1、“..... , , ,   ,            ,      , , , ,    ,       ,   ......”。

2、“.....    ,  ,   ,    ,        ,        , , ,   ,     , , ......”。

3、“..... ,          , , ,   , ,      ,      , , ,  ,  , ,  , ,    ，且 , , ,  , , , ,   , ∞, ,  ......”。

4、“.....         , , , ,  , , ,  ,  ,  , ,        ，   , , , ,        ,   , , ,        ,    ......”。

5、“.....  此外文文献选自于 数学分析原理 英文版 北京 机械工业出版社 幂级数的展开及其应用 在上节中，我们讨论了幂级数的收敛性，在其 收敛域内，幂级数总是收敛于个和函数对于些简单的幂级数，还可以借助逐项求导或求积分的方法，求出这个和函数本节将要讨论另外个问题，对于任意个函数 ，能否将其展开成个幂级数，以及展开成的幂级数是否以 为和函数 下面的讨论将解决这问题 马克劳林 公式 幂级数实际上可以视为多项式的延伸，因此在考虑函数 能否展开成幂级数时 ，可以从函数与多项式的关系入手来解决这个问题为此，这里不加证明地给出如下的公式 泰勒 公式 如果函数 在  的邻域内，有直到  阶的导数......”。

6、“..... 其中 ,   称 为拉格朗日型余项称 式为泰勒公式 如果令  ，就得到      ，  此时， , ,  ,  称 式为马克劳林公式 公式说明，任函数 只要有直到  阶导数，就可等于个 次多项式与个余项的和 我们称下列幂级数        为马克劳林级数那么，它是否以 为和函数呢 若令马克劳林级数  的前  项和为 ......”。

7、“..... 那么，级数 收敛于函数 的条件为   注意到马克劳林公式 与马克劳林级数 的关系，可知  于是，当  时，有  反之亦然即若  则必有  这表明，马克劳林级数 以 为和函数  马克劳林公式 中的余项  当  时 这样，我们就得到了函数 的幂级数展开式 ,         它就是函数 的幂级数表达式，也就是说，函数的幂级数展开式是唯的事实上，假设函数 可以表示为幂级数        ，  那么......”。

8、“.....再令  幂级数显然在  点收敛 ，就容易得到     将它们代入 式，所得与 的马克劳林展开式 完全相同 综上所述，如果函数 在包含零的区间内有任意阶导数，且在此区间内的马克劳林公式中的余项以零为极限 当  时 ，那么，函数 就可展开成形如 式的幂级数 幂级数       , 称为泰勒级数 二 初等函数的幂级数展开式 利用马克劳林公式将函数 展开成幂级数的方法，称为直接展开法 例 试将函数  展开成 的幂级数 解 因为   所以     ， 于是我们得到幂级数      ......”。

9、“..... 式的收敛区间为 ,  ，至于 式是否以  为和函数，即它是否收敛于  ，还要考察余项 因为 ,    ， 且 ， 所以 , ,   注意到对任确定的 值， 是个确定的常数，而级数 是绝对收敛的，因此其般项当  时 ，所以当  时，有 ,  ， 由此可知   这表明级数 确实收敛于  ，因此有         这种运用马克劳林公式将函数展开成幂级数的方法，虽然程 序明确，但是运算往往过于繁琐，因此人们普遍采用下面的比较简便的幂级数展开法 在此之前，我们已经得到了函数  ......”。