新课标2017春高中数学第2章数列2.4等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式课件新人教A必修5

数学必修人教版新课标导学第二章数列.等比数列第课时等比数列的概念与通项公式课前自主学习课堂典例讲练课时作业课前自主学习我们古代数学名著孙子算经中有个有趣的问题叫“出门望九堤”“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何”上述问题中的各种东西的数量构成了怎样的数列．回顾学过的等差数列知识填空还记得等差数列的定义吗从起，每项与其前项的差的数列，称为等差数列．等差数列的通项公式，是关于的．第项等于同个常数次函数式．观察下面几个数列，关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每个格子里的麦粒都是前个格子的麦粒数的倍，且共有个格子，各个格子里的麦粒数依次是人年初投资元，如果年收益率是，那么按照复利，年内各年末的本利和依次为它们是等差数列吗计算上述每个数列从第二项起每项与其前项的比值，你有什么发现它们有无共同的规律你能归纳它们的共同规律给这类数列个统的定义吗等比数列的定义般地，如果个数列从第项起，每项与它的前项的比等于同个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．即，，．注意等比数列的定义可简述为为常数，．由于等比数列的每项都可能作分母，故每项均不能为，因此也不能为.均为同常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还应注意公比是从第项起每项与其前项之比，不能前后颠倒次序．如果个数列不是从第项起，而是从第项或第，项起，每项与它的前项的比都是同个常数，此数列不是等比数列，但是可以说此数列从第项起或第项起是个等比数列．常数列都是等差数列，却不定都是等比数列．例如，各项都为的常数列，它就不是等比数列各项都不为的常数列就是等比数列观察问题中给出的几个数列，每个数列中任意连续三项间有何关系等比中项定义如果在与中间插入个数，使成等比数列，那么叫做与的．若是与的等比中项，则，所以，.等比中项注意在个等比数列中，从第项起，每项有穷数列的末项除外都是它的前项与后项的等比中项．“成等比数列”与等价吗当，同号时的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．所以“成等比数列”与是不等价的我们已知等差数列的通项公式，那么等比数列存在通项公式吗试试能否写出问题中各数列的个通项公式据此能概括出等比数列的通项公式吗等比数列的通项公式设等比数列的首项为，公比为，则等比数列的通项公式为．你会推导吗提示等比数列的通项公式的推导方法如下归纳法由定义很容易知道，.归纳得等比数列的通项公式为.累乘法设等比数列中那么.将以上这个式子相乘，得.迭代法数列是等比数列，.注意等比数列通项公式的推导方法，体现了从特殊到般的思想．已知等比数列的首项和公比，可以求得该数列中的任意项．在等比数列中，若已知，四个量中的三个，就可以求出另个量．等比数列的通项公式可以变形为，当且时，等比数列中各项所表示的点，孤立地分布在曲线上，因此可以利用函数思想研究等比数列方程的两根的等比中项是导学号．．解析设方程的两根为，由韦达定理，得，两根的等比中项为贵州贵阳第中学期中若个等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为导学号解析设这个等比数列的项数为，则，即.所以，解得已知等比数列中，则.导学号解析设公比为，则.或.或．观察下面几个数列，其中定是等比数列的有哪些导学号数列数列中，已知常数列数列中其中.解析不符合等比数列的定义，故不是等比数列．不定是等比数列，当数列只有三项时，它是等比数列当数列多于项时，不定也等于，故它不定是等比数列．不定是等比数列．当时，无意义，它不是等比数列当时数列是等比数列．是等比数列．等比数列的定义用符号表示就是．课堂典例讲练命题方向⇨等比数列的通项公式已知等比数列，若求.导学号分析在等比数列的通项公式中含有两个待定系数和，故需建立与的两个方程，组成方程组求解，因此只需将已知条件改写成与的关系式即可．由等比中项的定义知，是与的等比中项，故可先由求得，再解关于与的方程组，即可获解．解析解法由等比数列的定义知代入已知得，，即，由得，代入得或.当时当时.规律总结求等比数列的通项公式与求等差数列的通项公式样，运用方程的思想，建立基本量的方程或方程组求解，在，四个量中，已知三个可求另个．解法二.从而，解之得或当时当时，.故，或.跟踪练习导学号在等比数列中，若则若，则.解析设公比为，由题意，得由得，设公比为，由题意，得由得，.又，即，.命题方向⇨等比数列的判定与证明已知数列满足导学号求证是等比数列求的通项公式．分析欲证是等比数列，须证为常数，又故只须将条件式变换为与的关系式即可获证．只要求出了的通项公式，就可以求出的通项公式．解析证明，即，.是等比数列．由知是首项，公比为的等比数列即，.规律总结判定数列是等比数列的常用方法定义法常数或常数⇔为等比数列．等比中项法，⇔为等比数列．通项法其中为非零常数，⇔为等比数列．跟踪练习导学号设数列的前项和为，已知，.设，证明数列是等比数列求数列的通项公式．分析题中已知为与的关系式，利用可将其转化为的关系式，从而获得数列的特征．解析证明由已知，有故.又，于是，即.因此数列是首项为，公比为的等比数列．由知等比数列中公比，所以.于是，因此数列是首项为，公差为的等差数列.所以.命题方向⇨等比中项等差数列的公差不为零，首项，是和的等比中项，则数列的前项之和是导学号解析设公差为，由题意得，故选．规律总结等比中项的应用主要有两点计算，与其它性质综合应用，起到简化计算提高解题速度的作用．用来判断或证明等比数列．跟踪练习导学号在等比数列中是方程的两个根，则.解析，是方程的两个根.又是，的等比中项.由题意，在等比数列中所有奇数项的符号相同，.命题方向⇨数列的实际应用题人买了辆价值.万元的新车，专家预测这种车每年按的速度贬值.导学号用个式子表示第年这辆车的价值．如果他打算用满年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱分析根据题意，每年车的价值存在倍数关系，所以能建立等比数列模型来解决．解析从第年起，每年车的价值万元依次设为，由题意，得.，.，.，.由等比数列定义，知数列是等比数列，首项.，公比第年车的价值为..万元．规律总结解答数列实际应用问题的般思路建模根据题设条件，建立数列模型分析实际问题的结构特征找出所含元素的数量关系确定为何种数列模型解模利用相关的数列知识加以解决分清首项公差项数等分清是还是问题选用适当的方法求解还原把数学问题的解还原为实际问题，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解．当他用满年时，车的价值为..用满年时卖掉时，他大概能得.万元．跟踪练习导学号容积为的容器盛满酒精后倒出，然后加满水，再倒出混合溶液后又用水加满，如此继续下去，问第次操作后溶液的浓度是多少当时，至少应倒出几次后才可能使酒精浓度低于解析开始的浓度为，操作次后溶液的浓度是.投操作次后溶液的浓度是，则操作次后溶液的浓度是．所以构成以为首项，为公比的等比数列．所以，即第次操作后溶液的浓度是.当时，由，得.因此，至少应倒次后才可以使酒精浓度低于.等比数列的前三项的和为求的等比中项.导学号错解设该等比数列的公比为，首项为，由已知，得，，由除以，得.，..的等比中项为，的等比中项为.辨析错误的原因在于认为，的等比中项是，忽略了同号两数的等比中项有两个且互为相反数．正解设该等比数列的公比为，首项为，由已知，得，，由得.令是的等比中项，则应有，的等比中项是.警示解答有关等比数列问题中有几个应当特别注意的地方各项均不为时，各项正负交替出现．同号两数的等比中项有个．应注意放在实际问题情景中判断是个还是两个．注意的情形已知等比数列满足则等于导学号解析设等比数列的公比为，.又，.，北京丰台区模在等比数列中，则公比等于导学号或或解析在等比数列中即.解得或.故选四川绵阳中学期中在公差不为零的等差数列中，.若数列是等比数列，且，则.导学号解析，解得或.，