1、“.....解题时常有两条途径是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算二是先，因为所以因为，所以所以方法已知向量向量则的值是解析因为所以，所以误直线的方向向量为，错误当且时，向量，的夹角满足直线的方向向量为，若则向量，的夹角满足若则解析错非零向量与的夹角为，则有直线的方向向量给定斜率为的直线，则向量与直线共线，把与直线共线的向量称为直线的方向向量......”。

2、“.....错误的打“”直线的方向向量为，若则向量，的夹角满足若则解析错误直线的方向向量为，错误当且时，向量，的夹角满足，即向量夹角公式的适用范围是且正确由两点间的距离公式，得已知向量向量则的值是解析因为所以，所以，法二因为所以所以，因为所以因为，所以所以方法归纳关于数量积的坐标运算，解题时常有两条途径是先将各向量用坐标表示......”。

3、“.....再依据已知计算在正确理解公式的基础上，熟练运用及其变形，并在练习中总结经验，提高运算能力已知向量且，则的值等于设向量向量向量则向量，已知向量，求求解因为所以，解得，故选依题意，所以，故选法因为所以，所以，法二因为所以，向量的夹角与垂直问题已知向量且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是，，，已知且⊥，则实数为何值链接教材例解当，共线时，此时，方向相同，夹角为......”。

4、“.....则有且，不同向由得，且，即实数的取值范围是，，因为⊥，所以，即，所以本例条件换成“与的夹角为钝角”，求实数的取值范围解若与的夹角为钝角，则且，不反向，由得，经检验对的所有值均满足与的夹角为钝角，即实数的取值范围是平面向量数量积的坐标表示第二章平面向量问题导航向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗向量有几种表示方法由于表示方法的不同......”。

5、“.....两个向量的数量积和两个向量夹角的余弦值有什么关系例题导读例通过本例学习，学会利用平面向量数量积的坐标表示计算两向量夹角的余弦值试试教材练习你会吗例，例通过此二例学习，体会向量在解析几何中的应用，学会利用平面向量的数量积求曲线的方程试试教材习题组你会吗例通过本例学习......”。

6、“.....即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和简记为“对应相乘计算和”两个向量垂直的坐标表示向量则⊥⇔⇔度量公式长度公式向量则或距离公式夹角公式则非零向量与的夹角为，则有直线的方向向量给定斜率为的直线，则向量与直线共线，把与直线共线的向量称为直线的方向向量，非零判断正误正确的打，错误的打“”直线的方向向量为，若则向量，的夹角满足若则解析错误直线的方向向量为，错误当且时，向量......”。

7、“.....即向量夹角公式的适用范围是且正确由两点间的距离公式，得已知向量向量则的值是解析因为所以，已知向量，若向量，的夹角为，则实数解析因为又，所以，所以对向量数量积的坐标运算与度量公式的两点说明向量的坐标运算实现了向量运算的代数化，其将数与形紧密联系在起，使向量的运算方式得到拓展向量的模的坐标运算的实质向量的模即为向方向向量给定斜率为的直线，则向量与直线共线......”。

8、“.....则有直线的锐角，则实数的取值范围是，，，所以，向量的夹角与垂直问题已知向量且与的夹角为及其变形，并在练习中总结经验，提高运算能力已知向量且，则的值等于法因为所以，所以，因为所以，解得，故选依题意，所以，故选当，共线时，此时，方向相同，夹角为，所以要使与的夹角为锐角，则有且，不同向由得，且，即实数的取值范围是，，设向量向量向量则向量，因为⊥......”。

9、“.....即，所以本例条件换成“与的夹角为钝角”，求实数的取值范围解若与的夹角为钝角，则且，不反向，由得，经检验对的所有值均满足与的夹角为钝角，即实数的取值范围是平面向量数量积的坐标表示第二章平面向量问题导航向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗向量有几种表示方法由于表示方法的不同，计算数量积的方法有什么不同由向量夹角余弦值的计算公式可知......”。