1、数，使得，则向量与非零向量共线性质定理若向量与非零向量共线，则存在个实数，使得知识点向量的线性运算向量的加减数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量，以及任意实数，恒有讲重点三点共线问题三点共线的判定对于平面内任意三点，若存在个实数，使得或，则根据共线向量基本定理，可知线或线或线，又由于它们具有公共点或或，则可知三点共线除此之外我们又有对于平面内任意三点，为不同于的任意点，。

2、由可得，代入可得即，也即从而三点共线三点共线的性质根据向量共线的性质定理及三点共线的量共线，则存在个实数，使得知识点向量的线性运算向量的加减数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量，以及任意实数，恒有讲重点三点共线问题三点共线的判定对于平面内任意三点，若存在个实数，使得或，则根据共线向量基本定理，可知线或线或线，又由于它们具有公共点或或，则可知三点共线除此之外我们又有对于平。

3、即所以法二因为所以知识点数乘向量及几何意义定义实数与向量的积是个向量，记作长度方向的方向当时，与的方向相同当时，与的方向相反的几何意义将表示向量的有向线段伸长或压缩，当时，表示向量的有向线段在原方向或反方向上伸长为原来的倍当时，表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短为原来的倍知识点数乘向量的运算律，，知识点向量共线的判定定理和性质定理判定定理是个非零向量，若存在个。

4、，故时，的终点在条直线上类型三向量线性运算的应用例如图所，三向量的终点在条直线上解析设化简整理得，不共线，线存在，使，则能有本题充分利用了向量共线定理，即与共线⇔，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，判定可得若平面内三点共线，为不同于的三点共线，只需证存在实数，使可对点，设若实数，满足，则三点共线事实上，。

5、三角形中位线定理可解解析由三角形中位线定理，知故即充分利用平面几何的些结论，转化为相等向量相反向量共线向量及比例关系，建立已知向量与未知向量有直接关系的向量来解决问题用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用变式训练在中，已知是上点，若求的值解析法由。

6、设若实数，满足，则三点共线事实上，由可得，代入可得即，也即从而三点共线三点共线的性质根据向量共线的性质定理及三点共线的判定可得若平面内三点共线，为实数，使得或，则根据共线向量基本定理，可知线或线或线，又由于它们具有公共点或或向量的加减数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量，以及任意实数，恒有讲重点三点共线问题三点共线的判定对于平面内任意三点，若存在个知识点向量共线的判定定。

7、内任意三点，为不同于的任意点，设若实数，满足，则三点共线事实上，由可得，代入可得即，也即从而三点共线三点共线的性质根据向量共线的性质定理及三点共线的判定可得若平面内三点共线，为不同于的三点共线，只需证存在实数，使可对于，若定存在，使解析证明线，且有公共点，三点共线存在，使，则能有本题充分利用了向量共线定理，即与共线⇔，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据。

8、线，又由于它们具有公共点或或，则可知三点共线除此之外我们又有对于平面内任意三点，为不同于的任意点，设若实数，满足，则三点共线事实上，由可得，代入可得即，也即从而三点共线三点共线的性质根据向量共线的性质定理及三点共线的判定可得若平面内三点共线，为也可以根据共线求参数的值向量共线的判断证明是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从量共线，则存在个实数，使得知识点向量的线性。

9、线求参数的值向量共线的判断证明是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断是否共线变式训练设是两个不共线的非零向量，若起点相同，，当为何值时，三向量的终点在条直线上解析设化简整理得，不共线，，故时，的终点在条直线上类型三向量线性运算的应用例如图所示分别是边中点分别是中点，已知试用，分别表示思维启迪由图形结。

10、数乘向量及几何意义定义实数与向量的积是个向量，记作长度方向共线，则存在个实数，使得知识点向量的线性运算向量的加减数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量，以及任意实数，恒有讲重点三点共线问题的向量来解决问题用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关三点共线的判定对于平面内任意三点，若存在个实数，使得或，则根据共线向量基本定理，可知线或线。

11、算向量的加减数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量，以及任意实数，恒有讲重点三点共线问题三点共线的判定对于平面内任意三点，若存在个实数，使得或，则根据共线向量基本定理，可知线或线或线，又由于它们具有公共点或或，则可知三点共线除此之外我们又有对于平面内任意三点，为不同于的任意点，设若实数，满足，则三点共线事实上，由可得，代入可得即，也即从而三点共线三点共线的性质根据向量共线。

12、和性质定理判定定理是倍当时，表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短为原来的倍知识点数乘向量的运算律，，中位线定理可解解析由三角形中位线定理，知故即充分利用平面几何的些结论，转化为相等向量相反向量共线向量及比例关系，建立已知向量与未知向量有直接关系的方向当时，与的方向相同当时，与的方向相反的几何意义将表示向量的中，已知是上点，若求的值解析法由，即所以法二因为所以知识。

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