程为答案过抛物线的焦点的直线交该抛物线于,两点若,则解析由题意知,抛物线的焦点的坐标为又,由抛物线定义知,点到准线的距离为,点的横坐标为将代入得,由图知点的纵坐标,直线的方程为由解得,或,由图知,点的坐标为,,答案考点突破剖典例找规律抛物线的定义及应用考点例设是抛物线上的个动点求点到点,的距离与点到直线的距离之和的最小值若求的最小值解如图,易知抛物线的焦点为准线是由抛物线的定义知点到直线的距离等于点到焦点的距离于是,问题转化为在曲线上求点,使点到点,的距离与点到,的距离之和最小显然,连接交曲线于点,则所求的最小值为,即为如图,过点作垂直准线于,交抛物线于点,则则有即的最小值为反思归纳由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化注意灵活运用抛物线上点,到焦点的距离或即时训练已知直线和直线,抛物线上动点到直线和直线的距离之和的最小值是已知抛物线关于轴对称,它的顶点为坐标原点,并且经过点,若点到该抛物线焦点的距离为,则等于解析如图所示,过点作⊥,⊥,过抛物线焦点,作⊥于由抛物线定义知显然点三点共线时,动点到直线和直线的距离之和最小,最小值为,故选抛物线关于轴对称,且,在抛物线上,抛物线的标准方程可设为,其准线方程为由抛物线的定义,到该抛物线准线的距离为,即,故,抛物线的标准方程为,在抛物线上,由两点间的距离公式知故选考点二抛物线的标准方程及性质例安阳调研过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及其准线于点,若,且,则抛物线的方程是高考湖南卷如图,正方形即时训练已知直线和直线,抛物线上动点到直线和直线的距离之和的最小值是已知抛物线关于轴对称,它的顶点为坐标原点,并且经过点,若点到该抛物线焦点的距离为,则等于解析如图所示,过点作⊥,⊥,过抛物线焦点,作⊥于由抛物线定义知显然点三点共线时,动点到直线和直线的距离之和最小,最小值为,故选抛物线关于轴对称,且,在抛物线上,抛物线的标准方程可设为,其准线方程为由抛物线的定义,到该抛物线准线的距离为,即,故,抛物线的标准方程为,在抛物线上,由两点间的距离公式知故选考点二抛物线的标准方程及性质例安阳调研过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及其准线于点,若,且,则抛物线的方程是高考湖南卷如图,正方形和正方形的边长分别为,经过,两点,则解析设作垂直准线于点,则又,得,所以,有,所以,所以所以抛物线的方程为由正方形的定义可知,则得点为抛物线的焦点,所以,将点的坐标代入抛物线的方程得,变形得,解得或舍去,所以答案反