1、解就有几个零点例函数的零点个数是解析答案思维升华零点存在性定理利用定理不仅要函数在区间，上是连续不断的曲线，且的零点个数是解析答案思维升华利用图象交点的个数将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点例函数的零点个数是解析答案思维升华解析，跟踪训练若定义在上的偶函数满足，且当,时则函数的零点个数是解析由题意知，是周期为的偶函数在同坐标系内作出函数及的图象，如下跟踪训练若定义在上的偶函数满足，且当,时则函数的零点个数是观察图象可以发现它们有个交点，即函数有个零点解析思维升华题型二二次函数的零点问题例已知函数，若不等式的解集为求不等式的解集解因为不等式的解集为所以，于是由得题型二二次函数的零点问题例已知函数，若不等式的解集为求不等式的解集解析思维升华解得或，所以不等式的解集为或题型二二次函数的零点问题例已知函数，若不等式的解集为求不等式的解集解析思维升华解决二次函数的零点问题可利用元二次方程的求根公式可用元二次方程的判别式及根与系数的关系利用二次函数的图象列不等式组题型二二次函数的零点问题例已知函数，若不等式的解集为求不等式的解集解析思维升华解析思维升华例若函数在区间,上有两个不同的零点，求实数的取值范围解函数在区间,上有两个不同的零点，例若函数在区间,上有两个不同的零点，求实数的取值范围则，解析思维升华例若函数在区间,上有两个不同的零点，求实数的取值范围即解得所以实数的取值范围是，解析思维升华解决二次函数的零点问题可利用元二次方程的求根公式可用元二次方程的判别式及根与系数的关系利用二次函数的图象列不等式组例若函数在区间,上有两个不同的零点，求实数的取值范围解析思维升华跟踪训练已知的个零点比大，个零点比小，求实数的取值范围解方法设方程的两根分别为，则，即，由根与系数的关系，得，即。

2、对称点定在函数的图象上，故函数的“友好点对”有对答案若方程有两个不等的实根，则的取值范围是函数的图象是圆心在原点，半径为的圆在轴上方的半圆包括端点，解析作出函数和的图象如图所示，函数的图象是过定点,的直线，因为点则直线是圆的切线，由圆心到直线的距离等于半径得得由图可知当时，两函数图象有两个交点，即原方程有两个不等实根所以答案，已知，，函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是解析函数有两个零点，即有两个解，即与的图象有两个交点分和或时，没有交点，故当时满足题意答案，已知是正实数，函数如果函数在区间,上有零点，求的取值范围解的对称轴为当，即时，须使，，即的解集为∅当时，须使，，即解得，的取值范围是，已知函数若有零点，求的取值范围解方法，等号成立的条件是，故的值域是，，因而只需，则就有零点方法二作出的大致图象如图可知若使有零点，则只需确定的取值范围，使得有两个相异实根解若有两个相异实根，即与的图象有两个不同的交点，作出的大致图象如图其图象的对称轴为，开口向下，最大值为故当，即时，与有两个交点，即有两个相异实根的取值范围是，函数与方程数学苏理第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分函数的零点函数零点的定义对于函数，把使的实数叫做函数的零点几个等价关系方程有实数根⇔函数的图象与有交点⇔函数有轴零点函数零点的判定零点存在性定理如果函数在区间，上的图象是连续不断的条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是方程的根，二次函数的图象与零点的关系的图象与轴的交点无交点零点个数二分法对于在区间，上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法分为二零点思考辨析判断下面结论是否。

3、范围则，解析思维升华例若函数在区间,上有两个不同的零点，求实数的取值范围即解得所以实数的取值范围是，解析思维升华解决二次函数的零点问题可利用元二次方程的求根公式可用元二次方程的判别式及根与系数的关系利用二次函数的图象列不等式组例若函数在区间,上有两个不同的零点，求实数的取值范围解析思维升华跟踪训练已知的个零点比大，个零点比小，求实数的取值范围解方法设方程的两根分别为，则，即，由根与系数的关系，得，即，跟踪训练已知的个零点比大，个零点比小，求实数的取值范围方法二函数图象大致如图，则有，即，故题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，求实数的取值范围解析思维升华题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，求实数的取值范围解方法换元法设，则原方程可变为，原方程有实根，即方程有正根令解析思维升华题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，求实数的取值范围若方程有两个正实根则解得解析思维升华题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，求实数的取值范围若方程有个正实根和个负实根负实根，不合题意，舍去，则，解得解析思维升华题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，求实数的取值范围综上，的取值范围是，方法二分离变量法由方程，解得，设，解析思维升华题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，求实数的取值范围则，其中，由基本不等式，得，解析思维升华题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，求实数的取值范围当且仅当时取等号，故解析思维升华对于“有解”型问题，可以通过求函数的值域来解决，解的个数也可化为函数的图象和直线交点的个数题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，求实数的取值范围解析思维升华跟踪训练江苏已知是定义在上且周期为的函数，当,时，若函数在区。

4、正确请在括号中打或“”函数的零点就是函数的图象与轴的交点函数在区间，内有零点函数图象连续不断，则二次函数在时没有零点只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值函数的零点有无数多个函数在,上有零点，则题号答案解析，和,由于，因此有又因是关于的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数的两零点分别位于区间，和，内题型函数零点的判断和求解例根据表格中的数据，可以判定方程的个零点所在的区间为，，则的值为解析答案思维升华令，的零点在区间,内，题型函数零点的判断和求解例根据表格中的数据，可以判定方程的个零点所在的区间为，，则的值为解析答案思维升华令，的零点在区间,内，题型函数零点的判断和求解例根据表格中的数据，可以判定方程的个零点所在的区间为，，则的值为解析答案思维升华函数零点的求法直接求零点令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点题型函数零点的判断和求解例根据表格中的数据，可以判定方程的个零点所在的区间为，，则的值为解析答案思维升华零点存在性定理利用定理不仅要函数在区间，上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质如单调性奇偶性才能确定函数有多少个零点题型函数零点的判断和求解例根据表格中的数据，可以判定方程的个零点所在的区间为，，则的值为解析答案思维升华利用图象交点的个数将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点题型函数零点的判断和求解例根据表格中的数据，可以判定方程的个零点所在的区间为，，则的值为解析答案思维升华解析答案思维升华例函数的零点个数是当时，作函数和的图象，例函数的零点个数是由图知时，有两个零点解析答案思维升华例函数的零点个数是当时，由得，综上，有三个零点解析答案思维升华例函数的零点个数是当时，由得，综上，有三个零点解析答案思维升华函数零点的求法直接求零点令，如果能求出解，则有几个。

5、值中，只有满足在,内，故零点个数为已知三个函数的零点依次为，则的大小关系为解析方法由于，且为上的增函数故的零点的零点，且为，上的增函数，的零点因此方法二由得由得作出函数，由图象易知而，故和的图象如图答案若函数的两个零点是和，则不等式的解集是解析的两个零点是是方程的两根，由根与系数的关系知不等式，即⇔，解集为答案函数的零点位于区间，内，则解析由于，所以，所以增函数的零点位于区间,内，故已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是解析画出的图象，如图由于函数有个零点，结合图象得，即已知函数证明存在使证明令又函数在，上连续，存在使即关于的二次方程在区间,上有解，求实数的取值范围解方法设，若在区间,上有解，则应有，又若在区间,上有两解，则，或，由可知的取值范围是，方法二显然不是方程的解时，方程可变形为，又在,上单调递减上单调递增，在,的取值范围是，，故的取值范围是重庆改编已知函数，，且在,内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是解析作出函数的图象如图所示，其中，因为直线恒过定点故当直线在位置时可知当直线在轴和之间运动时两图象有两个不同的交点直线可与重合但不能与轴重合，当直线过点时当直线与曲线相切时，联立，，得，由，解得，此时，有两个不同的零点可知当在切线和之间运动时两图象有两个不同的交点直线可与重合但不能与切线重合，此时，有两个不同的零点综上，的取值范围为，，答案，，若直角坐标平面内的两点，满足条件，都在函数的图象上，关于原点对称则称点对，是函数的对“友好点对”点对，与，看作同对“友好点对”已知函数则此函数的“友好点对”有对，解析函数的图象及函数的图象关于原点对称的图象如图所示，则，两点关于原点。

6、意知，是周期为的偶函数在同坐标系内作出函数及的图象，如下跟踪训练若定义在上的偶函数满足，且当,时则函数的零点个数是观察图象可以发现它们有个交点，即函数有个零点解析思维升华题型二二次函数的零点问题例已知函数，若不等式的解集为求不等式的解集解因为不等式的解集为所以，于是由得题型二二次函数的零点问题例已知函数，若不等式的解集为求不等式的解集解析思维升华解得或，所以不等式的解集为或题型二二次函数的零点问题例已知函数，若不等式的解集为求不等式的解集解析思维升华解决二次函数的零点问题可利用元二次方程的求根公式可用元二次方程的判别式及根与系数的关系利用二次函数的图象列不等式组题型二二次函数的零点问题例已知函数，若不等式的解集为求不等式的解集解析思维升华解析思维升华例若函数在区间,上有两个不同的零点，求实数的取值范围解函数在区间,上有两个不同的零点，例若函数在区间,上有两个不同的零点，求实数的取值范围则，解析思维升华例若函数在区间,上有两个不同的零点，求实数的取值范围即解得所以实数的取值范围是，解析思维升华解决二次函数的零点问题可利用元二次方程的求根公式可用元二次方程的判别式及根与系数的关系利用二次函数的图象列不等式组例若函数在区间,上有两个不同的零点，求实数的取值范围解析思维升华跟踪训练已知的个零点比大，个零点比小，求实数的取值范围解方法设方程的两根分别为，则，即，由根与系数的关系，得，即，跟踪训练已知的个零点比大，个零点比小，求实数的取值范围方法二函数图象大致如图，则有，即，故题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，求实数的取值范围解析思维升华题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，求实数的取值范围解方法换元法设，则原方程可变为，原方程有实根，即方程有正根令解析思维升华题型三函数零点和参数的范围例若关于的方程有实根，。

参考资料：

[1]《 积的近似值2》教学课件PPT 编号42（第17页，发表于2022-06-24 20:36）

[2]《 积的近似值2》教学课件PPT 编号58（第17页，发表于2022-06-24 20:27）

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[10]《 有理数的乘法2》教学课件PPT 编号50（第11页，发表于2022-06-24 20:27）

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[15]《 矩形的性质与判定_第1课时》教学课件PPT 编号54（第16页，发表于2022-06-24 20:27）

[16]《 矩形的性质与判定_第1课时》教学课件PPT 编号22（第16页，发表于2022-06-24 20:27）

[17]《 矩形的性质与判定_第1课时》教学课件PPT 编号42（第16页，发表于2022-06-24 20:27）

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