新课标2017春高中数学第2章数列2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和课件新人教A必修5

数学必修人教版新课标导学第二章数列.等比数列的前项和第课时等比数列的前项和课前自主学习课堂典例讲练课时作业课前自主学习天，小林和小明做“贷款”游戏，他们签订了份合同．从签订合同之日起，在整整个月天中，小明第天贷给小林万元，第二天贷给小林万元以后每天比前天多贷给小林万元．而小林按这样的方式还贷小林第天只需还分钱，第二天还分钱，第三天还分钱以后每天还的钱数是前天的两倍．合同开始生效了，第天小林支出分钱，收入万元第二天，他支出分钱，收入万元第三天，他支出分钱，收入万到了第天，他共得万元，付出的总数只有元角分．到了第天，小林共得万元，而小明才支出了分，共万元多点．小林想要是合同订两个月，三个月该多好！果真是这样吗我们起来帮他算算等比数列的前项和已知等比数列的公比为，前项和为，若，则与有何关系当时，易知据此你能得出用，表示的公式吗提示，解出.当时，计算，想想你能用和表达吗提示.由等比数列的定义，得，想想依据等比性质可得出什么结论提示根据等比性质，得，即⇒⇒.由上面的讨论可得已知数列是等比数列，首项为，为公比，则其前项和为，.注意等比数列前项和公式及通项公式中共有五个量，这五个量可“知三求二”．利用等比数列的前项和公式求和时，要特别注意公比的取值，应当按和分别求解，如果其中含有参数不能确定时，必须进行分类讨论等比数列前项和公式与函数的关系我们已知等差数列前项和是的二次函数，可依据二次函数的图象与性质解决等差数列的有关问题，那么等比数列的前项和是的函数吗提示当公比时，我们已经知道等比数列的前项和公式，它可以变形为，设，上式可写成，由此可见，非常数等比数列的前项和是由关于的个指数式与个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．反过来也成立．即数列是“非常数列”的等比数列的充要条件是前项和公式为，，，且，当公比时，因为，所以是的正比例函数等比数列前项和的性质我们已知等差数列前项和满足成等差数列，在等比数列中，你能得比类似结论吗设等比数列前项和为，则如，仍组成等比数列注意这连续项的和必须非零才能成立．在等差数列中，若项数为偶数，则偶奇，类比上述结论你能得出等比数列的类似性质吗提示设等比数列公比为，奇数项的和为奇，偶数项的和为偶，前项和为，积为.若项数为偶数，则偶奇，偶奇.若项数为奇数，则奇偶提示等比数列的前项和，则等于导学号解析数列是非常数列的等比数列的充要条件是前项和公式为，由此可知江苏启东中学期中已知等比数列的各项都是正数，若则它的前项和是导学号解析.又，.在正项等比数列中，是其前项和，若则的值为.导学号解析由成等比数列，得，即，解方程得或，.课堂典例讲练命题方向⇨等比数列求和公式重庆文，已知等差数列满足，前项和.导学号求的通项公式设等比数列满足求的前项和.分析考查等差等比数列的通项公式及前项和公式及方程思想解答本题用首项和公差依据等差数列通项公式及前项和公式列方程组求解先求首项和公比，再代入前项和公式求解．解析设的公差为，则由已知条件得，化简得解得故通项公式，即.由得，.设的公比为，则，从而.故的前项和.规律总结在等比数列的五个量中是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用，列方程组求解．跟踪练习导学号安徽理，已知数列是递增的等比数列，则数列的前项和等于.解析考查.等比数列的性质.等比数列的前项和公式．由题意，.，解得，或者而数列是递增的等比数列，所以即，所以，因而数列的前项和.命题方向⇨等比数列前项和的性质设等比数列的前项和为.若则导学号分析已知可列出关于，的方程组求解观察下标可以发现，成等差列，故可应用性质求解．解析解法由条件知，且，，，.解法由题意知，成等比数列，即，即，.规律总结下标成等差的等差等比数列的项或前项和的问题，常考虑应用等差等比数列的性质求解．跟踪练习导学号设等比数列的前项和为，若，则解析，成等比选．命题方向⇨错位相减法求数列的前项和求数列，的前项和.导学号分析本题中的数列是由数列与的各项对应相乘得到的，前面的数列是等差数列，后面的数列是等比数列，可用错位相减法求和．解析设，则.，得，.规律总结般地，若成等差数列，公差为，成等比数列，公比为，求数列的前项和可用乘公比错位相减法．跟踪练习导学号太原市二模已知等差数列的前项和为，且数列中，.若数列是公比的等比数列，求在的条件下，求数列的前项和.解析由题意得又，数列的公比.由得，得.命题方向⇨综合应用以数列的任意前后相邻两项为横纵坐标的点，均在次函数的图象上，数列，.导学号求证数列是等比数列设数列，的前项和分别为若求的值．分析本题考查等比数列与函数知识．先由点，在次函数上，结合，求出与之间的关系利用中得到的结论求出，及其关系后利用求的值．解析由题意，得，．即.，，数列是以为公比的等比数列．由，得及是公比为的等比数列，得，由得，.解得.规律总结.等差数列与等比数列综合应用的问题，般通过基本量和通项公式，前项和公式，等差等比中项及相关性质列方程求解与函数交汇的数列问题，般通过函数提供数列具备的种条件或满足的种关系式，解题时要先等价转化为纯数列问题，按数列相关知识方法求解．跟踪练习导学号山东文，已知数列的前项和，是等差数列，且.求数列的通项公式令.求数列的前项和.解析由题意知，当时当时符合上式．所以.设数列的公差为.由即可解得所以.Ⅱ由Ⅰ知.又，得两式作差，得所以.命题方向⇨数列的实际应用从社会效益和经济效益出发，地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.导学号设年内本年度为第年总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出表达式至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入解析第年投入为万元，第二年投入为万元，第年的投入为万元．所以，年内的总投入为万元第年旅游业收入为万元，第二年旅游业收入为万元，第年旅游业收入为万元．所以年内的旅游业总收入为万元．设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，由此，即，化简得，设，代入上式得.解此不等式，得舍去，即，由此得.答至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入．规律总结解答与等比数列有关的实际应用问题，要通过审题，弄清项与项之间的关系，弄清是通项还是前项和，注意项数，不要出现多项或少项的错误．跟踪练习导学号国家计划在西部地区退耕还林万亩，年底西部已退耕还林的土地面积为万亩，以后每年退耕还林的面积按递增．试问从年底，到哪年底西部地区才能完成退耕还林计划，精确到年为支持退耕还林工作，国家财政从年起补助农民当年退耕地每亩斤粮食，每斤粮食按.元折算，并且补助当年退耕地每亩元．试问西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付多少亿元精确到亿元解析设从年底起以后每年的退耕还林的土地依次为，万亩．则......，，又，.故到年底西部地区才能完成退耕还林计划．设财政补助费为亿元．则亿元所以西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付.亿元．设数列是由正数组成的等比数列，是其前项和．求证.导学号错解设的公比为.，，，.根据对数的单调性知，即.辨析没有分和两种情况证明，求和公式只适合这种情况．正解设的公比为.当时故，即.两边同时取对数并整理，得.当时，同错证证得结论成立．警示在含字母参数的等比数列求和时，应分和两种情况进行讨论，避免忽视特殊情形致误浙江杭州二中期中已知在等比数列中则的值为导学号解析由，得，.令这时，符合题意，故选重庆巴蜀中学期中等比数列的前项和为，且成等差数列．若，则等于导学号解析设等比数列的公比为.成等差数列即，即.解得.又，.故选等比数列共项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大，则公比.导学号解析根据题意得奇偶，奇偶，奇，偶.偶奇.