1、此为双曲线。从而，及所描述线性控制器解可以利用稳定无关解求得。使用时而不是时初始条件可以通过控制。因此跟踪性能可以根据假设和得到改善。．集中分析定义我们为方程定义标准注意意味着和是等价标准。集中结果可以用任标准证实。导致标准定义傅立叶变换。条件也就是说，轴上没有确定或者非确定零点，遵循。法则如果假设和条件满足，没有扰动即且和初始误差，那么算则导出了个输入顺序，输入汇合于。如果，及初始状态误差是有界，随着，汇合于。球半径连续取决于扰动，和初始误差界限。如果存在个具有，那么将汇合于期望输入解。验证验证依赖于对输入顺序应用不同收缩映射定理。验证主要想法是在时展现出。这表明了极限这儿为扰动和初始误差界限连续因子。通过以下定义构造序列为简单起见下文用表示。现在，维持页尾所示从到关断器线性。在后，我。
2、人易证用代表单位阶跃函数，有界状态过渡矩阵定义为，且解满足边界条件，具有形式。定义映射，就如中到映射。也就是图.频率响应和.，线性对象，其伴随矩阵和时域,组成，也就是注意到对所有如果注意在图中，减因子放置在汇合点之前。定义由于非线性系统是输入状态稳定且是连续，因此这样定义个因果关系非线性输入到输出映射。因为是第状态渐近稳定，我们定义稳定时不变输入到输出线性因式，需要对系统在内线性化图，非线性学习控制系统非线性对象，学习控制器，负因子这里，因此，。由于且为赫兹在中，我们可以用代替而不必改变中定义输入输出映射，因此得到唯映射是。定义考察伴随系统映射由于是赫兹，为双曲线也就是，所有特征值都没有零实部，从而式定义了唯无关联映射，如等给出参见附录伴随系统满足.定义忽略较高阶限制，我们可以在方程解附。
3、入状态稳定且是连续，因此这样定义个因果关系非线性输入到输出映射。因为是第状态渐近稳定，我们定义稳定时不变输入到输出线性因式，需要对系统在内线性化图，非线性学习控制系统非线性对象，学习控制器，负因子这里，因此，。由于且为赫兹在中，我们可以用代替而不必改变中定义输入输出映射，因此得到唯映射是。定义考察伴随系统映射由于是赫兹，为双曲线也就是，所有特征值都没有零实部，从而式定义了唯无关联映射，如等给出参见附录伴随系统满足.定义忽略较高阶限制，我们可以在方程解附近获得个线性对象这里。因为是稳定，可以根据李亚普诺夫方法证明，如果有界那么也是有界输入输出稳定。注意，这里我们也可以用代替如中而且没有改变输入输出映射。定义。线性稳定系统有解并且定义了个线性输入输出映射。定义由伪逆观念启发，我们通过下面线性。
4、，相同轨迹误差会直在反复试验中存在。相反，学习控制器可以利用前次执行信息来改进下次轨迹执行性能。而在些应用中，多次重复个轨迹要求不利于学习，所以我们将注意力集中在别些场合，那里来说学习控制是自然解决方案。本文中我们在提出种反复学习控制算法修正以使其适用于带有输入扰动和输出传感噪声非线性非最小相位对象。在章节，提出个在起始位置描述伪逆线性装置学习控制器。在章节，举出仿真例子以展示所提学习控制器性能。最后，章节是全文总结。．具有扰动非线性非最小相位对象本节中，我们为非线性系统提出个鲁棒迭代学习算法。我们仅考虑方相同输入和输出时不变非线性系统。．系统描述来考察个在时起始近似稳定也就是说线性对象所有特征根都在复平面左半部分而且输入稳定非线性系统这里为迭代系数，是输入顺序集合，及，。方程表示系统反。
5、这儿为扰动和初始误差界限连续因子。通过以下定义构造序列为简单起见下文用表示。现在，维持页尾所示从到关断器线性。在后，我们用表示分叉，也即满足在式中，这样定义。从式，我们可以发现就是，为表示，我们重写，线性对象，其伴随矩阵和时域,组成，也就是注意到对所有如果注意在图中，减因子放置在汇合点之前。定义由于非线性系统是输入状态稳定且是连续，因此这样定义个因果关系非线性输入到输出映射。因为是第状态渐近稳定，我们定义稳定时不变输入到输出线性因式，需要对系统在内线性化图，非线性学习控制系统非线性对象，学习控制器，负因子这里，因此，。由于且为赫兹在中，我们可以用代替而不必改变中定义输入输出映射，因此得到唯映射是。定义考察伴随系统映射由于是赫兹，为双曲线也就是，所有特征值都没有零实部，从而式定义了唯无关联。
6、近获得个线性对象这里。因为是稳定，可以根据李亚普诺夫方法证明，如果中文字出处,,.基于伪逆反复学习控制摘要学习控制是用于固定时间间隔内重复作用跟踪控制有效方法。本文给出种反复学习控制算法，适用于些具有扰动和初始误差非线性非最小相位对象。该算法要求对线性对象近似转换而非精确转换。这种方法个优点是不需区分对象输出。渐进轨迹误差范围通过精确试验列出，并且可以看到其随着扰动范围持续增大。该控制器结构是这样，其低频部分轨迹汇合要比高频部分快。索引术语反复学习控制，非线性跟踪，伪逆。.绪论反复学习控制用到了类自调整控制器，其特定任务系统性能在同任务先前性能基础上逐渐改善和完美。学习控制最常见应用是在工业生产机器人控制领域，这里要求机器人执行个单任务，比方说反复在给定轨迹下取放物体。单独个反馈控制器时。
7、们用表示分叉，也即满足在式中，这样定义。从式，我们可以发现就是，为表示，我们重写法中，不需要在每反复用输出分叉计算系统输入更新条件。注意必须非零。图和给出了线性对象频率响应，它精确逆和伪逆具备。在我们先前方案中，学习因子具有如图所示高频下高增益。因此，高频噪声被学习因子放大。从图中我们可以看到频率响应在低频时具有和相似表现，但在高频时偏离，证明了其低通本性。从而高频传感噪声被滤除掉了。精确逆和伪逆相位响应是相同看图。注意是个零相位滤波器。几个反复后，可以达到低频部分良好跟踪，同时输出误差信号高频部分更缓慢地汇合。这种行为可以由图和得到证实，图中我们可以看到低频误差在起初几个反复内汇合于零，而高频误差使大量反复衰减。在中，比例因子为数量级微克，而且本文中质量为算子不必因果关系，通过伪逆调整。
8、给出。有趣是，两个方案中学习控制器相位等于对象相位相反数。我们论文建立于早期工作，因为算子份量在带宽内导致了对象逆，而且你可以期待在那频带内快速汇合。更甚者，如果多变量对象在其最小和最大奇异值间具有明显散布，伪逆自动地在对象不同空间方向测量学习控制器增益。和三角修正急速升降方法具有和伪逆学习控制器相同高频复制特性。并且，我们发现在机器人反馈控制系统中应用传递函数倒像去设计控制器，而在需要时切断学习。图。具有输入扰动非线性非最小相位系统跟踪三次反复后次反复后总结图。具有输入输出扰动非线性非最小相位系统三次反复后跟踪，为实际非测量输出本文提出学习算法在些相当般假设前提下确保了学习。理论判断伪仿真结果所证实，证明了在随机有界扰动情况下跟踪误差律是有界。这种方案主要优点是我们可以从学习更新法则中。
9、中文字出处,,.基于伪逆的反复学习控制摘要学习控制是用于固定时间间隔内重复作用的跟踪控制的有效方法。本文给出种反复学习控制算法，适用于些具有扰动和初始误差的非线性非最小相位对象。该算法要求对线时初始条件可以通过控制。因此跟踪性能可以根据假设和得到改善。．集中分析定义我们为方程定义标准注意意味着和是等价标准。集中结果可以用任标准证实。导致标准定义傅立叶变换。条件也就是说，轴上没有确定或者非确定零点，遵循。法则如果假设和条件满足，没有扰动即且和初始误差，那么算则导出了个输入顺序，输入汇合于。如果，及初始状态误差是有界，随着，汇合于。球半径连续取决于扰动，和初始误差界限。如果存在个具有，那么将汇合于期望输入解。验证验证依赖于对输入顺序应用不同收缩映射定理。验证主要想法是在时展现出。这表明了极限。
10、映射，如等给出参见附录伴随系统满足.定义忽略较高阶限制，我们可以在方程解附近获得个线性对象这里。因为是稳定，可以根据李亚普诺夫方法证明，如果有界那么也是有界输入输出稳定。注意，这里我们也可以用代替如中而且没有改变输入输出映射。定义。线性稳定系统有解并且定义了个线性输入输出映射。定义由伪逆观念启发，我们通过下面线性因子来定义学习控制器因为，我们把“近似反转”称为伪逆。为简单起见，下文把伪逆称为简单伪逆。在时域下用和因为是稳定，是具有特征根双曲线，因此，中且是无关联。在中解，我们可以看到反向算子为上面系统特征根连续函数。在极限为双曲线因为为赫兹。从而我们通常对双曲线选择个。系统可以根据等人稳定无关解方法解决。因此，学习控制器是伪逆且在时域中给出是对角块，因此特征根是和特征根。由于是双曲线，因。
11、复随机有界扰动它可以是持续，非可再生摩擦力，和状态独立模型误差等等。代表传感器噪声。所期待轨迹维持在有限时间域。学习目是构建个输入轨迹顺序如，这样使系统在,间“尽可能近”跟踪轨迹。我们做以下假设方程是连续可微，而是连续。，这里是空间封闭子集。系统是第渐进稳定和输入状态稳定。备注如果系统不稳定，可以运用我们方法使其稳定。扰动和分别由和限制也就是说，且。所期待轨迹非常接近于轨迹，其满足以下方程针对该系统，在图.中给出个反复学习控制。.学习控制器描述本节中，图所示学习控制器个好候选者可以这样获得，首先对对象进行线性化，然后用个伪逆线性装置作为学习控制器。现代反复学习控制法则由因式，线性对象，其伴随矩阵和时域,组成，也就是注意到对所有如果注意在图中，减因子放置在汇合点之前。定义由于非线性系统是输。
12、消除差分因子，这使我们可以研究些更般化非线性对象。该学习算法可以通过应用方法轻易加到缓慢时变对象中。学习算法应用于带非模型动力学线性对象中，在将来扩展到时变对象中。附录．非最小相位系统边缘价值问题个非线性非最小相位系统可以看作是到或者是从到映射。在第种情形中逆映射是没有限制，而第二种情形是有限制但非关联。正是第二种观点给予了跟踪控制问题恰当看法，因为前馈不需要有原因计算传感输出。如果个具有抛物线零点动力学非线性系统是非最小相位系统，线性化对象逆是不稳定。因此我们用线性化对象稳定无关逆去获得针对章节中描述方案学习控制器。解决这个问题关键部分是寻找个在满足边界条件解。从而，对线性学习控制器来说，问题归结为解这里我们假设没有轴上特征根并且，不失般性，假设是对角矩阵，这里和均为赫兹。这可以通过代。
参考资料：
（外文翻译）基于伪逆的反复学习控制（外文+译文）