得，过定点，将代入得，过定点不合，舍去，定点为，二定义法求轨迹方程例已知动圆过定点并且在定圆内部与其相内切，则动圆圆心轨迹方程为解析设动圆半径为因为动圆过定点所以圆圆心为半径为因为动圆过定点，并且在定圆内部与其相内切，所以，即根据椭圆定义知点，轨迹是以点，为焦点，长轴长为椭圆所以则，则动圆圆心轨迹方程为故选点评届高三数学文轮总复习新课标课件第章直线与圆圆锥曲线第讲文档页与曲线交于，两点且有，试求值解析由已知，即，所以轨迹方程为设中点坐标为，，消去得，由根与系数关系得，则则垂直平分线方程为，又点，在垂直平分线上，代入方程得当时直线与双曲线相交，符合题意，所以若计算，得求曲线方程是解析几何主要研究两类问题之，要注意求轨迹与求轨迹方程区别，求轨迹不仅要求方程，而且还需说明所求轨迹是什么样图形，即图形形状位置求轨迹应注意问题直接法是求轨迹方程基本方法定义法求轨迹关键是紧扣解析几何中有关求得点轨迹方程，再以此点作为主动点，所求轨迹上点为相关点，求得轨迹方程备选题例已知⊥求点，轨迹方程若直线所以所以设直线方程为，由得其中设直线与曲线两交点坐标为则点坐标为则点坐标为，由，得即，点轨迹为曲线求曲线方程设过点，且斜率为直线被曲线所截得弦中点为，为坐标原点，直线斜率为，求最小值解析设点坐标为迹方程圆锥曲线定义揭示了其本质特征，而圆锥曲线方程随坐标系不同而不同，因而掌握定义是根本动圆圆心轨迹方程为故选点评本题为利用圆锥曲线定义求动点轨迹方程问题若动点轨迹条件符合基本轨迹定义，如圆椭圆双曲线抛物线定义，则可以直接根据定义求出动点轨设直线方程为，由得其中设直线与曲线两交点坐标为则在垂直平分线上，代入方程得当时直线与双曲线相代入化简得，将代入得，过定点，将代入得，过定点不合，舍去，定点为，二定义法求轨迹方程例已知动圆过定点并且在定圆圆圆心时，坐标为，又直线与圆交于，两点，为中点点轨迹方程方程为由得公式得易知直线斜率存在，设直线方程为，当直线与圆相切时解得把相切时直线方程代入圆方程化简得，解得当直线经过圆圆心时，坐标为，又直线与圆交于，两点，为中点点轨迹方程方程为由得，，且将，代入化简得，将代入得，过定点，将代入得，过定点不合，舍去，定点为，二定义法求轨迹方程例已知动圆过定点并且在定圆内部与其相内切，则动圆圆心轨迹方程为解析设动圆半径为因为动圆过定点所以圆圆心为半径为因为动圆过定点，并且在定圆内部与其相内切，所以，即根据椭圆定义知东已知过原点动直线与圆相交于不同两点，求圆圆心坐标求线段中点轨迹方程是否存在实数，使得直线与曲线只有个交点若存在，求出取东已知过原点动直线与圆相交于不同两点，求圆圆心坐标求线段中点轨迹方程是否存在实数，使得直线与曲线只有个交点若存在，求出取东已知过原点动直线与圆相交于不同两点，求圆圆心坐标求线段中点轨迹方程是否存在实数，使得直线与曲线只有个交点若存在，求出取值范围若不存在，说明理由解析把圆方程化为标准方程得，圆圆心坐标为，设，为过原点直线与圆交点，且为中点，由圆性质知⊥，又由向量数量积公式得易知直线斜率存在，设直线方程为，当直线与圆相切时解得把相切时直线方程代入圆方程化简得，解得当直线经过圆圆心时，坐标为，又直线与圆交于，两点，为中点点轨迹方程方程为由得，，且将，代入化简得，将代入得，过定点，将代入得，过定点不合，舍去，定点为，二定义法求轨迹方程例已知动圆过定点并且在定圆内部与其相内切，则动圆圆心轨迹方程为解析设动圆半径为因为动圆过定点所以圆圆心为半径为因为动圆过定点，并且在定圆内部与其相内切，所以，即根据椭圆定义知点，轨迹是以点，为焦点，长轴长为椭圆所以则，则动圆圆心轨迹方程为故选点评本题为利用圆锥曲线定义求动点轨迹方程问题若动点轨迹条件符合基本轨迹定义，如圆椭圆双曲线抛物线定义，则可以直接根据定义求出动点轨迹方程圆锥曲线定义揭示了其本质特征，而圆锥曲线方程随坐标系不同而不同，因而掌握定义是根本三代入法求轨迹方程例已知点是圆上动点，点在轴上射影为，设满足条件点轨迹为曲线求曲线方程设过点，且斜率为直线被曲线所截得弦中点为，为坐标原点，直线斜率为，求最小值解析设点坐标为点坐标为则点坐标为，由，得即，因为点在圆上，则，故点轨迹，即曲线方程为由题设直线方程为，由得其中设直线与曲线两交点坐标为则所以所以，当且仅当时取等号故最小值为点评在些较复杂探求轨迹过程中，可先确定个较易于求得点轨迹方程，再以此点作为主动点，所求轨迹上点为相关点，求得轨迹方程备选题例已知⊥求点，轨迹方程若直线与曲线交于，两点且有，试求值解析由已知，即，所以轨迹方程为设中点坐标为，，消去得，由根与系数关系得，则则垂直平分线方程为，又点，在垂直平分线上，代入方程得当时直线与双曲线相交，符合题意，所以若计算，得求曲线方程是解析几何主要研究两类问题之，要注意求轨迹与求轨迹方程区别，求轨迹不仅要求方程，而且还需说明所求轨迹是什么样图形，即图形形状位置求轨迹应注意问题直接法是求轨迹方程基本方法定义法求轨迹关键是紧扣解析几何中有关曲线定义，灵活应用定义用代入法即相关点法求轨迹关键是寻求关系式然后代入已知曲线而求对称曲线轴对称中心对称等方程实质上也是用代入法相关点法解题无论用哪种方法求轨迹方程，都应注意轨迹方程完备性和纯粹性求出轨迹方程中若有解不符合轨迹条件，从而使轨迹图形上有不符合轨迹条件点存在，则该方程及其曲线不满足纯粹性求出轨迹方程所表示曲线若不是所有适合条件点集合，即曲线之外还有适合条件点存在，则该方程及其曲线不满足完备性用几何法求轨迹，通常能减少大量计算，事半功倍挖掘图形几何属性，建立适当等量关系，然后联系有关定义，利用有用条件，从而简化计算，这是解题关键广东已知过原点动直线与圆相交于不同两点，求圆圆心坐标求线段中点轨迹方程是否存在实数，使得直线与曲线只有个交点若存在，求出取值范围若不存在，说明理由解析把圆方程化为标准方程得，圆圆心坐标为，设，为过原点直线与圆交点，且为中点，由圆性质知⊥，又由向量数量积公式得易知直线斜率存在，设直线方程为，当直线与圆相切时解得把相切时直线方程代入圆方程化简得，解得当直线经过圆圆心时，坐标为，又直线与圆交于，两点，为中点点轨迹方程，则方程在区间，上有且仅有个根，只需⇒故在区间，上有且仅有个根，满足题意综上所述，取值范围是或设圆与圆外切，与直线相切，则圆心轨迹为抛物线双曲线椭圆圆解析解法设圆心坐标为依题意得，整理得，故选解法二依题意得，圆心到点，距离与它到直线距离相等，则圆心轨迹为抛物线已知两定点若动点满足，则动点轨迹方程是解析设由得，化简得，即，故选抛物线焦点弦中点轨迹方程是解析设焦点弦两个端点为中点为则焦点为，⇒当时，中点为点当时，即也在该曲线上，故选设为双曲线上动点，为坐标原点，为线段中点，则点轨迹方程是解析设，⇒在中，已知且，则点轨迹方程是解析由，利用正弦定理可化为是三条边长，即，点是双曲线左支上动点，如图双曲线实轴长为，实半轴长是，焦距等于，半焦距是，虚半轴长平方是，点轨迹方程为已知抛物线，过点，作条直线交抛物线于，两点，则弦中点轨迹方程为解析设弦中点为并设则由题意得，又即，弦中点轨迹方程为若是双曲线上任点，是右焦点，点在延长线上，且，则点轨迹方程是解析设由题意可知，又点在双曲线上，整理得，即为所求点轨迹方程在直角坐标系中，已知动点与平面上两定点，连结斜率积为定值，设点轨迹为求曲线方程设直线与交于，两点，若⊥，求值解析设，由题意知，化简得，所以曲线方程为设其坐标满足，消去并整理得，故，若⊥，即而，于是，化简得，所以已知若点满足求点轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线求取值范围若求在，上取值范围解析设为点轨迹方程，该曲线是以，为焦点，长轴长为椭圆，为椭圆右焦点，，令，，，，方程为由得，，且将，代入化简得，将代入得，过定点，将代入得，过定点不合，舍去，定点为，二定义法求轨迹方程例已知动圆过定点并且在定圆内部与其相内切，则动圆圆心轨迹方程为解析设动圆半径为因为动圆过定点所以第讲轨迹问题学习目标了解曲线与方程概念掌握求轨迹般程序和步骤能熟练地运用直接法定义法代数法参数法等方法求动点轨迹方程基础检测如图，圆半径为定长，是圆外个定点，是圆上任意点，线段垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点轨迹是圆椭圆双曲线抛物线解析由垂直平分线性质可知，结合双曲线定义可知点轨迹是以，为焦点双曲线抛物线组斜率为平行弦中点轨迹是椭圆圆双曲线射线不含端点解析设弦两个端点分别为，中点为因为两点都在抛物线上，所以有，两式相减得，即，所以，所以所求轨迹为直线在抛物线内部部分已知动点在曲线上移动，则点，与点连线中点轨迹方程是解析设点则„，设点，与点连线中点为由中点坐标公式得则代入得，即，这就是点，与点连线中点轨迹方程点，与圆上任点连线中点轨迹方程是解析设圆上任点为中点为则解得代入圆方程，得，整理，得已知是椭圆左焦点，是椭圆上任点，点满足，则轨迹方程为解析设，解得，代入椭圆方程即得知识要点曲线方程方程曲线定义如果曲线上点与方程，实数解建立了如下关系曲线上点坐标称曲线具备了纯粹性以这个方程解为坐标点称曲线具备了完备性那么，我们就称曲线是方程曲线，方程是曲线方程都是这个方程解都在曲线上求曲线方程步骤般地，求曲线方程步骤如下建系建立平面直角坐标系简称建系，设点建立适当直角坐标系后，设曲线上任点列式用坐标表示动点几何关系或等量关系，列出方程化简化方程为，最简形式证明或检查致性求轨迹方程常用方法直接法题目中条件有明显等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点，解析式定义法分析题设几何条件，根据圆锥曲线定义，判断轨迹是何种类型曲线，直接求出该曲线方程代入法如果轨迹动点，依赖于另动点而，又在已知曲线上，则可先列出关于，方程组，利用，表示出把，代入已知曲线方程便得动点轨迹方程参数法如果轨迹动点，坐标之间关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将，用个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程参数法中常选角斜率等为参数“轨迹”与“轨迹方程”区别与联系般说来，若是“求轨迹方程”，求得方程就可以了若是“求轨迹”，求得方程还不够，还应指出方程所表示曲线类型，轨迹与轨迹方程