1、解析几何知，给定斜率为的直线，则向量，与直线共线，我们把与直线共线的非零向量称为直线的方向向量类型平面向量数量积的坐标运算例已知向量,求，思维启迪明确相应向量的坐标代入相应的运算法则结果解析,如果题目给出平面向量的坐标表示，可由已知条件求出，的坐标，再用向量的数量积的坐标公式求解如果知道两个向量，思维启迪明确相应向量的坐由。

2、，则向量，与直线共线，我们把与直线共线的非零向量称为直线的方向向量类型平面向量数量积的坐标运算例已知向量,求，思维启迪明确相应向量的坐标代入相应的运算法则结果解析,如果题目给出平面向量的坐标表示，可由已知条件求出，的坐标，再用向量的数量积的坐标公式求解如果知道两个向量的坐标，可直接套用⊥，设，的夹角为，则，即，。

3、问题用坐标运算来解决尤为简单注意向量垂直的充要条件和向量平行的充要条件公式的区别⇔知识点平面向量的模向量模公式设，则两点间距离公式若则知识点向量的夹角公式设两非零向量与的夹角为，则讲重点利用数量积求两向量夹角的步骤利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积利用由公式的值在内，由的值求角知识点直线的方向向量由。

4、的夹角为直角所以，所以，所以，所以因为与的夹角为锐角，所以由的值求角变式训练已知分别确定实数的取值范围，使得与的夹角为直角与的夹角为锐角解析设与的夹角为因为与，设，的夹角为，则如果题目给出平面向量的坐标表示，可由已知条件求出，的坐标，再用向量的值在内，由的值求角知识点直线的方向向量由解析几何知，给定斜率为的直线。

5、面向量数量积的坐标表示若则两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和讲重点对数量积的坐标运算公式的理解数量积的坐标运算公式以单位正交基底为基础该公式可以简单记为“横横纵纵积的和”知识点两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量则⊥⇔讲重点区分向量平行与垂直的坐标公式向量的坐标表示与运算不但简化了数量积的运算，而且使有关模长度角度垂直等。

6、解析几何知，给定斜率为的直线，则向量，与直线共线，我们把与直线共线的非零向量称为直线的方向向量类型平面向量数量积的坐标运算例已知向量,求点两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量则⊥⇔讲重点区分向量平行与垂直的坐标公式的坐标表示若则两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和讲重点对数量积的坐标运算公式的理解数量积的坐标运算公式以单位。

7、的夹角为利用向量的数量积求两向量夹角的般步骤为利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积利用由公式的值在内，由的值求角变式训练已知分别确定实数的取值范围，使得与的夹角为直角与的夹角为锐角解析设与的夹角为因为与的夹角为直角所以，所以，所以，所以因为与的夹角为锐角，所以且所以且与不同向由得，故，与的横坐标都是，当时。

8、线的方向向量由解析几何知，给定斜率为的直线，则向量，与直线共线，我们把与直线共线的非零向量称为直线的方向向量类型平面向量数量积的坐标运算例已知向量,求，思维启迪明确相应向量的坐标代入相应的运算法则结果解析,，即，的夹角为利用向量的数量积求两向量夹角的般步骤为利用平面向量数如果题目给出平面向量的坐标表示，可由已知条件求出，的。

9、，与方向相同，与的夹角为锐角，且类型四利用数量积的坐标表示求向量的模例已知若⊥，求，思维启迪求出的坐标⊥列出关于的方程组求出，解析⊥，即，解之得答案本题关键是利用坐标运算及向量垂直的关系，列出方程求出未知参数，再利用向量模的定义求出向量的模变式训练平面向量与的夹角为则解析由已知，答案知识点平。

10、单注意向量垂直的充要条件和向量平行的充要条件公式的区别⇔知识点平面向量的模向量模公式设，则两点间距离公式若则知识点向量的夹角公式设两非坐标⊥列出关于的方程组求出，解析零向量与的夹角为，则讲重点利用数量积求两向量夹角的步骤利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积利用由公式的值在内，由的值求角知识点直。

11、坐标，再用向量的数量积的坐标公式求解如果知道两个向量的坐标，可直接套用⊥，设，的夹角为，则，即，的夹角为利用向量的数量积求两向量夹角的般步骤为利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积利用由公式的值在内，由的值求角变式训练已知分别确定实数的取值范围，使得与的夹角为直角与的夹角为锐角解析设与的夹角为，。

12、正交基底为基础该公式可以简单记为“横横纵纵积的和”知识时，与方向相同，与的夹角为锐角，且类型四利用数量积的坐标表示求向量的模例已知若⊥，求，思维启迪求出的的模变式训练平面向量与的夹角为则解析由已知，解之得答案本题关键是利用坐标运算及向量垂直的关系，列出方程求出未知参数，再利用向量模的定义求出向量尤为简。

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