1、设是到的映射，对，为非空闭凸集，定义由于，关于单调不减关于单调不增，故得到下面个非常有用的引理引理设是到的映射，对，有，定理设非空闭凸集，映射是可微的，对于，有万方数据南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章预备知识是单调的是半正定的是严格单调的是正定的是致强单调的，使得凸函数的定义及性质定义设是凸集，是的函数，若满足，，则称函数为凸集上的凸函数。引理设为闭凸集，在包含的开集上可微，则是凸函数的充分必要条件是，，是凸函数的充分必要条件是，。

2、范数，通常为范数函数在处的梯度矩阵的谱半径任意存在属于函数的次梯度缩略词说明变分不等式分裂可行问题多集合分裂可行问题万方数据南京邮电大学硕士研究生学位论文第章绪论第章绪论分裂可行问题的定义与应用背景的投影，记作可以写成若是闭凸集，则对，是唯存在的。许多情况下，到非空闭凸集上的投影是比较容易计算的。集合的类型也是多种多样的，下面仅给出几种常见的集合，以及到这些集合上投影的计算令，若则对于有，若，，则对于有若，，对于，有如果，则。

3、闭凸集上的投影，间的距离。单调映射与凸函数单调映射的定义及性质定义设是非空闭凸集，是到的映射，对于，，有，则称是上的单调映射对于，，有，则称是上的强单调映射对于，，有，是正常数，则称是上的致强单调映射如果存在常数，使得，，那么称在上是强制的，特别地，时，称为强制非扩张算子如果存在常数，使得，那么称在上是连续的，特别地，时，称为非扩张算子。注从式容易得到，是单调强制以为常数非扩张的，此外，也是强制以为常数的，即对，有，。

4、凸函数单调映射的定义及性质凸函数的定义及性质变分不等式与分裂可行问题变分不等式的定义及相关定理变分不等式的特殊形式变分不等式与分裂可行问题的关系投影收缩算法投影收缩算法投影收缩算法的般框架第三章求解多集合分裂可行问题的种改进的投影算法算法思想算法及收敛性分析数值试验第四章用不精确投影方法解决多集合分裂可行问题引言算法算法及收敛性分析数值试验第五章将迭代应用于解决多集合分裂可行问题引言算法及收敛性分析数值试验第六章总结与展望参考文献附录程序清单附录攻读硕士学位期间撰写的论文致谢万方数据南京邮电大学硕士研究生学位论文专用术语注释表专用术语注释表符号说明维欧氏空间矩阵的转置矩阵的逆，与的内积或空间中向量范数或矩阵。

5、京邮电大学硕士研究生学位论文第二章预备知识整理得证毕。在式中，若取，则有，式即可以写成证毕。对，利用式可得，，从而有证毕。引理在本文给出的投影算法的收敛性证明中起到了至关重要的作用，为了便于理解，下面用几何图形的方式加以解释。图引理的几何意义万方数据南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章预备知识引理的几何意义如图，空间中任意两点，间的距离大于等于这两点在非。

6、，若表示二阶连续可微，则是凸函数的充分必要条件是半正定。证明令充分性因为是凸函数，由凸函数的定义知则当时，由上式可得万方数据南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章预备知识必要性由可得由得到上面两式相加，得到即令，由拉格朗日中值定理可得，当时，由可得，半正定。引理假设是凸函数，那么处处次可微且次微分在中任意有界集上致有界。变分不等式与分裂可行问题变分不等式的。

7、万方数据南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章预备知识如果，则有投影的相关性质与定理引理若是中非空闭凸集，则有，，证明根据投影定义得到因为是非空闭凸集，则对于，有又由于，则整理后得令，得到证毕。引理的几何意义如图，记空间中任意点到非空。

8、空闭凸集距离最近的点，使得该点在线性变换下的像与另族非空闭凸集的距离最近。人们先后提出了多种求解多集合分裂可行问题的优化算法，其中投影算法构造简洁，具有良好的可行性，是类基本且重要的方法。本文主要探讨求解多集合分裂可行问题的投影算法。主要创新工作如下提出了基于求解分裂可行问题的投影算法，新算法不需要计算矩阵谱半径，并且在迭代过程中，不用反复从初始值开始计算来选取步长，进而减小计算的工作量，提高算法的运算效率。同时该算法具有较好的稳定性，还给出了算法的全局收敛性证明，并且进行了数值试验，数值试验结果表明该算法具有较快的收敛速度与良好的可行性。基于求解分裂可行问题的不精确投影算法，推广到多集合分裂可行问题的求解，给。

9、凸集上的投影为，与所成的向量为，与中任意点所成的向量为，那么向量的夹角是钝角。万方数据南京邮电大学硕士研究生学位论文第二章预备知识图引理的几何意义引理若是非空闭凸集，则有，，，证明对于，，由于，根据前面引理，得到由于，同理将式式相加得即由不等式知再结合式得到万方数据。

10、确的说明并表示了谢意。本人学位论文及涉及相关资料若有不实，愿意承担切相关的法律责任。南京邮电大学学位论文使用授权声明本人授权南京邮电大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子文档允许论文被查阅和借阅可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索可以采用影印缩印或扫描等复制手段保存汇编本学位论文。本文电子文档的内容和纸质论文的内容相致。论文的公布包括刊登授权南京邮电大学研究生院办理。涉密学位论文在解密后适用本授权书。研究生签名日期研究生签名导师签名日期万方数据摘要分裂可行问题产生于工程实践，是类重要的最优化问题，在生物学医学信号处理和图像重建等领域中有着广泛的应用。多集合分裂可行问题即寻找与族。

11、了求解多集合分裂可行问题的不精确投影算法。首先，利用到包含给定闭凸集的半空间上的投影代替到闭凸集上的投影，投影更容易计算。其次，利用搜索来获取步长代替原来的恒定步长，并且利用得到的迭代步作为个预测步，再进行次校正。给出了预测校正不精确投影算法，该算法不需要计算矩阵的范数和最大特征值。新算法仍具有全局收敛性，最后给出了算法的数值试验结果，实验结果表明改进的算法是可行有效的。根据迭代进步给出了自适应不精确投影算法，使得目标函数在每步迭代过程中充分地减小。还证明了算法的全局收敛性，并对算法进行了数值试验，表明了该算法具有良好的可行性与较快的收敛速度。关键词多集合分裂可行问题，不精确投影，全局收敛性，类搜索，迭代万方数。

12、义及相关定理定义设是非空闭凸集，是映射，变分不等式问题就是寻找，使其满足下列不等式，万方数据单位代码密级硕士学位论文论文题目多集合分裂可行问题的投影算法研究王前芬杨振华应用数学数值方法与应用理学硕士二零四年二月学号姓名导师学科专业研究方向申请学位类别论文提交日期万方数据万方数据南京邮电大学学位论文原创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南京邮电大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了。

参考资料：

[1]绘本故事 ：第一天上学记（优） 编号18060（第14页，发表于2022-06-24）

[2]绘本故事 ：第一天上学记（优） 编号18060（第14页，发表于2022-06-24）

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[11]绘本故事：不会唱歌的小鸟（优） 编号18060（第20页，发表于2022-06-24）

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