1、 为在，上的最小值，而为在 ，上的最大值由积分中值定理得 ， 即  注由于积分具有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性在证明含 有定积分的不等式时，也常考虑用积分中值定理，以便去掉积分符号，若被积函数是两个函数之积时， 可考虑用广义积分中值定理如果在证明如和例题时，可以根据估计定积分的值在证明比较简 单方便 证明函数的单调性 例设函数在，上连续， ，试证在，内，若 为非减函数，则为非增函数 证明 ， 对上式求导，得陕西理工学院毕业论文 第页共页 ，。

2、 其中， 因为 ， 所以 ， 即 ， 故  例估计 的值 解因为在，上连续，且 ， ，  而第二个积分 ， 由于得任意性知其课任意小 所以   注求解其类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号在应用该定理时，要注中值不仅依 赖于积分区间，而且还依赖于根式中自变量的趋近方式 确定积分的符号 例确定积分  的符号 解            。

3、第中值定理有   在估计其类积分的值时，首先要确定要积分的函数在积分闭区间上连续，在开区间上可导，然后 判断函数在积分区间上的单调性，最后利用积分中值定理就可以估计积分的值了 综上，在利用积分中值定理估计积分的值时，我们要根据不同的题型给出不同的解决方法，这也 是我们在学习过程中逐渐要培养的，积累的好习惯 求含有定积分的极限 例求极限    为自然数 解利用中值定理，得 因为在，上连续，由积分中值定理得 定要等到商圈成熟稳定后才进入，例如说这家店三年以后效益会多好，对现今没有帮，有人吃肯德基品他竞争是进入最佳时机，决定暂时把品他竞争是进入肯德基通过把降低风险可能性与通过投资可能得到潜在收益加以比。

4、上个函数的平例试求在，上的平均值 解平均值例试求在，上的平均值 解平均值  例试求心形线，上各点极经的平均值陕西理工学院毕业论文 第页共页 解平均值  注在解区间上个函数的平均值时，我们只需要在这个区间上对这个函数进行积分，然后积 分结果除以区间的差值在这里主要是应用了积分第中值定理，所以求解其类问题时，定要理解 积分中值定理的定义 估计定积分的值 例估计  的值 解由推广的积分第中值定理，得 ，  其中， 因为 ， 所以 ，。

5、区间，而且还依赖于根式中自变量的趋近方式 确定积分的符号 例确定积分  的符号 解            利用积分中值定理，得 上满足罗尔定理条件，可存在点，使 注在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时，般应用积分中值定理求解，掌握积分中 值定理在解此类问题时至关重要，是我们必须要好好掌握的 证明不等式 例求证  证明  其中，，于是由  即可获证 例证明  证明估计连续。

6、意小的正数 对第积分中值定理使用推广的积分第中值定理，有   ，  例估计 的值 解因为在，上连续，且 ， ， ， ， 其中， 因为 ， 所以 ， 即 ，计  的值 解由推广的积分第中值定理，得 ， 均值时，我们只需要在这个区间上对这个函数进行积分，然后积 分结果除以区间的差值在这里主要是应用了积上各点极经的平均值陕西理工学院毕业论文 第页共页 解平均值  注在解区间。

7、 利用积分中值定理，得  若为非减函数，则， 所以，故为非减函数 综上所述，积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，从而使问题简单化 因此，对于证明有关题设中含有个函数积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者 所求的极限式中含有定积分时，般应考虑使用积分中值定理，去掉积分号在使用该定理时，常与微 分中值定理或定积分的其他些性质结合使用，是所求问题迎刃而解 参考文献 华东师范大学数学系数学分析北京高等教育出版社， 张筑生数学分析新讲北京北京大学出版社， 刘玉莲，傅沛仁数学分析讲义第二版北京高等教育出版社， 刘鸿基数学分析习题讲义。

8、江苏中国矿业大学出版社， 石建成，李佩芝，徐文雄高等数学例题与习题集西安西安交通大学出版社， 李惜雯数学分析例题解析及难点注释西安西安交通大学出版社， 白永丽，张建中略谈积分中值定理及应用平顶山工业职业技术学院 刘开生，王贵军积分中值定理的推广天水师范学院 周建莹，李正元高等数学解题指南北京北京大学出版社， 刘剑秋，徐绥，高立仁高等数学习题集上天津天津大学出版社， 吴炯圻数学专业英语第二版北京高等教育出版社， ， ，陕西理工学院毕业论文 第页共页 ， 毕业论文 单调增， 即 ， 所以由积分第中值定理有   。

9、 当时，，而 故  例求   解若直接用中值定理 ， 因为而不能严格断定，其症结在于没有排除，故采取下列措施陕西理工学院毕业论文 第页共页   其中为任意小的正数 对第积分中值定理使用推广的积分第中值定理，有   ，  而第二个积分 ， 由于得任意性知其课任意小 所以   注求解其类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号在应用该定理时，要注中值不仅依 赖于积分。

10、数的积分值  的般的方法是求在，的最大值和最小值 ，则  因为   ，， 所以  例证明   证明估计积分  的般的方法是求在，的最大值和最小值，又陕西理工学院毕业论文 第页共页 若，则  本题中令 ， 因为 ， 所以  例证明  证明在区间，上求函数的最大值和最小值 ，令，得驻点 比较  ，，知 。

11、 即 ， 故  例估计 的值 解因为在，上连续，且 ， ， ， ， 所以由积分第中值定理有  在估计其类积分的值时，首先我们要确定被积函数在积分区间上连续的基础上确定被积函数在 积分区间上的最大值和最小值，然后再利用积分中值定理就迎刃而解了 例估计  的值 解因为  在，上连续，在，内可导，陕西理工学院毕业论文 第页共页 且   在，内无解， 即 ， 等号仅在时成立故在，内严格单调增， 即 ， 所以由积分。

12、估计其类积分的值时，首先要确定要积分的函数在积分第页共页 且   值和最小值，然后再利用积分中值定理就迎刃而解了 例估计  的值 解因为  在，上连续，在，内可导，陕西理工学院毕业论文 所以由积分第中值定理有  在 注在解区间上个函数的平均值时，我们只需要在这个区间上对这个函数进行积分，然后积 分结果除以区间的差值在这里主要是应用了积分第中值定理，所以求解其类问题时，定要理解 积分中值定理的定义 估计定积分的值 例估计  的值 解由推广的积分第中值定理，得 ， 。

参考资料：

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[3]纪律专题教育之筑牢思想防线严守纪律底线课件PPT（优） 编号42（第29页，发表于2022-06-25 00:05）

[4]纪律专题教育之筑牢思想防线严守纪律底线课件PPT（优） 编号33（第29页，发表于2022-06-25 00:05）

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[11]党史新中国史改革开放史社会主义发展史之四史PPT（25页优版） 编号44（第25页，发表于2022-06-25 00:05）

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