，依题意，解得又因为，在椭圆上，所以，令，则，离心率思维升华利用椭圆几何性质的注意点及技巧注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的些量的范围，或者最大值最小值时，经常用到椭圆标准方程中，的范围，离心率的范围等不等关系利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点焦点长轴短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系求椭圆的离心率问题的般思路求椭圆的离心率或其范围时，般是依据题设得出个关于的等式或不等式，利用消去，即可求得离心率或离心率的范围已知椭圆与双曲线有相同的焦点，和若是的等比中项，是与的等差中项，则椭圆的离心率是已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点使，则椭圆的离心率的取值范围为答案，解析在双曲线中，又，解得，又，故椭圆的离心率依题意及正弦定理，得注程，可得，由，可得由可知，因此，故，当且仅当，即时取得最大值由ⅰ知，面积为，所以面积的最大值为步步高江苏专用版高考数学轮复习第九章平面解析几何椭圆文椭圆的概念平面内到两个定点，的距离的和等于常数大于的点的轨迹叫做椭圆，两个定点，叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合其中，且，为常数若，则集合为椭圆若，则集合为线段若图形性质范围对称性对称轴坐标轴对称中心原点顶点轴长轴的长为短轴的长为焦距离心率∈，的关系知识拓展点，和椭圆的关系点，在椭圆内⇔思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或平面内与两个定点，的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆椭圆上点与两焦点，构成的周长为其中为椭圆的长半轴长，为椭圆的半焦距椭圆的离心率越大，椭圆就越圆方程，≠表示的曲线是椭圆≠表示焦点在轴上的椭圆与的焦距相等教材改编椭圆的焦距为，则答案或解析当焦点在轴上时，当焦点在轴上时，广东已知椭圆的左焦点为则答案解析由题意知，解得，又，所以已知椭圆程为思维升华求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，定要注意常数这条件求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于，的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为，≠的形式已知圆的圆心为，设为圆上任点，且点线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹是过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为安徽设，分别是椭圆，由椭圆定义知，的轨迹是椭圆方法椭圆的焦点为即由椭圆的定义知，，解得由可得所求椭圆的标准方程为方法二所求椭圆与椭圆的焦点相同，其焦点在轴上，且设它的标准方程为，且，故又点，在所求椭圆上，，即由得所求椭圆的标准方程为设点的坐标为，⊥轴，可取点的坐标为，将，代入，得椭圆的方程为题型二椭圆的几何性质例已知点，是椭圆的左，右焦点，点是该椭圆上的个动点，那么的最小值是浙江椭圆的右焦点，关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是答案解析设则的左右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为，则的方程为答案解析的周长为，离心率为，椭圆的方程为如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是答案，解析将椭圆方程化为，因为焦点在轴上，则，即，所以，所以，点坐标为，或，题型椭圆的定义及标准方程命题点椭圆定义的应用例如图所示，圆形纸片的圆心为，是圆内定点，是圆周上动点，把纸片折叠使与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与交于点，则点的轨迹是答案椭圆解析由条件知点的轨迹是以，为焦点的椭圆命题点利用待定系数法求椭圆方程例已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的倍，并且过点则椭圆的方程为已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点则椭圆的方程为答案或解析若焦点在轴上，设方程为，椭圆过，即，又方程为若焦点在轴上，设方程为椭圆过点即又方程为所求椭圆的方程为或设椭圆方程为且≠椭圆经过点点，的坐标适合椭圆方程则两式联立，解得，所求椭圆方样的点有个当点为椭圆的短轴端点时，最大，且为直角，此时这样的点有个故符合要求的点有个已知圆的离心率等于，其焦点分别为为椭圆上异于长轴端点的任意点，则在中，的值等于答案解析在中，由正弦定理得，因为点在椭圆上，所以由椭圆定义知，而，所以已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上点，且，则此椭圆离心率的取值范围是答案，解析设则将代入式解得，又∈，∈，如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右准线方程为，右顶点为，上顶点为，右焦点为，斜率为的直线经过点，且点到直线的距离为求椭圆的标准方程将直线绕点旋转，它与椭圆相交于另点，当三点共线时，试确定直线的斜率解由题意知，直线的方程为，即，所以右焦点到直线的距离为，所以又因为椭圆的右准线为，即，所以，代入上式解得所以，所以椭圆的方程为由知所以直线的方程为，联立方程组解得，舍去或，所以所以直线的斜率安徽设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为点的坐标为点在线段上，满足，直线的斜率为求的，过点作轴的垂线交椭圆于另点，连结若点的坐标为且，求椭圆的方程若⊥，求椭圆离心率的值解设椭圆的焦距为，则，因为所以又，故因为点，在椭圆上，所以，解得故所求椭圆的方程为因为，在直线上，所以直线的方程为解方程组得，，，所以点的坐标为，又垂直于轴，由椭圆的对称性，可得点的坐标为，因为直线的斜率为，直线的斜率为，且⊥，所以又，整理得故，因此山东在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且点，在椭圆上求椭圆的方程设椭圆，为椭圆上任意点，过点的直线交椭圆于，两点，射线交椭圆于点ⅰ求的值ⅱ求面积的最大值解由题意知又，解得，所以椭圆的方程为由知椭圆的方程为ⅰ设，由题意知，因为，，即，所以，即ⅱ设，将代入椭圆的方程，可得，由，可得，则有，所以因为直线与轴交点的坐标为所以的面积设，将代入椭圆的方离心率设点的坐标为为线段的中点，证明⊥解由题设条件知，点的坐标为又，从而进而故证明由是的中点知，点的坐标为可得又从而有由的计算结果可知，所以，故⊥组专项能力提升时间分钟从椭圆上点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且∥是坐标原点，则该椭圆的离心率是答案解析由题意可设，为半焦距，由于∥，把，代入椭圆方程得，，如图，已知椭圆的中心为原点为的左焦点，为上点，满足，且，则椭圆的方程为答案解析设椭圆的标准方程为，焦距为，右焦点为，连结，如图所示因为，为的左焦点，所以由知，