，是周期为的周期函数解是定义在且对任意实数，恒有，当，时，求证是周期函数当，时，求的解析式计算„证明时，则，又为奇函数即四川卷设即，且，于是为偶函数，则解析为偶函数，则为奇函数，所以因为为偶函数，所以排除因为为偶函数，所以排除因为所以函数故填答案全国Ⅰ卷若函数过原点若函数是奇函数，则函数关于点，中心对称如果函数，为定义域相同的偶函数，则也是偶函数若为函数的个周期，那么且也是函数的周期福建卷改编给出下列函数填序号因为函数的定义域为，，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，排除因为为偶函数，所以排除因为为偶函数，所以排除因为所以函数故填答案全国Ⅰ卷若函数为偶函数，则解析为偶函数，则为奇函数，所以，即，答案是定义在当时则时，时，则，又为奇函数即四川卷设即，且，于是时，由得当得，故不等式的解集为，，答案，，考点三函数的周期性及其应用例设是定义在且对任意实数，恒有，当，时，求证是周期函数当，时，求的解析式计算„证明，是周期为的周期函数解，又即，，解，又是周期为的周期函数，„„判断函数的周期性只需证明即可，且周期为根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题在解决具体问题时，要注意结论“若则且也是函数的周期”的应用训练苏锡常镇模拟若函数是周期为的奇函数，且在，上的解析式为则广州模拟已知是定义在且，当时则由于函数是周期为的奇函数，所以由，得，所以函数的周期为答案思想方法首先应该判断函数定义域是否关于原点对称求函数值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解求解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出求解析式中的参数，利用待定系数法求解画函数图象，利用奇偶性可画出另对称区间上的图象易错防范既不是是奇函数的充分条件，也不是必要条件数满足的关系表明的是函数图象的对称性，函数满足的关系表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆第讲函数的奇偶性与周期性考试要求研究函数的奇偶性，最小正周期的含义，周期性的判断及应用，知识梳义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意个，都有，那么函数是偶函数关于对称奇函数如果对于函数的定义域内任意个，都有，那么函数是奇函数关于对称原点奇偶函数的性质奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性填“相同”“相反”在公共定义域内两个奇函数的和函数是，两个奇函数的积函数是两个偶函数的和函数积函数是个奇函数，个偶函数的积函数是相同相反奇函数偶函数偶函数奇函数若函数是奇函数且在处有定义，则周期函数对于函数，如果存在个非零常数，使得当都有，那么就称函数为周期函数，称最小正周期如果在周期函数的所有周期中的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期存在个最小诊断自测判断正误在括号内打或“”函数，是偶函数偶函数的图象不定过原点，奇函数的图象定过原点若函数是奇函数，则函数关于点，中心对称如果函数，为定义域相同的偶函数，则也是偶函数若为函数的个周期，那么且也是函数的周期福建卷改编给出下列函数填序号因为函数的定义域为，，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，排除因为为偶函数，所以排除因为为偶函数，所以排除因为所以函数故填答案全国Ⅰ卷若函数为偶函数，则解析为偶函数，则为奇函数，所以，即，答案是定义在当时则时，时，则，又为奇函数即四川卷设是定义在上的周期为的函数，当，时，则解析的周期为，，又当时答案考点函数奇偶性的判断例判断下列函数的奇偶性福建卷改编给出下列函数关于点，中心对称如果函数，为定义域相同的偶函数，则也是偶函数若为函数的个周期，那么且也是函数的周期由广州模拟已知是定义在且，当时则由于函数是周期为的奇函数，所以即，，解，又是周期为的周期函数苏锡常镇模拟若函数是周期为的奇函数，且在，上的解析式为，且周期为根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题在解决具体问题时，要注意结论“若则且也是函数的周期”的应用训练的周期为答案思想方法首先应该判断函数定义域是否关于原点对称求函数值，将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解求解析式，将待求区间上„„的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出求解析式中的参数，利用待定系数法求解画函数图象，利用奇偶性可画出另对称区间上的图象易错防范既不是是奇函数的充分条件，也不是必要条件数满足的关系表明的是函数图象的对称性，函数满足的关系表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆第讲函数的奇偶性与周期性考试要求研究函数的奇偶性，最小正周期的含义，周期性的判断及应用，知识梳义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意个，都有，那么函数是偶函数关于对称奇函数如果对于函数的定义域内任意个，都有，那么函数是奇函数关于对称原点奇偶函数的性质奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性填“相时，由得当得，故，时，由得当得，故不等式的解集为，，答案，，考点三函数的周期性及其应用例设是定义在且对任意实数，恒有，当，时，求证是周期函数当，时，求的解析式计算„证明，是周期为的周期函数解，又即，，解，又是周期为的周期函数，„