1、以可化为，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，又，故因为，所以，当且仅当时取等号由三角形面积公式知，故面积的最大值为命题角度与向量结合求面积典例陕西高考的内角所对的边分别为向量，与，平行求解因为，所以，由正弦定理，得，又，从而，由于，所以若求的面积解法由余弦定理，及，得，即，因为，所以故的面积为解法二由正弦定理，得，从而，又由，知，所以故所以的面积为与三角形面积有关问题的常见题型及求解方法求三角形面积的方法若三角形中已知个角角的大小，或该角的正余弦值，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解若已知三角形的三边，可先求其个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键三角形中，已知面积求边角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解若求边，就寻求与该边或两边有关联的角，利用面积公式列方程求解与向量不等式的综合问题求解方法利用正余弦定理结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积时，常利用平面向量的数量积或基本不等式进行求解长春三模已知中，内角的对边分别为，若则的面积为解析，又，的面积为，故选山东高考在中，已知，当时，的面积为解析根据平面向量数量积的概念得，当时，根据已知可得，故的面积为湖北高考在中，角对应的边分别是已知求角的大小解由，得，即，解得或。

2、常见变形解决的问题已知三边，求三个角已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角必记结论三角形的内角和定理在中其变式有，等三角形中的三角函数关系小题快做思考辨析在中，是为锐角三角形的必要不充分条件在中，若，则此三角形是钝角三角形教材改编在中，已知，则解析由余弦定理易得，又，所以，即衡水二模的内角的对边分别为，若成等比数列，且，则解析成等比数列且由余弦定理可得故选荆州模拟在中，若，则边上的高等于解析由余弦定理及已知条件得，整理得，解得舍去所以边上的高为典例广东高考在中，角所对应的边分别为已知，则天津高考在中，内角所对的边分别是已知则的值为解析由余弦定理可得，所以，所以由得，即，代入，整理得，故利用余弦定理解三角形的步骤跟踪训练邢台摸底的内角的对边分别为已知则解析依题意得，即，且福建高考如图，在中，已知点在边上，⊥，，则的长为解析故在中，由余弦定理知，故考点多维探究考点正弦定理余弦定理的综合应用利用正余弦定理求三角形中的边和角判断三角形的形状是高考的重点考查方向，常与三角恒等变换相结合，以填空题解答题的形式出现较多，且主要有以下几种命题角度命题角度利用正余弦定理求角或正余弦值典例天津高考在中，，则解析在中，由余弦定理得，解得再由正弦定理得故选命题角度利用正余弦定理求边长典例江苏高考在中，已知求的长求的值解由余弦定理知，所以由正弦定理知所以由，所以为锐角，则因此命题角度。

3、考辨析在中，若，则在中，则或在中，在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是解析由条件解三角形，其中有两解的是已知两边及其边的对角选项中，角有两个解，故选兰州诊断在中，内角的对边分别为，且则解析根据题意结合正弦定理，得因为，所以，即，所以，故选教材改编在中，已知则解析由已知得角，由正弦定理得，解得典例湖南高考在锐角中，角，所对的边长分别为，若，则角等于重庆高考在中的角平分线，则解析由正弦定理可知，因为为三角形的内角，所以，故，又因为为锐角三角形，所以，故，选依题意知，由正弦定理得，，，，，从而正弦定理的应用技巧求边利用公式或其他相应变形公式求解求角先求出正弦值，再求角，即利用公式或其他相应变形公式求解相同的元素归到等号的边即，可应用这些公式解决边或角的比例关系问题判断三角形解的个数的两种方法代数法根据大边对大角的性质三角形内角和公式正弦函数的值域等判断几何图形法根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数跟踪训练广东高考设的内角的对边分别为若，则解析在中，由，可得或，结合可知从而，利用正弦定理，可得合肥质检已知中，分别为，，的对边，，若有两解，则的取值范围是，解析因为有两解，则有两解，所以，解得，考点多维探究考点余弦定理及应用回扣教材在中，若角所对的边分别是，则余弦定理常见变形解决的问题已知三边，求三个角已知两边和它们的。

4、夹角，求第三边和其他两角必记结论三角形的内角和定理在中其变式有，等三角形中的三角函数关系小题快做思考辨析在中，是为锐角三角形的必要不充分条件在中，若，则此三角形是钝角三角形教材改编在中，已知，则解析由余弦定理易得，又，所以，即衡水二模的内角的对边分别为，若成等比数列，且，则解析成等比数列且由余弦定理可得故选荆州模拟在中，若，则边上的高等于解析由余弦定理及已知条件得，整理得，解得舍去所以边上的高为典例广东高考在中，角所对应的边分别为已知，则天津高考在中，内角所对的边分别是已知则的值为解析由余弦定理可得，所以，所以由得，即，代入，整理得，故利用余弦定理解三角形的步骤跟踪训练邢台摸底的内角的对边分别为已知则解析依题意得，即，且福建高考如图，在中，已知点在边上，⊥，，则的长为解析故在中，由余弦定理知，故考点多维探究考点正弦定理余弦定理的综合应用利用正余弦定理求三角形中的边和角判断三角形的形状是高考的重点考查方向，常与三角恒等变换相结合，以填空题解答题的形式出现较多，且主要有以下几种命题角度命题角度利用正余弦定理求角或正余弦值典例天津高考在中，，则解析在中，由余弦定理得，解得再由正弦定理得故选命题角度利用正余弦定理求边长典例江苏高考在中，已知求的长求的值解由余弦定理知，所以由正弦定理知所以由，所以为锐角，则因此命题角度利用正余弦定理判断三角形的形状典例陕西高考设的内角所。

5、利用正余弦定理判断三角形的形状典例陕西高考设的内角所对的边分别为，若，则的形状为锐角三角形直角三角形钝角三角形不确定解析由正弦定理得即，即，故选利用正余弦定理求边和角的方法根据题目给出的条件即边和角作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用利用正余弦定理判定三角形形状的两种思路“角化边”利用正弦余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状“边化角”利用正弦余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论提醒在两种解法的等式变形中，般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解跟踪训练南昌模在中，角所对的边分别是，若则等于解析因为，所以，所以由正弦定理，得榆林质检在中，分别为内角的对边，且求的大小解由已知，根据正弦定理得，即，由余弦定理得，故，又，所以若，试判断的形状解由得又，得因为故，所以是等腰的钝角三角形考点多维探究考点与三角形面积有关的综合问题回扣教材必记结论三的面积为，则的值为解析因为所以由得又因为，所以，由余弦定理得故命题角度与不等式结合求最值典例课标全国卷Ⅰ已知分别为三个内角的对边且，则面积的最大值为解析因为，所。

6、对的边分别为，若，则的形状为锐角三角形直角三角形钝角三角形不确定解析由正弦定理得，常见变形解决的问题已知三边，求三个角已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角必记结论三角形的内角和定理在中其变式有，等三角形中的三角函数关系小题快做思考辨析在中，是为锐角三角形的必要不充分条件在中，若，则此三角形是钝角三角形教材改编在中，已知，则解析由余弦定理易得，又，所以，即衡水二模的内角的对边分别为，若成等比数列，且，则解析成等比数列且由余弦定理可得故选荆州模拟在中，若，则边上的高等于解析由余弦定理及已知条件得，整理得，解得舍去所以边上的高为典例广东高考在中，角所对应的边分别为已知，则天津高考在中，内角所对的边分别是已知则的值为解析由余弦定理可得，所以，所以由得，即，代入，整理得，故利用余弦定理解三角形的步骤跟踪训练邢台摸底的内角的对边分别为已知则解析依题意得，即，且福建高考如图，在中，已知点在边上，⊥，，则的长为解析故在中，由余弦定理知，故考点多维探究考点正弦定理余弦定理的综合应用利用正余弦定理求三角形中的边和角判断三角形的形状是高考的重点考查方向，常与三角恒等变换相结合，以填空题解答题的形式出现较多，且主要有以下几种命题角度命题角度利用正余弦定理求角或正余弦值典例天津高考在中，，则解析在中，由余弦定理得，解得再由正弦定理得故选命题角度利用正余弦定理求边长典例江苏高考在中，。

7、常见变形解决的问题已知三边，求三个角已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角必记结论三角形的内角和定理在中其变式有，等三角形中的三角函数关系小题快做思考辨析在中，是为锐角三角形的必要不充分条件在中，若，则此三角形是钝角三角形教材改编在中，已知，则解析由余弦定理易得，又，所以，即衡水二模的内角的对边分别为，若成等比数列，且，则解析成等比数列且由余弦定理可得故选荆州模拟在中，若，则边上的高等于解析由余弦定理及已知条件得，整理得，解得舍去所以边上的高为典例广东高考在中，角所对应的边分别为已知，则天津高考在中，内角所对的边分别是已知则的值为解析由余弦定理可得，所以，所以由得，即，代入，整理得，故利用余弦定理解三角形的步骤跟踪训练邢台摸底的内角的对边分别为已知则解析依题意得，即，且福建高考如图，在中，已知点在边上，⊥，，则的长为解析故在中，由余弦定理知，故考点多维探究考点正弦定理余弦定理的综合应用利用正余弦定理求三角形中的边和角判断三角形的形状是高考的重点考查方向，常与三角恒等变换相结合，以填空题解答题的形式出现较多，且主要有以下几种命题角度命题角度利用正余弦定理求角或正余弦值典例天津高考在中，，则解析在中，由余弦定理得，解得再由正弦定理得故选命题角度利用正余弦定理求边长典例江苏高考在中，已知求的长求的值解由余弦定理知，所以由正弦定理知所以由，所以为锐角，则因此命题角度。

8、以可化为，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，又，故因为，所以，当且仅当时取等号由三角形面积公式知，故面积的最大值为命题角度与向量结合求面积典例陕西高考的内角所对的边分别为向量，与，平行求解因为，所以，由正弦定理，得，又，从而，由于，所以若求的面积解法由余弦定理，及，得，即，因为，所以故的面积为解法二由正弦定理，得，从而，又由，知，所以故所以的面积为与三角形面积有关问题的常见题型及求解方法求三角形面积的方法若三角形中已知个角角的大小，或该角的正余弦值，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解若已知三角形的三边，可先求其个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键三角形中，已知面积求边角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解若求边，就寻求与该边或两边有关联的角，利用面积公式列方程求解与向量不等式的综合问题求解方法利用正余弦定理结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积时，常利用平面向量的数量积或基本不等式进行求解长春三模已知中，内角的对边分别为，若则的面积为解析，又，的面积为，故选山东高考在中，已知，当时，的面积为解析根据平面向量数量积的概念得，当时，根据已知可得，故的面积为湖北高考在中，角对应的边分别是已知求角的大小解由，得，即，解得或。

参考资料：

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[19]三年级语文上册4.槐乡的孩子课件新人教版（第16页，发表于2022-06-24 20:25）

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