1、两式相加,并注意到,于是有从而方程可化为,它的两根为和,即,由故所求的值为,关注用导数本质及其几何意义解决问题思考观察下图，当时距水面的高度最大,那么函数在此点的导数是多少呢此点附近的图象有什么特点相应地，导数的符号有什么变化规律利。

2、求的极值解令,解得,当变化时的变化情况如下表,↗极大值↘极小值↗因此,当时有极大值,并且,极大值而,当时有极小值,并且,极小值如上左图所示,若是的极大值点,则两侧附近点的函数值必须小于因此,的左侧附近只能是增函数,即的右侧附近只能是减函数,即同理,如上右图所示,若是极小值点,。

3、又当时,所以当时,函数取得极小值为什么要加上这步例已知证明恰有个极大值点和个极小值点当的极大值为极小值为时,求的值解令,得,故有不相等的两实根,设又设,由于,的图象开口向下,的值在的右正左负,在的左正右负注意到与的符号相同,可知为极小值点,为极大值点由和可得。

4、且在的两侧的导数异号,则是的极值点,是极值,并且如果在两侧满足“左正右负”,则是的极大值点,是极大值如果在两侧满足“左负右正”,则是的极小值点,是极小值极大值与极小值统称为极值从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正三例题选讲例。

5、大值点与极小值点是交替出现的导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利用导数判断函数极值的基本方法例已知函数满足条件当时当,由条件可知,即当时,由条件可知,即。

6、用导数研究函数的极值,那么函数在为这个区间内的增函数如果在这个区间内,那么函数在为这个区间内的减函数知识回顾如果在个区间内恒有,则为常数求函数单调性的般步骤求函数的定义域求函数的导数解不等式得的单调递增区间解不等式得的单调递减区间定义域为时可省二新课讲解函数的极值观察右下图为函数的图象,从图象我们可以看出下面的结论函数在。

7、则在是函数的个极大值如果的值比附近所有各点的函数值都小,我们说是函数的个极小值极大值与极小值统称极值当函数在处连续时,判别是极大小值的方法是如果在附近的左侧右侧那么,是极大值如果在附近的左侧右侧那么,是极小值理解函数极值的定义时应注意以下几点函数的极值是个局部性的概念,极值点是区间内部的点而不会是端点若在区间。

8、解令,解得,当变化时的变化情况如下表,↗极大值↘极小值↗因此,当时有极大值,并且,极大值而,当时有极小值,并且,极小值如上左图所示,若是的极大值点,则两侧附近点的函数值必须小于因此,的左侧附近只能是增函数,即的右侧附近只能是减函数,即同理,如上右图所示,若是极小值点,则在的左。

9、内有极值,那么在区间内定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不定比极小值大,极小值不定比极大值小函数在区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有个极大值点般地,当函数在区间上连续且有有限极值点时,函数在该区间内的极。

10、侧的导数异号,则是的极值点,是极值,并且如果在两侧满足“左正右负”,则是的极大值点,是极大值如果在两侧满足“左负右正”,则是的极小值点,是极小值极大值与极小值统称为极值从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正三例题选讲例求的极值。

11、侧附近只能是减函数,即在的右侧附近只能是增函数,即四探索思考导数值为的点定是函数的极值点吗可导函数的极值点定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不定是该函数的极值点例如,函数,在点处的导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点处左右两侧的导数都大于零因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件是在这点两。

12、的函数值比它附近所有各点的函数值都大，这时我们说是函数的个极大值是函数的个极大值点。函数在的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说是函数的个极小值，是函数的个极小值点。如图，函数在，等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系在这些点的导数值是多少在这些点附近，的导数的符号有什么规律探索思考从而我们得出结论若满足,且在的两。

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