1、“.....，，，，⊥，为直径，是的切线试题已知如图，▱中，是的中点，连结并延长，交的延长线于点.求证≌连结当时，四边形是正方形请说明理由．审题视角根据平行线的性质可得，，再根据中点定义可得，然后可利用证明≌当时，四边形是正方形，首先证明四边形是平行四边形，再证对角线互相垂直且相等可得四边形是正方形条件开放型问题的答题规范规范答题证明四边形是平行四边形，.，.是的中点在和中，，≌当时，四边形是正方形．理由≌，.又，四边形是平行四边形．.四边形是平行四边形，，..▱是菱形菱形是正方形．故答案为.答题思路第步审题，仔细观察图形并考虑证明结论所需的条件第二步由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求第三步找到证明结论所需的条件后，从已知条件和探索出的条件出发步步的证明结论第四步反思回顾，查看关键点注意易错点本题第问是从出发证得四边形是正方形，完善解题步骤．试题在五环图案中......”。

2、“.....如图，其中是三个连续偶数，是两个连续奇数且满足，例如，请你在到之间选择另组符合条件的数填入图中.忽视答案多样性，造成漏解错解剖析在到之间，符合条件的答案除例题外，还有两组，因题目要求只画个图，为了完整准确起见，两组答案都应写出，用“或”字连结正确的解题方法可使答案完整无漏，例如此题中可采用二元次方程不定解的方法来解答，设最小偶数为，最小奇数为，则三个连续偶数为，两个连续奇数为，.据题意得整理得，故符合条件的解有或或，.正解．济宁如图，正方形的对角线，相交于点，延长至点，使，连结，的平分线分别交于点，连结.已知，求正方形的边长猜想线段与的数量关系并加以证明．解四边形是正方形，是的角平分线，是的中点．，分别是，的中点，，且，，正方形的边长为，证明，是的平分线，⊥，，，，在和中，，≌，，，四边形是正方形，⊥，，，即.由知.存在开放型问题例莆田如图......”。

3、“.....，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点四边形的面积为.求的值点在反比例函数的图象上，若点的横坐标为，，其两边分别与轴的正半轴，直线交于点问是否存在点，使得若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由．解图略，过点作⊥轴于点，⊥轴于点，则，≌，四，将绕点按逆时针方向旋转得到，≌，，，，而，点在该反比例函数的图象上．综合开放型问题例看图说故事．请你编个故事，使故事情境中出现的对变量，满足图示的函数关系式，要求指出变量和的含义利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量．解该函数图象表示小明骑车离出发地的路程单位与他所用的时间单位的关系．小明以的速度匀速骑了，在原地休息了，然后以的速度匀速骑车回出发地．本题答案不唯点评解决综合开放性问题时，需要类比试验创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决．综合开放型问题的解题方法般不唯或解题路径不明确......”。

4、“.....敢于创新，积极发散思维，优化解题方案和过程．对应训练．酒泉已知内接于，过点作直线.如图所示，若为的直径，要使成为的切线，还需要添加的个条件是至少说出两种或者如图所示，如果是不过圆心的弦，且，那么是的切线吗试证明你的判断．解，理由是，⊥，是直径，是的切线是直径，，，，，即⊥，是直径，是的切线是的切线．证明作直径，连结，图略，则形四边形存在点，使得.由题意，得点的坐标为，．如图，过点作⊥轴于点，过点作⊥于点，交轴于点.，≌，如图，过点作⊥轴于点，过点作⊥于点，交轴于点.，≌点评本题考察了反比例函数与次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，有定难度．利用数形结合与分类讨论是解题的关键．对应训练．兰州如图，在平面直角坐标系中，⊥，⊥轴于点，点，在反比例函数的图象上．求反比例函数的表达式在轴的负半轴上存在点，使得......”。

5、“.....直接写出点的坐标，并判断点是否在该反比例函数的图象上，说明理由．解点，在反比例函数的图象上，反比例函数的表达式为⊥轴于点，由题可得，可得，设点的坐标为是轴的负半轴上的点点的坐标为点在该反比例函数的图象上，理由如下⊥，形是矩形贵阳已知，要使满足条件的唯确定，那么边长度的取值范围为．点拨过点作⊥于点，则是等腰三角形再延长到，使，当点和点重合时，是等腰直角三角形这个三角形是唯确定的当点和点重合时，也是等腰三角形这个三角形也是唯确定的当点在线段的延长线上时，即大于，也就是，这时，也是唯确定的综上所述，要使唯确定，那么的长度满足的条件是或.或条件开放型问题例已知四边形，，要得出四边形是平行四边形的结论，还应具备什么条件解当时，只要具备下列条件之，便可得出四边形是平行四边形．点评判断个四边形是平行四边形的基本依据是平行四边形的定义及其判定定理，而本题告诉的四边形已有组对边平行的条件......”。

6、“.....组对角相等．都能得到平行四边形的结论．对应训练．如图，在四边形中，点是的中点，作射线，在线段及其延长线上分别取点连结，.请你添加个条件，使得≌，你添加的条件是，并证明在问题中，当与满足什么关系时，四边形是矩形，请说明理由．解答添加，证明点是的中点在和中，，≌解当时．四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形为平行四边形，当时，则，平行四边形为矩对角线相等的平行四边形为矩形．结论开放型问题例抚顺如图，中，点在上点在上，连结，，作⊥，垂足为.如图，当时，连结，过点作⊥交的延长线于点.求证请猜想三条线段之间的数量关系，直接写出结论如图，当时，三条线段之间存在怎样的数量关系请证明你的结论．解证明⊥，，，，.，，≌，理由是≌⊥在中，是斜边的中线，理由是如图，作，交延长线于，，，，，，，≌，⊥，在中，即.点评本题是三角形的综合题，综合考查了全等三角形等腰三角形三线合直角三角形的性质......”。

7、“.....引申到第二问中非垂直关系的数量关系，运用了相同的方法，构建全等三角形，将线段转化到同条直线上或同三角形中确定其数量关系，都运用了等腰三角形三线合的性质．对应训练数学专题三开放探究型问题浙江专用开放探究型问题的内涵所谓开放探究型问题是指已知条件解题依据解题方法问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观察分析比较概括推理判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法．常规题的结论往往是唯确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等．对于开放探究型问题，需要通过观察比较分析综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳类比联想等推理的手段......”。

8、“.....常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题．三个解题方法条件开放型问题由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因结论开放型问题从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比猜测等，从而获得所求的结论条件和结论都开放型此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和般性三明若元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是写出个即可牡丹江如图，和相交于点请添加个条件，使≌只添个即可，你所添加的条件是邵阳已知反比例函数的图象如图所示，则的值可能是写出个即可龙东如图，在平行四边形中，延长到点，使，连结......”。

9、“.....使得四边形，，，，，⊥，为直径，是的切线试题已知如图，▱中，是的中点，连结并延长，交的延长线于点.求证≌连结当时，四边形是正方形请说明理由．审题视角根据平行线的性质可得，，再根据中点定义可得，然后可利用证明≌当时，四边形是正方形，首先证明四边形是平行四边形，再证对角线互相垂直且相等可得四边形是正方形条件开放型问题的答题规范规范答题证明四边形是平行四边形，.，.是的中点在和中，，≌当时，四边形是正方形．理由≌，.又，四边形是平行四边形．.四边形是平行四边形，，..▱是菱形菱形是正方形．故答案为.答题思路第步审题，仔细观察图形并考虑证明结论所需的条件第二步由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求第三步找到证明结论所需的条件后，从已知条件和探索出的条件出发步步的证明结论第四步反思回顾，查看关键点注意易错点本题第问是从出发证得四边形是正方形......”。