新课标2017春高中数学第2章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质课件新人教A必修5

数学必修人教版新课标导学第二章数列.等比数列第课时等比数列的性质课前自主学习课堂典例讲练课时作业课前自主学习年，波兰数学家谢尔宾斯基.创造了个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示．如果我们来看看图中那些白色三角形的个数，并把它们按面积大小，从小到大依次排列起来，可以得到列数，我们知道，这些数构成等比数列，那么等比数列具有哪些独特的性质呢．回顾学过的等差等比数列知识填空已知为等比数列，则对于任意正整数，都有.已知为等比数列，则对于任意正整数都有.若为等差数列，则成等差数列．，成等差数列．已知是等比数列．试探讨，是等比数列吗成等比数列吗成等比数列吗成等比数列吗计算，你发现了什么等比数列主要有以下性质若是公比为的等比数列，为非零常数，则数列仍是等比数列，且公比不变仍为.若是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列，数列是公比为的等比数列．若数列，是公比分别为，的等比数列，则数列是公比为的等比数列．若是等比数列，且，．则，特别地，当时，若是有穷数列，则与首末两项等距离的两项积相等，且等于首末两项之积，即.若为等比数列，公比为，则，．若是等比数列，每隔项取出项，按原来的顺序排列，所得数列仍是等比数列，且公比为.在等比数列中，连续取相邻项的和或积构成公比为或的等比数列．是等差数列，是正数，则数列是等比数列．是等比数列，且，则，是等差数列试举例探究公比为的等比数列，当或，时，等比数列为递数列当时，数列是常数列当时，数列是摆动数列．增减．全国Ⅱ文，已知等比数列满足则导学号解析由题意可得⇒，所以⇒，故，选已知是等比数列，且那么导学号解析由等比数列的性质，得.，等比数列中，首项为，公比为，则下列条件中，使定为递减数列的条件是导学号解析等比数列的增减性由首项的符号以及公比的绝对值来决定．由，全国卷Ⅰ理，设等比数列满足则的最大值为.导学号解析设的公比为，由，得则所以.课堂典例讲练命题方向⇨等比数列的性质在等比数列中，已知且公比为整数，则.导学号解析由等比数列的性质，得，由，得或.为整数.，规律总结若为等比数列，则，，均为等比数列若，均为等比数列，则，都是等比数列．若，，则.若等比数列的下标具有种规律时，应考虑应用性质求解．跟踪练习导学号在等比数列中，已知，则.为等比数列，且则.在等比数列中，若则公比值的个数可能为．个．个．个．个或解析解法，.解法二由已知得.是方程的两根．解得或.若则由得.若则由得.故，或.，由解得或，.若则有.若则有.的值可能有个．命题方向⇨等比数列的设项技巧已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为，首尾两个数之积为，求这四个数.导学号分析求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数．设未知数时，可以根据前三个数成等差来设，也可以依据后三个数成等比来设，还可以依据中间或首尾两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下步运算要简捷．解析设四个数为，则由题意得，解得或.因此所求的四个数为，或，.点评根据四个数中前个成等差后三个成等比列方程时，可以据后三个成等比用表示四个数，也可以据前三个成等差，用表示四个数，由于中间两数之积为，将中间两个数设为，这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便．注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为，则第二个数为，则第个数为，最后个数为，再利用首尾两数之和为可列出关于的方程，解之得，则更简捷．规律总结等比数列中的设项方法与技巧若三个数成等比数列，可设三个数为或.若四个数成等比数列，可设为若四个数均为正负数，可设，.跟踪练习导学号有四个数成等比数列，将这四个数分别减去则成等差数列，则这四个数为.三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为，则这三个数为.，分析四个数成等比数列，可用第个数与公比表示各数，然后按所给条件列方程组求解．三个数适当排列，不同的排列方法有种，但这里不必分成种，因为若以三个数中哪个数为等比中项分类，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解决问题的关键．解析设这四个数分别为，则，成等差数列，，整理得，解得，.因此所求四个数为，.由已知，可设这三个数为，则这三个数可表示为，若为等比中项，则有，解之得，或舍去．此时三个数为.若是等比中项，则有，解之得，或舍去．此时三个数为.若为等比中项，则，舍去．综上可知此三数为.命题方向⇨数列的开放探究题已知数列是各项为正数的等比数列，数列定义为，是否存在实数，使得数列为等差数列并证明你的结论.导学号分析先利用数列是等比数列，求出数列的通项公式，再求，看使它成为常数的条件是什么解析设数列的公比为，则解得，.要使数列为等差数列，只需，故存在实数，使得数列成为等差数列．规律总结.解答存在型数列开放探究题时，先假设存在，然后依题设条件和等差等比数列的定义性质，通项及前项和寻找解题的突破口若是等差数列，是正数，则数列是等比数列若是等比数列，且，则，是等差数列，这两个基本性质反映了等差等比数列可以互相转化．跟踪练习导学号在公差不为零的等差数列和等比数列中，已知，且.求数列的公差和数列的公比是否存在常数，使得对切正整数，都有成立若存在，求出和若不存在，说明理由．解析由已知，得，解得或舍去．假设存在，使得成立，即有.整理，得.对切正整数恒成立．.已知，四个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则.导学号错解，成等差数列五个实数成等比数列..辨析对等比数列中项的符号变化规律弄不清导致错误．正解解法设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则有，解得所以所以.解法二因为，四个实数成等差数列，所以，因为五个实数成等比数列，所以成等比数列，所以，所以或，由知，所以，所以.警示对于等比数列，若公比为正数，则每项同号，若公比为负数，则所有奇数项的符号相同，所有偶函数项的符号相同．如本例中，无论公比是正数还是负数，与定同号河北保定期末已知，都是等比数列，那么导学号．都定是等比数列．定是等比数列，但不定是等比数列．不定是等比数列，但定是等比数列．都不定是等比数列解析当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积定是等比数列北京人大附中月考在等比数列中，则的值为导学号解析是等比数列，是等比数列，即在等比数列中，那么导学号或或解析，因此或.故选如果数列是等比数列，那么导学号．数列是等比数列．数列是等比数列．数列是等比数列．数列是等比数列解析设，则，成等比数列常数当时无意义设，则常数．