即值是实数或复数的函数，但是我们也要讨论向量值函数即在中取值的函数和在任意度量空间中取值的函数我们在这个更般的基础上将要讨论的定理，并不会因为我们限制在例如实函数而显得更容易些，放弃不必要的假定和用适当普遍的措辞来叙述和证明定理，反而会使得情景确实简洁了我们的函数的定义域也是度量空间，遇有不同的要求，便加以适当的说明函数的极限定义令和是度量空间，假设，将映入内且是的极限点凡是我们写当时，或的时候，就是存在个点具有以下的性质对于每个ε，存在着，使得，对于满足，的切点成立记号和分别表示和中的距离如果和或换成实直线，复平面或欧式空间，那么距离和自然该换成绝对值或相应的范数见第段应当注意，但是上面的定义中，并不定要求是的点此外，即使，也完全可能我们还可以将这个定义用序列的极限改述为定理令，和是定义说的那些，那么湖北大学本科毕业论文设计外文翻译当且仅当对于中合于，的每个序列成立证假定成立，取中满足的给定了ε，那么就有，使得当且，时，，同样又有使得当时，，这样，对于，我们有，这就证明了成立反过来，假定不成立这时便有个ε，使得对于每个，都有点依赖于，对于这来说，，但，取我们就在中找到个满足，但使式不成立的序列推论如果在有极限，那么这极限是惟的这可以由定理及定理推出来定义设有定义在上的两个复函数和，我们用表示个函数，它给的每个点配置的数是我们用类似的方法定义两个函数的差，积及商，约定商只定义在的那些使上的点如果给的每个点配置同个数，那么就叫做个常数函数，或简单地叫做个常数，并记作设和都是实函数，如果对于每个来说，那么有时为了简便，就记作类似地，如果和把映入内，便用，来定义及再若是是实数，便定义定理如果，是度量空间，是的极限点，与是上的复函数，而且，湖北大学本科毕业论文设计外文翻译那么，，，假定证依照定义，这些论断可以从序列的类似性质定理直接退出来评注如果与将映入内，那么仍然成立，而就要变为参看定理连续函数定义设与是度量空间，并且将映入内，如果对于每个，总存在，对于切满足，的点来说，就说在连续如果在的每点都连续，就说在上连续应该注意，要使在点连续，必须在点有定义这点请与定义后面的说明对比下如果是的个孤立点，那么由我们的定义推知，每个以为定义域的函数都在点连续因为，不管取的哪个，总可以选个，使得满足，的点只有于是，定理在定义里所假定的情况下，再假定是的极限点那么，在点连续当且仅当证只要将定义和对比下就清楚了现在我们转到函数的复合下面定理的种简述是连续函数的连续函数是连续的定理设是度量空间，，将映入内，将的值域映入内，而是由定义的到的映射如果在点连续，并且在点连续，那么在点连续这个函数叫做和的复合函数或者和合成记号在本书中经常用证设已经给定因为在连续，便有使得当，和湖北大学本科毕业论文设计外文翻译有，又因为在点连续，那么存在着，使得当，和有，由此知道当，和有所以在点连续定理将度量空间映入度量空间内的映射在上连续，当且仅当对于的每个开集来说，是中的开集逆像的定义已见于定义这是连续性的个极有用的个特征证设在上连续而是中开集我们必须证明，的每个点都是的内点设，且由于是开集，必定存在着，使得当，有，而由于在点连续，就又存在，使当，有，所以，只要，就保证了反之，设对于中的每个开集来说，是中的开集固定了与，令满足，的切所成的集，那么是开集，因而是开集，因而存在着使得当，有然而旦，便将要，所以，这就完成了定理的证明推论将度量空间映入度量空间内的映射是连续的，当且仅当对于中的每个闭集，是闭集这由本定理即可推知因为个集是闭集，当且仅当它的余集是开集然而对每个，现在我们转到复值和向量值函数，以及定义在的子集上的函数定理设与是度量空间上的复连续函数，那么，与在上连续在最后的情形中，当然必须假定对于切，证在的孤立点无需证明在极限点，论断是定理与定理的直接结果定理设是度量空间上的实函数，并且是由湖北大学本科毕业论文设计外文翻译定义而将映入内的映射那么，连续当且仅当都连续如果与是将映入内的连续映射，那么与都在上连续函数叫做的分量注意，是把映入内的映射，而则是上的实函数证部分能由不等式推出来的，其中，部分是与定理的直接结果例如果是点的坐标由定义的函数必然在上连续，这因为不等式表示，我们可以在定义中取这些函数有时称为坐标函数重复应用定理可以证明每个单项式在上连续，其中是非负的整数因为常数显然是连续的，所以式用常数乘后还连续由此推知，每个由给出的多项式在上连续这里系数是复数，是非负的整数，并且中的和只有有限多项更进步，的每个有理函数，即形式如的两个多项式的商，只要它的分母不为零，便在上连续从三角形不等式容易看出，湖北大学本科毕业论文设计外文翻译所以，映射是上的连续函数现在，如果是个由度量空间映入内的连续映射，并且在上由定义，那么，用定理可以推知，是上的连续实函数评注我们定义了个度量空间的个子集上定义的函数的连续概念然而，在中的余集在这个定义中不起任何作用注意，这情况同函数的极限有些不同因此，去掉的定义域的余集我们毫不介意这就是说，我们可以只谈度量空间映入另度量空间内的连续映射，而不谈子集的映射这样可以简化些定理的叙述和证明我们已经在定理到中应用了这个原理，并且在下边关于紧性的节中还要这样做