新课标2017春高中数学第2章数列2.5等比数列的前n项和第2课时数列求和课件新人教A必修5

数学必修人教版新课标导学第二章数列.等比数列的前项和第课时数列求和课前自主学习课堂典例讲练课时作业课前自主学习中世纪，意大利数学家斐波那契在年发表算盘全书书，书中有这样题“今有老妇人共往罗马，每人有骡，每骡负袋，每袋盛有个面包，每个面包有把小刀随之，问列举之物全数共几何”．回顾学过数列知识填空首项为，公差为的等差数列前项和，推导方法为．首项为，公比为的等比数列前项和.推导方法为．倒序相加法错位相减法．请思考下列各数列如何求和，.，.中数列每项都是两项的和，若将其用加法结合律分组，怎样求和呢中每项具有怎样的规律，若将如下变形，怎样求和呢中数列的分母具有怎样的变化规律，写出其通项，探求求和方法．中数列都是两项的积，前项构成什么数列后项呢用什么方法求和提示分组后，可分别用等差比数列求和公式分组求和．变形后可分组求和．若为等差数列，则求的和时，可利用裂项求和．可通过乘以公比后，错位相减求和如果数列满足，是首项为，公比为的等比数列，则数列的通项公式为.导学号解析数列的前项和.导学号解析数列的通项公式．所以若，数列的前项和为，则.导学号解析.，等差数列的前项和为，若，又且.的前项和为，则当时当时，由于综上知，.，，课堂典例讲练命题方向⇨分组转化求和已知数列，.导学号求其通项公式求这个数列的前项和.分析注意观察数列的每项可以发现，数列的第项依次为等比数列的前项和，其中.求该数列各项的和可先求通项，再依的特征选择求和方法．解析.这个数列的通项公式为..规律总结分组转化求和法如果个数列的每项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前项和可考虑拆项后利用公式求解．跟踪练习导学号已知是等差数列，是等比数列，且，.求的通项公式设，求数列的前项和．解析等比数列的公比，所以，.设等差数列的公差为.因为所以，即.所以，．由知，因此从而数列的前项和.命题方向⇨裂项相消求和等比数列的各项均为正数，且，.导学号求数列的通项公式设，求数列的前项和．分析求等比数列的通项公式，只需求由两个条件式建立两个方程求解由于成等比数列，故成等差数列，为此数列前项的和，因此求可以用裂项求和法．解析设数列的公比为，由得，所以.由条件可知，故.由得，所以.故数列的通项公式为..故，.所以数列的前项和为.规律总结裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，例如若为等差数列，公差为，则等．跟踪练习导学号商丘市二模已知正项等差数列的前项和为，且满足，.求数列的通项公式若数列满足求数列的前项和.解析法设正项等差数列的首项为，公差为，则得，..法二是等差数列且又，.，.，且，.当时当时，满足上式，．..命题方向⇨错位相减法天津文，已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且.导学号求和的通项公式设，，求数列的前项和．解析设的公比为，的公差为，由题意，由已知，有消去，得，又因为，解得，.所以的通项公式为，，的通项公式为，.由有，设的前项和为，则两式相减，得，所以，.规律总结错位相减法若数列为等差数列，数列是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为，当求该数列的前项的和时，常常采用将的各项乘以公比，然后错位项与的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．跟踪练习导学号在数列中点，在直线上．求数列的通项公式已知，求.解析由条件知，.数列是以为首项，以为公差的等差数列，.由得，.命题方向⇨分类讨论思想在数列求和中的应用已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.导学号求等差数列的通项公式若成等比数列，求数列的前项和．解析设等差数列的公差为，则由题意得，解得或.所以由等差数列通项公式可得，或.故，或.当时，分别为，不成等比数列，不满足条件当时，分别为，成等比数列，满足条件．故，.记数列的前项和为.当时当时当时，.当时，满足此式．综上，.规律总结般地，在等差数列中，若，且若则前项和存在最小值，设，则最小，的前项和.跟踪练习导学号已知数列中，，求数列的前项和.解析当时.当时.，，.求数列，的前项和.导学号错解.辨析错误的原因在于忽略了对的取值进行分类讨论．正解，当时当且时，.当时满足上式．.警示对于通项中含字母的数列求和时，要注意结合公式特点，恰当的进行分类讨论数列的前项和为导学号解析由题设知，数列的通项为，显然数列的各项为等差数列和等比数列相应项的和，从而已知数列的通项公式是，若前项和为，则项数为导学号解析因为，所以，解得已知等比数列的前项和，则的值等于导学号解析，由已知得.又公比，已知等比数列的前项和，则等于导学号解析，时当时，也满足.．