与相切，与圆有个公共点与圆相交，与圆有两个公共点即符合题意的点共有个规律技巧到条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为该定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数，般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断转化与化归思想例若实数，满足，求的最小值解将方程化为设，则可见求的最小值转化为求直线在轴上的截距最小，因为，在圆上，这时只要直线与圆相切如图由点到直线的距离公式可得解得，或所以的最小值为规律技巧把求的最值问题转化为几何问题，利用点到直线的距离得以解决函数与方程思想例设平面直角坐标系中，二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为求实数的取值范围求圆的方程问圆是否经过定点其坐标与无关请证明你的结论解，则函数的图像与轴的交点是间直角坐标系，表示出，的坐标，再利用空间中两点间距离公式，求得，即的长度是关于的函数，再求函数的最小值解平面⊥平面，平面∩平坐标法例正方形，的边长都是，而且平面与平面互相垂直，点在上移动，点在上移动，且求为何值时，的长度最小分析建立适当的空将,代入，得，又圆心，在直线上，联立组成方程组，得所求圆的方程为数学方法待定系数法例求过,两点，并且圆心在直线上的圆的方程分析设出圆的般方程，列出关于的三个方程，解方程组求解设所求圆的方程为，解得直线的方程为当直线的斜率不存在时，其方程为，此时，也适合题意综上所述，直线的方程为或时，设直线的方程为，即作出示意图，如图，作⊥于，在中，由点到直线的距离公式，得类讨论思想例已知圆，直线过点,且与圆交于，两点，且，求直线的方程分析画出示意图，注意直线的斜率存在与不存在的情形解当直线的斜率存在或，所以经过定点,证明如下将点,代入圆的方程，左边，右边，圆必过定点,同理可证圆必过定点,分圆的方程为圆的方程可化为圆经过的定点是圆和直线的交点，解方程组得证明如下将点,代入圆的方程，左边，右边，圆必过定点,同理可证圆必过定点,分类讨论思想例已知圆又，所以所以化为圆经过的定点是圆和直线的交点，解方程组得或，所以经过定点,个方程，则，令，得，则关于的方程有且只有个实数根，则又，所以所以圆的方程为圆的方程可程有两个不等的实数根，所以，解得，所以实数的取值范围是，,设圆的方程是令，得，这与是同取值范围求圆的方程问圆是否经过定点其坐标与无关请证明你的结论解，则函数的图像与轴的交点是则令，得，则关于的方最值问题转化为几何问题，利用点到直线的距离得以解决函数与方程思想例设平面直角坐标系中，二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为求实数的最小值转化为求直线在轴上的截距最小，因为，在圆上，这时只要直线与圆相切如图由点到直线的距离公式可得解得，或所以的最小值为规律技巧把求的断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断转化与化归思想例若实数，满足，求的最小值解将方程化为设，则可见求的最断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断转化与化归思想例若实数，满足，求的最小值解将方程化为设，则可见求的最小值转化为求直线在轴上的截距最小，因为，在圆上，这时只要直线与圆相切如图由点到直线的距离公式可得解得，或所以的最小值为规律技巧把求的最值问题转化为几何问题，利用点到直线的距离得以解决函数与方程思想例设平面直角坐标系中，二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为求实数的取值范围求圆的方程问圆是否经过定点其坐标与无关请证明你的结论解，则函数的图像与轴的交点是则令，得，则关于的方程有两个不等的实数根，所以，解得，所以实数的取值范围是，,设圆的方程是令，得，这与是同个方程，则，令，得，则关于的方程有且只有个实数根，则又，所以所以圆的方程为圆的方程可化为圆经过的定点是圆和直线的交点，解方程组得或，所以经过定点,证明如下将点,代入圆的方程，左边，右边，圆必过定点,同理可证圆必过定点,分类讨论思想例已知圆又，所以所以圆的方程为圆的方程可化为圆经过的定点是圆和直线的交点，解方程组得或，所以经过定点,证明如下将点,代入圆的方程，左边，右边，圆必过定点,同理可证圆必过定点,分类讨论思想例已知圆，直线过点,且与圆交于，两点，且，求直线的方程分析画出示意图，注意直线的斜率存在与不存在的情形解当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即作出示意图，如图，作⊥于，在中，由点到直线的距离公式，得，解得直线的方程为当直线的斜率不存在时，其方程为，此时，也适合题意综上所述，直线的方程为或数学方法待定系数法例求过,两点，并且圆心在直线上的圆的方程分析设出圆的般方程，列出关于的三个方程，解方程组求解设所求圆的方程为将,代入，得，又圆心，在直线上，联立组成方程组，得所求圆的方程为坐标法例正方形，的边长都是，而且平面与平面互相垂直，点在上移动，点在上移动，且求为何值时，的长度最小分析建立适当的空间直角坐标系，表示出，的坐标，再利用空间中两点间距离公式，求得，即的长度是关于的函数，再求函数的最小值解平面⊥平面，平面∩平面，⊥，⊥平面两两垂直过点作⊥，⊥，垂足分别为连接，易证⊥，以为原点，以所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系则，当时，的长度最小，最小值为，这时，恰好为，的中点第四章圆与方程本章回顾知识结构方法总结求圆的方程应注意根据所给条件，恰当选择方程的形式，用待定系数法求解讨论点与圆直线与圆圆与圆的位置关系时，般从代数特征方程组解的个数或几何特征点或直线到圆心的距离和两圆的圆心距与半径的关系去考虑，其中用几何法较为简捷实用解决空间问题注意利用类比的思想数学思想数形结合思想例圆上到直线的距离为的点有几个分析探讨圆半径，圆心到直线的距离以及二者之间的大小关系解解法圆的圆心半径设圆心到直线的距离为，则如图，在圆心同侧与直线平行且距离为的直线与圆有两个交点，则这两个交点符合题意又与直线平行的圆的切线的两个切点中有个切点也符合题意符合题意的点共有个解法符合题意的点是平行于直线，且与之距离为的直线和圆的交点设所求直线为，则，即，或即，或设圆的圆心到直线的距离为则，与相切，与圆有个公共点与圆相交，与圆有两个公共点即符合题意的点共有个规律技巧到条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为该定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数，般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断转化与化归思想例若实数，满足，求的最小值解将方程化为设，则可见求的最小值转化为求直线在轴上的截距最小，因为，在圆上，这时只要直线与圆相切如图由点到直线的距离公式可得解得，或所以的最小值为规律技巧把求的最值问题转化为几何问题，利用点到直线的距离得以解决函数与方程思想例设平面直角坐标系中，二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为求实数的取值范围求圆的方程问圆是否经过定点其坐标与无关请证明你的结论解，则函数的图像与轴的交点是则令，得，则关于的方程有两个不等的实数根，所以，解得，所以实数的取值范围是，,设圆的方程是令，得，这与是同个方程，则，令，得，则关断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断转化与化归思想例若实数，满足，求的最小值解将方程化为设，则可见求的最小值转化为求直线在轴上的截距最小，因为，在圆上，这时只要直线与圆相切如图由点到直线的距离公式可得解得，或所以的最小值为规律技巧把求的最值问题转化为几何问题，利用点到直线的距离得以解决函数与方程思想例设平面直角坐标系中，二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为求实数的取值范围求圆的方程问圆是否经过定点其坐标与无关请证明你的结论解，则函数的图像与轴的交点是则令，得，则关于的方程有两个不等的实数根，所以，解得，所以实数的取值范围是，,设圆的方程是令，得，这与是同个方程，则，令，得，则关于的方程有且只有个实数根，则又，所以所以圆的方程为圆的方程可化为圆经过的定点是圆和直线的交点，解方程组得或，所以经过定点,证明如下将点,代入圆的方程，左边，右边，圆必过定点,同理可证圆必过定点,分类讨论思想例已知圆最小值转化为求直线在轴上的截距最小，因为，在圆上，这时只要直线与圆相切如图由点到直线的距离公式可得解得，或所以的最小值为规律技巧把求的取值范围求圆的方程问圆是否经过定点其坐标与无关请证明你的结论解，则函数的图像与轴的交点是则令，得，则关于的方个方程，则，令，得，则关于的方程有且只有个实数根，则又，所以所以圆的方程为圆的方程可证明如下将点,代入圆的方程，左边，右边，圆必过定点,同理可证圆必过定点,分类讨论思想例已知圆又，所以所以或，所以经过定点,证明如下将点,代入圆的方程，左边，右边，圆必过定点,同理可证圆必过定点,分时，设直线的方程为，即作出示意图，如图，作⊥于，在中，由点到直线的距离公式，得数学方法待定系数法例求过,两点，并且圆心在直线上的圆的方程分析设出圆的般方程，列出关于的三个方程，解方程组求解设所求圆的方程为坐标法例正方形，的边长都是，而且平面与平面互相垂直，点在上移动，点在上移动，且求为何值时，的长度最小分析建立适当的空与相切，与圆有个公共点与圆相交，与圆有两个公共点即符合题意的点共有个规律技巧到条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为该定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数，般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断转化与化归思想例若实数，满足，求的最小值解将方程化为设，则可见求的最小值转化为求直线在轴上的截距最小，因为，在圆上，这时只要直线与圆相切如图由点到直线的距离公式可得解得，或所以的最小值为规律技巧把求的最值问题转化为几何问题，利用点到直线的距离得以解决函数与方程思想例设平面直角坐标系中，二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为求实数的取值范围求圆的方程问圆是否经过定点其坐标与无关请证明你的结论解，则函数的图像与轴的交点是