新课标2017春高中数学第2章数列2.3等差数列的前n项和第2课时等差数列前n项和公式的应用课件新人教A必修5

数学必修人教版新课标导学第二章数列.等差数列的前项和第课时等差数列前项和公式的应用课前自主学习课堂典例讲练课时作业课前自主学习北宋时期的科学家沈括在他的著作梦溪笔谈书中提出酒店里把酒瓶层层堆积，底层排成长方形，以上逐层的长宽各减少个，共堆层，堆成棱台的形状，沈括给出了个计算方法“隙积术”求酒瓶总数，沈括的这研究，构成了其后二三百年关于垛积问题研究的开端设等差数列的前项和为，公差为.当时，.当时，.等差数列的前项和定是的二次函数吗若是的二次函数，定是等差数列吗我们已知二次函数有最大或最小值，那么等差数列的前项和有无最大或最小值什么情况下存在最值提示等差数列前项和的最值的求法在等差数列中，当，时，有最小值．可以用下列方法求的最值通项法当，时，满足的，使取最小值．借助二次函数最值求法．若等差数列的前项和，则当，时，当时，取到最小值，∉时，设距离最近的自然数为，则当时，取到最小值当，时，在时，取到最大值，∉时，若到距离最小的自然数为，则当时，取到最大值先计算，后观察分析．已知数列的通项，计算下列各式的值，你发现了什么.若数列共有项，通项，其奇数项和为奇，偶数项和偶，奇与偶具有什么关系等差数列和的前项和分别为计算你发现了什么等差数列前项和的其它性质设等差数列的前项和为.若项数为，则，为中间两项，且偶奇若项数为，则为中间项，且奇偶设等差数列的前项和为.若则当取最小值时，等于导学号解析设等差数列的公差为得，.又.，故当时，取得最小值，故选若，则当时，其前项和有最小值.导学号解析由得.由于，当时时取到最小值若，则.导学号解析时当时，.．等差数列的前项和为，若则.导学号解析由等差数列的性质知，成等差数列，在等差数列中，则其前项和的最大值为.导学号解析解法由，得，解得.，当时，有最大值.解法二先求出同解法．，由，得，当时，有最大值与均为等差数列，其前项和分别为与，则.导学号解析等差数列共有项，其奇数项的和为，偶数项的和为，则.导学号解析由题意知，.课堂典例讲练命题方向⇨等差数列的最值问题等差数列中该数列前多少项的和最小导学号解析解法设等差数列的公差为，则由题意得，.，有最小值．又，或时，取最小值．解法二同解法，由得，设，解得.取或时，取最小值．解法三，.，前项或前项和最小．点评解法利用等差数列前项和是的二次函数公差时，通过二次函数求最值的方法求解解法二利用等差数列的性质由，从而数列中必存在项且以找出正负项的分界点解法三利用及等差数列的性质．要注意体会各种解法的着眼点，总结规律．规律总结讨论等差数列前项和的最值的方法已知通项时，由或探求二已知前项和时，用配方法探求注意三已知时，借助二次函数性质探求．跟踪练习导学号已知等差数列的前项和为且，则取得最小值时的值为解析由，得.又，所以.因为函数的图象的对称轴为，取最接近的整数，故取得最小值时的值为.命题方向⇨已知求通项公式已知数列的前项和.导学号求的通项公式判断是否为等差数列分析已知求借助与的关系求解．解析，当时.又，不满足，数列的通项公式是，.由知，当时但，不满足等差数列的定义，不是等差列．规律总结已知数列的前项和公式，求通项公式的步骤当时，.当时，根据写出，化简.如果也满足当时，的通项公式，那么数列的通项公式为如果不满足当时，的通项公式，那么数列的通项公式要分段表示为，.跟踪练习导学号已知数列的前项和，第项满足，则等于解析当时当时满足上式．所以．由得，解得又，因此.命题方向⇨裂项求和已知正数数列的前项和为，且对任意的正整数满足.导学号求数列的通项公式设，求数列的前项和.解析对任意的正整数，恒成立，当时即，.当时，有.得，即.数列是首项为，公差为的等差数列.，，.规律总结般地，若数列的通项能够拆分为的形式，且，则可以裂项后，前后项相加相消求和．般地，若为等差数列，是与无关的常数，则求的前项和可用裂项求和法．跟踪练习导学号数列的前项和为.分析通项的分母是两项的积，且这两项相差，所以可将其拆分为两项之差，即．解析，.命题方向⇨含绝对值的数列的前项和在等差数列中，求数列的前项和.导学号分析本题实际上是求数列的前项的绝对值之和，由绝对值的意义，要求我们应首先分清这个数列中的那些项是负的，哪些项非负的．由已知，数列是首项为负数的递增数列，因此应先求出这个数列从首项起哪些项是负数，然后再分段求出前项的绝对值之和．解析等差数列的公差.由，得，即.数列的前项是负数，第项及以后的项都为非负数．设，分别表示数列和的前项之和，当时，当时，.数列的前项和.规律总结已知为等差数列，求数列的前项和的步骤第步，解不等式或寻找的正负项分界点．第二步，求和，若各项均为正数或均为负数，则各项的和等于的各项的和或其相反数．若，这时数列只有前面有限项为正数或负数可分段求和再相加．跟踪练习导学号设等差数列的前项和为.求求.解析为等差数列为的前项和，.由得.则.当时，.当时，.综上所述，，.求数列的前项和.导学号错解，数列的前项和.辨析错误的原因在于裂项相消时，没有搞清剩余哪些项．正解，数列的前项和.警示运用裂项相消法求和时，要弄清消去的项是与它后面的哪项相加消去的，找出规律，然后确定首尾各剩余哪些项，切勿出现添项或漏项错项的错误唐山市二模在等差数列中前项和，则其公差是导学号解析，故选江西质监在等差数列中，首项，公差，若，则导学号解析由已知得，即，导学号解析原式，故选湖北鄂州三模设等差数列满足，.若的前项和的最大值为，则.导学号解析设等差数列的公差为.解得，令，解得.当时，等差数列的前项和取得最大值