1、典例已知，设，如果，那么为何值时，三点在条直线上使得，即，整理得若，共线，则可为任意实数易错分析规范解答温馨提醒易错警示系列忽视平面向量基本定理的条件致误典例已知，设，如果，那么为何值时，三点在条直线上若，不共线，则有解之得易错分析规范解答温馨提醒易错警示系列忽视平面向量基本定理的条件致误典例已知，设，如果，那么为何值时，三点在条直线上综上，可知，共线时，可为任意实数，不共线时，易错分析规范解答温馨提醒平面向量基本定理是平面向量知识体系的基石，在解题中有至关重要的作用，在使用时定要注意两个基向量不共线这条件易错警示系列忽视平面向量基本定理的条件致误典例已知，设，如果，那么为何值时，三点在条直线上易错分析规范解答温馨提醒方法与技巧平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行。

2、，解析答案思维升华解析答案思维升华例陕西设，向量若，则华向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解题型三向量共线的坐标表示例已知平面向量且，则，则的充要条件是若，则题型三向量共线的坐标表示例已知平面向量且，则，解析答案思维升且，得即从而那么解析答案思维升华两平面向量共线的充要条件有两种形式若那么，解析答案思维升华题型三向量共线的坐标表示例已知平面向量且，则由题型三向量共线的坐标表示例已知平面向量且，则由且，得即从而，解析答案思维升华题型三向量共线的坐标表示例已知平面向量且，则故在平行四边形中，为条对角线，若则解析由题意得则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则。

3、量共线的坐标表示例已知平面向量且，则，解析答案思维升华解析答案思维升华例陕西设，向量若，则因为，所以，例陕西设，得，解析答案思维升华因为，所以，因为，得，例陕西设，向量若，则解析答案思维升华例陕西设，向量若，则解析答案思维升华两平面向量共线的充要条件有两种形式若则的充要条件是若，则例陕西设，向量若，则向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解解析答案思维升华跟踪训练已知梯形，其中，且，三个顶点则点的坐标为解析在梯形中设点的坐标为则跟踪训练已知梯形，其中，且，三个顶点则点的坐标为，即，解得故点的坐标为中，内角所对的边分别为，若，线上的充要条件是存在实数，易错分析规范解答温馨提醒易错警示系列忽视平面向量基本定理的条件致误。

4、，那么为何值时，三点在条直线上易错分析规范解答温馨提醒方法与技巧平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键方法与技巧平面向量共线的坐标表示两向量平行的充要条件若其中，则的充要条件是，这与在本质上是没有差异的，只是形式上不同三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定失误与防范要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息两个向量共线有方向相同相反两种情况若则的充要条件不能表示成，因为，有可能等于，所以应表示为使用平面向量基本定理时定要注意两个基向量不共线辽宁改编已知点则与向量同方向的单位向量为解析与同方向的单位向量为，。

5、析思维升华例求的坐标及向量的坐标向量的坐标运算主要是利用加减数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则解析跟踪训练已知平面向量则向量故在平行四边形中，为条对角线，若则解析由题意得解析答案思维升华题型三向量共线的坐标表示例已知平面向量且，则题型三向量共线的坐标表示例已知平面向量且，则由且，得即从而那么，解析答案思维升华题型三向量共线的坐标表示例已知平面向量且，则由且，得即从而那么解析答案思维升华两平面向量共线的充要条件有两种形式若则的充要条件是若，则题型三向量共线的坐标表示例已知平面向量且，则，解析答案思维升华向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解题型三向。

6、分解向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键方法与技巧平面向量共线的坐标表示两向量平行的充要条件若其中，则的充要条件是，这与在本质上是没有差异的，只是形式上不同三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定失误与防范要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息两个向量共线有方向相同相反两种情况若则的充要条件不能表示成，因为，有可能等于，所以应表示为使用平面向量基本定理时定要注意两个基向量不共线辽宁改编已知点则与向量同方向的单位向量为解析与同方向的单位向量为，，在中，点在上，且，点是的中点，若则解析已知向量,若为实数，，则解析且已知和点满足若存在实数，使得成立，则为的重心连结并延。

7、解析跟踪训练已知平面向量则向量的坐标及向量的坐标解析思维升华例求的坐标及向量的坐标向量的坐标运算主要是利用加减数乘运算法例求的坐标及向量的坐标解设为坐标原点又，解析思维升华例求标运算主要是利用加减数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则解析思维升华例求的坐标及向量的坐标解析思维升华解得，解析思维升华例求满足的实数解析思维升华例求满足的实数向量的坐量的坐标运算例已知，设，且求例求满足的实数解析思维升华解，求解析思维升华向量的坐标运算主要是利用加减数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则题型二平面向，解析思维升华题型二平面向量的坐标运算例已知，。

8、其中，不共线的向量，叫做表示这平面内所有向量的组不共线有且只有基底平面向量的坐标运算向量加法减法数乘及向量的模设则向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设则，平面向量共线的坐标表示设其中⇔，思考辨析判断下面结论是否正确请在括号中打或“”平面内的任何两个向量都可以作为组基底在中，向量夹角为若，不共线，且，则平面向量的基底不唯，只要基底确定后，平面内的任何个向量都可被这组基底唯表示若则的充要条件可表示成已知向量若，则等于题号答案解析，题型平面向量基本定理的应用解析答案思维升华例在梯形中，，分别为，的中点，若，则解析答案思维升华题型平面向量基本定理的应用例在梯形中，，分别为，的中点，若，则因为，解析答案思维升华题型平面向量基本定理的应用例在梯形中，，分别为，的中点，若，。

9、设，且，标运算解析思维升华例已知，设，且求解由已知得,标运算解析思维升华例已知，设，且求解由已知得解析思维升华题型二平面向量的坐标运算例已知，设，且求解析思维升华向量的坐标运算主要是利用加减数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则题型二平面向量的坐标运算例已知，设，且求例求满足的实数解析思维升华解解得，解析思维升华例求满足的实数解析思维升华例求满足的实数向量的坐标运算主要是利用加减数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则解析思维升华例求的坐标及向量的坐标解析思维升华例求的坐标及向量的坐标解设为坐标原点又，解析思维升华例求的坐标及向量的坐标解。

10、若，则的值为解析过点作与的平行线与直线相交，可得平行四边形，由已知得，得平行四边形的边长为和，故，即答案已知，直线与线段交于，且，则实数解析设则，，，解得又在直线上，答案设，为坐标原点，若三点共线，则的最小值为解析由已知得又，所以，即整理得，所以当且仅当时，等号成立答案给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为如图所示，点在以为圆心的圆弧上运动若，其中，，求的最大值解以为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设则由，得所以所以，又所以当时，取得最大值平面向量基本定理及坐标表示第五章平面向量数学苏理基础知识自主学习题型分类深度剖析思想方法感悟提高练出高分平面向量基本定理如果，是同平面内两个的向量，那么对于这平面内的任向量，对实数使。

11、则所以，所以解析答案思维升华题型平面向量基本定理的应用例在梯形中，，分别为，的中点，若，则所以，所以应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减或数乘运算解析答案思维升华题型平面向量基本定理的应用例在梯形中，，分别为，的中点，若，则用向量基本定理解决问题的般思路是先选择组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决解析答案思维升华题型平面向量基本定理的应用例在梯形中，，分别为，的中点，若，则解析答案思维升华例如图，在中是上的点，若，则实数的值为设，解析答案思维升华例如图，在中是上的点，若，则实数的值为因为，解析答案思维升华例如图，在中是上的点，若，则实数的值为且，所以解得，解析答案思维升华例如图，在中是上的点，若，则实数的值为，且，所以。

12、长交于，则为的中点解析，又即，答案如图，在中，为线段上的点且，则，解析由题意知，又，所以，所以，答案若三点，共线，则的值为解析依题意，有，即，所以已知向量若三点能构成三角形，则实数应满足的条件是解析若点能构成三角形，则向量，不共线，解得答案已知为坐标原点，在第二象限，且则实数的值为解析由题意知则由知，以轴的非负半轴为始边，为终边的个角为，即，答案已知，若三点共线，求的关系式解由已知得，三点共线，即若，求点的坐标解，解得，点的坐标为，如图，是的重心分别是边上的动点，且三点共线设，将用表示解设证明是定值证明方面，由，得另方面，是的重心而，不共线，由，得，解得，定值已知向量,满足向量与向量共线，则解析且即，如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且。

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