因此由，得于是所以，因此即由知，所以，从而或，即或，故或点评平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切联系，如果在平面向量与三角函数交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性，若根据所给三角函数结构及向量间相互关系进行处理可使解题过程得到简化，从而提高解题速度四向量数量积综合应用例已知向量，若，求值记，在中，角，届高三数学文轮总复习新课标课件第章三角函数平面向量与复数第讲文档页与⊥⇔要区分清楚重庆已知非零向量，满足，且⊥，则与夹角为解析根据向量垂直条件建立方程，进而求得与夹角⊥，即，浙江已知，是平面单位向量，且若平面向量满足，则解析利用数形结合进行求解又，由，得，已知则等于解析设向律公式关系非常密切，必须能够灵活综合运用通过向量数量积，可以计算向量长度，平面内两点间距离，两个向量夹角，判断相应两直线是否垂直⇔几何意义，熟练掌握向量数量积五个重要性质及三个运算规律向量数量积运算不同于实数乘法运算律，数量积不满，又，故函数取值范围是，要准确理解两个向量数量积定义及，由正弦定理得，求函数取值范围解析，即，即，若，求值记，在中，角对边分别是，且满足，又，故函数取值范围是，要准确理解两个向量数量积定义及是平面单位向量，且若平面向量满足，则解析利用数形结合进行求，求角大小解析设由得，所以又因此由，得于是所以，解析因为⊥，所以，即，解得已知因为最大值为，即，由于，故即已知平面向量且⊥，则实数值为解析因为⊥，所以，即，解得已知因为最大值为，所以最大值为点评本题考查了向量夹角与向量模长两个概念，与三角函数只是联系在起三向量数量积综合例在中，已知，求角大小解析设由得，所以又因此由，得于是所以，因此即由知，所以，从而或，即或，故或点评平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切联系，如果在平面向量与三角函数交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性，若根据所给三角函数结构及向量，由，得，已知则等于解析，由，得，已知则等于解析，由，得，已知则等于解析设向量其中，若，则解析由得，而，故即，由于，故即已知平面向量且⊥，则实数值为解析因为⊥，所以，即，解得已知因为最大值为，所以最大值为点评本题考查了向量夹角与向量模长两个概念，与三角函数只是联系在起三向量数量积综合例在中，已知，求角大小解析设由得，所以又因此由，得于是所以，因此即由知，所以，从而或，即或，故或点评平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切联系，如果在平面向量与三角函数交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性，若根据所给三角函数结构及向量间相互关系进行处理可使解题过程得到简化，从而提高解题速度四向量数量积综合应用例已知向量，若，求值记，在中，角对边分别是，且满足，求函数取值范围解析，即，即，，由正弦定理得且又，故函数取值范围是，要准确理解两个向量数量积定义及几何意义，熟练掌握向量数量积五个重要性质及三个运算规律向量数量积运算不同于实数乘法运算律，数量积不满足结合律消去律⇒⇒或，但满足交换律和分配律公式关系非常密切，必须能够灵活综合运用通过向量数量积，可以计算向量长度，平面内两点间距离，两个向量夹角，判断相应两直线是否垂直⇔与⊥⇔要区分清楚重庆已知非零向量，满足，且⊥，则与夹角为解析根据向量垂直条件建立方程，进而求得与夹角⊥，即，浙江已知，是平面单位向量，且若平面向量满足，则解析利用数形结合进行求解又，由，得，已知则等于解析设向量其中，若，则解析由得，而，故即，由于，故即已知平面向量且⊥，则实数值为解析因为⊥，所以，即，解得已知，，故函数取值范围是，要准确理解两个向量数量积定义及几何意义，熟练掌握向量数量积五个重要性质及三个运算规律向量数量积运算不同于实数乘法运算律，数量积不满足结合律消去律⇒⇒或，但满足交换律和分配律公式关系非常密切，必须能够灵活综合运用通过向量数量积，可以计算向量长度，平面内两点间距离，两个向量夹角，判断相应两直线是否垂直⇔与⊥⇔要区分清楚重庆已知非零向量，满足，且⊥，则与夹角为解析根据向量垂直条件建立方程，进而求得与夹角⊥，即，浙江已知，是平面单位向量，且若平面向量满足，则解析利用数形结合进行求解又，由，得，已知则等于解析设向量其中，若，则解析由得，而，故即，由于，故即已知平面向量且⊥，则实数值为解析因为⊥，所以，即，解得已知，则向量与夹角为解析，所以，所以，所以，设，为单位向量，且，夹角为，若则向量在方向上投影为解析本题考查向量数量积向量投影及模长公式，意在考查考生运算能力依题意得且，所以向量在方向上投影为，若平面向量，满足，则最小值是解析由可知所以，而，所以，当且仅当时取等号在平行四边形中，为中点若,则长为解析本题考查平面向量运算，意在考查考生运算求解能力设则又，解得，即长为已知向量，若，求值若求值解析因为，所以，于是，故由知所以从而，即，于是又由知所以或因此或设在平面上有两个向量，，求证向量与垂直当向量与模相等时，求大小解析证明因为，故与垂直由，两边平方得，所以，而，所以，则，即即，，又，则或，因为最大值为，所以最大值为点评本题考查了向量夹角与向量模长两个概念，与三角函数只是联系在起三向量数量积综合例在中，已知，求角大小解析设由得，所以又因此由，得于是所以，因此即由知，所以，从而或，即或，故，第讲平面向量数量积及应用学习目标理解平面向量数量积含义及其物理意义了解平面向量数量积与向量投影关系掌握数量积坐标表达式，会进行平面向量数量积运算能运用数量积表示两个向量夹角及判断两个平面向量垂直关系会用向量方法解决些简单平面几何问题及力学问题基础检测在四边形中且，则四边形是矩形菱形直角梯形等腰梯形解析由知四边形为平行四边形，又因为，即▱两条对角线垂直，所以四边形为菱形设向量与夹角为，定义与“向量积”是个向量，它模，若则等于解析又故选已知点，则向量在方向上投影为解析解法由已知易得所以向量在方向上投影为故选解法二由已知易得所以故向量在方向上投影为故选如图，在矩形中，点为中点，点在边上，若，则值是解析以为坐标原点所在直线分别为，轴建立直角坐标系，则，设由⇒⇒，所以知识要点两向量夹角已知非零向量作则叫做与夹角与夹角取值范围是当与同向时，它们夹角为当与反向时，它们夹角为当夹角为时，我们说与垂直，记作⊥向量数量积定义已知两个非零向量与，我们把叫做与数量积或内积，记作，即，规定零向量与任何向量数量积为，即向量数量积几何意义向量投影叫做向量在方向上投影，当为锐角时，它是正值当为钝角时当为直角时，它是零几何意义数量积等于与在方向上投影乘积平面向量数量积性质及其坐标表示已知非零向量为向量，夹角它是负值长度结论几何表示坐标表示模数量积夹角⊥充要条件与关系当且仅当时等号成立平面向量数量积运算律数量积运算例已知向量，设，求若与垂直，求值求向量在方向上投影解析由于与垂直值为设向量与夹角为，向量在方向上投影为点评平面向量数量积运算形式分为“定义式和坐标式”两种，在运算过程中注意数量运算法则灵活应用二向量模与夹角例在平面直角坐标系中，为原点求向量，夹角大小若动点满足，求最大值解析因为所以所以所以向量，夹角为因为坐标为，且，所以动点轨迹为以为圆心单位圆，则满足参数方程为参数且所以设坐标为，则，因为最大值为，所以最大值为点评本题考查了向量夹角与向量模长两个概念，与三角函数只是联系在起三向量数量积综合例在中，已知，求角大小解析设由得，所以又因此由，得于是所以，因此即由知，所以，从而或，即或，故或点评平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切联系，如果在平面向量与三角函数交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性，若根据所给三角函数结构及向量间相