考虑到几何图形的各种情况成功破障圆心在直线上的圆与轴交于两点则圆的标准方程为解析结合题意可知，圆心在直线上，又圆心在直线上，故圆心坐标是从而，圆的标准方程是答案随堂即时演练圆的圆心坐标是答案点，与圆的位置关系是在圆外在圆内在圆上不确定解析选，点在圆外若点，在圆上，则实数解析点在圆上答案经过原点，圆心在轴的负半轴上，半径为的圆的方程是解析圆心是半径是，所以圆的方程是答案求以，为顶点的三角形的外接圆的方程解设所求圆的方程是将点，代入上式得，，，解此方程组，得所以，的外接圆方程是课时达标检测选择题已知点，和圆的方程，则它们的位置关系为在圆心在圆上在圆内在圆外解析选，点在圆内圆的圆心半径是答案圆心在轴上，半径为，且过点，的圆的方程为解析选法直接法设圆心坐标为则由题意知，解得，故圆的方程为法二数形结合法根据点，到圆心的距离为，易知圆心为故圆的方程为法三验证法将点，代入四个选择项，排除，又由于圆心在轴上，排除，选福建六校联考以两点，和，为直径端点的圆的方程是解析选圆心坐标为半径，故所求圆的方程为当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的方程为解析选直线方程变为由得，所求圆的方程为二填空题圆心为直线与直线的交点，且过原点的圆的标准方程是解析由可得即圆心为从而，故圆的标准方程为答案嘉兴高检测点，在圆的内部，则的取值范围是解析由于点在圆的内部，所以，即，又，解得答案若圆心在轴上，半径为的圆位于轴左侧，且与直线相切，则圆的方程是解析如图所示，设圆心则圆心到直线的距离为，解得，舍去，圆心是，故圆的方程是答案三解答题求经过，两点且圆心在轴上的圆的方程解法设圆心坐标为，圆心在轴上，设圆的标准方程为该圆过，两点，，解得，所求圆的方程为法二线段的中点坐标为，弦的垂直平分线方程为，即由解得，点，为所求圆的圆心由两点间的距离公式，得圆的半径，所求圆的方程为求过点，和，且与直线相切的圆的方程解圆心在线段的垂直平分线上，设圆心为半径为，则圆的方程为将点，代入得，而，代入，得，解得或，故所求圆为，或圆的般方程提出问题已知圆心半径为问题写出圆的标准方程提示问题上述方程能否化为二元二次方程的形式提示可以，问题方程是否表示圆提示配方化为，不表示圆问题方程定表示圆吗提示不定导入新知圆的般方程的概念当时，二元二次方程叫做圆的般方程圆的般方程对应的圆心和半径圆的般方程关于坐标平面的对称点为，故错对于，点关于纵轴的对称点是，故错④正确故选吉林高检测若点关于坐标平面及轴的对称点的坐标分别是则与的和为解析选点关于坐标平面的对称点坐标是，关于轴的对称点坐标是，从而知在空间直角坐标系中，已知点，过点作平面的垂线，为垂足，则的坐标为解析选点关于平面的对称点是，则垂足是的中点，所以点的坐标为，故选点，点与点关于面对称，点与点关于轴对称，则的值为解析选点关于面对称的点的坐标是，点关于轴对称的点的坐标是，故长春高检测已知点和点，且，则实数的值是或或或或解析选，或二填空题已知，则是三角形填三角形的形状解析，，所以，由三边长度关系知能构成三角形，所以是等腰三角形答案等腰沈阳高检测已知则的最小值为解析由两点间的距离公式可得答案在棱长为的正方体中，是的中点，在棱上，且，为的中点，则的长为解析建立如图所示的空间直角坐标系，为坐标原点，由题意，得则所以答案三解答题如图，在空间直角坐标系中原点是的中点，点在平面内，且求点的坐标解过点作⊥，垂足为在中得，点的坐标为如图所示，在长方体中，点在上在上且为中点，求两点间的距离解如图所示，分别以所在的直线为轴轴轴建立空间直角坐标系由题意可知为的中点，是的三分之分点且靠近点，由两点间距离公式，得圆与方程选择题共小题，每小题分，共分上海春季高考直线与圆的位置关系为相交或相切相交或相离相切相交解析选圆的圆心，到直线的距离为因为，所以直线与圆相交，或由直线经过定点，在圆内，故相交方程表示个圆，则的取值范围是解得南安高检测空间直角坐标系中，已知则，两点间的距离为解析选以正方体的棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为个单位长度，则棱中点坐标为答案圆和圆的位置关系是相离相交外切内切解析选化为标准方程圆，圆，则，又，所以两圆相交自点，作圆的切线，则切线长为解析选点到圆心距离为，切线长为直线与圆相切，则实数等于或或或或解析选圆的方程变形为，圆心，到直线的距离等于半径⇒⇒⇒或，故选圆心在轴上，半径长为，且过点，的圆的方程为或解析选设圆心坐标为则由题意知，解得或，故圆的方程为或圆与圆外切，则的值为或不确定解析选圆的圆心为半径长为，圆的圆心为半径长为依题意有，即，解得或若直线被圆所截得的弦长为则实数的值为或或或或解析选圆心，到直线的距离，则，解得或二填空题共小题，每小题分，共分在如图所示的长方体中，已知则点的坐标为解析由题中图可知，点的横坐标和竖坐标与点的横坐标和竖坐标相同，点的纵坐标与点的纵坐标相同，答案北京高考直线被圆截得的弦长为解析如图所示圆心，到直线的距离，所以弦长为答案设为圆上动点，则到直线的最大距离为解析圆心到直线的距离，则到直线的最大距离为答案已知则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是解析设由条件知⊥，且，的斜率肯定存在，故，即，又当三点共线时，不能构成三角形，所以≠，即所求轨迹方程为≠答案≠三解答题共小题，共分，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤本小题满分分求圆心在直线上，且与轴相切，在轴上截得的弦长为的圆的方程解设圆的方程为，由题意可得，解得或，所以圆的方程为或本小题满分分已知正方体的棱长为，过作⊥于点，求两点之间的距离解建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意，可得过点作⊥于，如图所示，则在中所以，所以在中，由∽，得所以点的坐标为，则点的坐标为由两点间的距离公式，得，所以两点之间的距离是本小题满分分座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面米，水面宽米，当水面下降米后，水面宽多少米解以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系设圆心为，水面所在弦的端点为则由已知可得设圆的半径长为，则即圆的方程为将点的坐标代入上述方程可得，所以圆的方程为当水面下降米后，可设代入，解得，即当水面下降米后，水面宽米本小题满分分淮安高二检测已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线切点为，若，试求点的坐标若点的坐标为过作直线与圆交于，两点，当时，求直线的方程解设由题可知，所以，解得或，故所求点的坐标为，或，由题意易知存在，设直线的方程为，由题知圆心到直线的距离为，所以，解得或，故所求直线的方程为或三维设计高中数学第四章圆与方程学案新人教版必修圆的方程圆的标准方程圆的标准方程提出问题南昌之星摩天轮是目前世界上第二高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑该摩天轮总高度为米，转盘直径为米，比位于英国泰晤士河边的米高的伦敦之眼摩天轮还要高问题游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离样吗提示样圆上的点到圆心距离都是相等的，都是圆的半径问题若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任点，的坐标满足什么关系提示问题以，为圆心，为半径的圆上任点的坐标，满足什么关系提示导入新知圆的标准方程圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径确定圆的要素是圆心和半径，如图所示圆的标准方程圆心为半径长为的圆的标准方程是当时，方程为，表示以原点为圆心半径为的圆化解疑难由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点几种特殊位置的圆的标准方程条件圆的标准方程过原点圆心在轴上≠圆心在轴上≠圆心在轴上且过原点≠圆心在轴上且过原点≠与轴相切≠与轴相切≠点与圆的位置关系提出问题爱好运动的小华，小强，小兵三人相邀搞场掷飞镖比赛，他们把靶子钉在土墙上，规定谁的飞镖离靶心越近，谁获胜，如图分别是他们掷轮飞镖的落点看图回答下列问题问题点与圆的位置关系有几种提示三种点在圆外圆上圆内问题如何判断他们的胜负提示利用点与圆心的距离导入新知点与圆的位置关系圆的标准方程为，圆心半径为设所给点为则位置关系判断方法几何法代数法点在圆上⇔点在圆上点，在圆上⇔点在圆内⇔点在圆外点，在圆外⇔化解疑难点与圆的位置关系有三种点在圆内，点在圆上，点在圆外判断点与圆的位置关系常用几何法和代数法求圆的标准方程例过点，且圆心在直线上的圆的方程是解析法设所求圆的标准方程为，由已知条件知，解此方程组，得故所求圆的标准方程为法二设点为圆心，点在直线上，可设点的坐标为，又该圆经过，两点，，解得圆心坐标为半径长故所求圆的标准方程为法三由已知可得线段的中点坐标为，所以弦的垂直平分线的斜率为，所以的垂直平分线的方程为，即则圆心是直线与的交点，由得即圆心为圆的半径为，故所求圆的标准方程为答案类题通法确定圆的标准方程就是设法确定圆心，及半径，