1、故在上,，即物理学中光的折射定律证明例设定点和位于以平面分开的不同光介质中，从点射出的光线折射后到达点，已知光在两介质中的传播速度分别为求需时最短的传播方式解设到平面的距离为，到平面的距离为，如图，，光线从点射到点所需时间为，光线从点射到点所需时间为且，即问题转化为函数,在条件下的最小值作拉格朗日函数令由此解得，即光线的入射角与折射角应满足光的折射定律时光线传播时间最短生产销售在生产和销售商品的过程中，销售价格上涨将使厂家在单位商品上获得的利润增加，但同时也使消费者的购买欲望下降，造成销售量下降，导致厂家消减产量但在规模生产中，单位商品的生产成本是随着产量的增加而降低的，。
2、的解法，除了拉格朗日乘数法和梯度法外，其余条件极值解法均为初等数学的方法，掌握好初等数学的方法求解多元函数条件极值有时候会更简单，但其使用的过程中具有定的技巧性，也有定的局限性,需要根据具体情况具体分析拉格朗日乘数法是种通用的方法，也是最常用的方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用只有训练掌握各种解法，才能在解极值问题时选择最佳方法快速解题当然，仅仅个学期的论文设计，不足之处在所难免，如没有对本文讨论范围以外的条件极值的解法与应用问题进行展开，在论文完稿之际，我特别要感谢陈丽华老师的细心指导，在我今后的学习工作和生活方面，都要把老师的这种严格丝不苟的精神贯彻始终，从而不辜负陈老师对我的悉数关怀和耐心指导,参考文献唐军强用方向倒数法求解多元函数极值科技创新导报汪元伦两类多元函数条件极值的简捷求法绵阳师范学院学报陈。
3、，当时，有如下推论推论若二元函数在点的领域内具有阶和二阶连续偏导数，且,令,则当时,取极大值取极小值当时，没有极值当时，不能确定，需另行讨论介绍多元函数条件极值的若干解法代入消元法通过个量用其它量代替的方法达到降元效果，将条件极值化为无条件极值问题来解决些较为简单的条件极值问题，这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解，有些条件极值很难化为无条件极值来解决例求函数在条件下的极值解由解得，将上式代入函数，得,解方程组得驻点，，，在点处,，所以不是极值点从而函数在相应点处无极值在点处,，又，所以为极小值点因而，函数在相应点处有极小值极小值为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求多元。
4、成部分，它不仅在理论上有重要的应用，而且在其它学科及有关实际问题中有着广泛的应用，于是如何判定与求解多元函数条件极值就成为许多学者研究的问题，虽然以前也有不少学者研究过，但多数还只是理论上的研究，实际利用方面的研究较少如文讨论了方向导数法在求解多元函数条件极值上应用，文讨论了柯西不等式在求解些特殊的多元函数条件极值问题时的应用本文首先对多元函数条件极值的解题方法进行了归纳与总结，通过具体实例对各种解法进行分析类比，从中可以看到不同的条件极值问题可以有不同的解题方法，其中最常用的是拉格朗日乘数法，但对有些问题若能用些特殊解法可以更简单面对不同的极值问题如何采用最佳的解决方法是快速解题的关键文章最后讨论了如何通过条件极值解决不等式证明物理学生产销售等实际应用问题简单介绍多元函数极值与条件极值的有关概念函数的极值定义设元函数在点,的个。
5、,当且仅当时，等号成立利用柯西不等式柯西不等式对于任意实数,和，总有,,当且仅当实数,与对应成比例时，等号成立运用柯西不等式，主要是把目标函数适当变形，进而配凑成柯西不等式的左边或者右边的形式，最终求得极大值或极小值例已知，求的最值解首先将变形为再设，于是，根据柯西不等式及已知条件，有即当且仅当时，等号成立即当时,当时,，所以,,二次方程判别式符号法例若,试求的极值解因为,代入得即。
6、纪修，於崇华，金路数学分析下册版北京高等教育出版社，裴礼文数学分析中的典型问题与方法北京高等教育出版社，王延源条件极值的六种初等解法,临沂师专学报,肖翔，许伯生运用梯度法求条件极值，上海工程技术大学教育研究，陈传理，张同君竞赛数学教程第二版北京高等教育出版社，法博齐投资管理学北京经济科学出版社，林德光多元统计教程华南热带作枋学院印，陈文灯考研数学基础核心讲义经济类北京北京理工大学出版社,多元函数条件极值的解法与应用摘要多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，本文研究的是代入法拉格朗日乘数法标准量代换法不等式法二次方程判别式符号法梯度法数形结合法等方法在解多元函数条件极值问题上的运用，以及探讨多元函数条件极值在证明不等式物理学生产销售等问题上的应用关键词极值条件极值拉格朗日乘数法梯度法应用引言多元函数条件极值是多元函数微分学的重要。
7、此销售量成本与售价是相互影响的厂家要选择合理的销售价格才能获得最大利润用条件极值得出生产成本最小化方案例设生产产品需要原料和，它们的单价分别为，用单位原料和单位原料可生产单位的该产品，现要以最低成本生产单位的该产品，问需要多少原料和分析由题意可知，成本函数,该问题是求成本函数在条件下的条件极值问题，利用拉格朗日常数法计算解令解方程组舍去这是实际应用问题，所以当原料和的用量分别为单位，单位时，成本最低利用条件极值得出利润最大化方案例为销售产品作两种方式广告宣传，当宣传费分别为,时，销售量是，若销售产品所得利润是销量的减去广告费，现要使用广告费万元，应如何分配使广告产生的利润最大，最大利润是多少解依题意，利润函数为。
8、且设令得依题设，存在最大利润，又驻点唯，因此两广告分别投入万元和万元利润最大例家电视机厂在对种型号电视机的销售价格决策时面对如下数据根据市场调查，当地对该种电视机的年需求量为万台去年该厂共售出万台，每台售价为元仅生产台电视机的成本为元但在批量生产后，生产万台时成本降低为每台元问在生产方式不变的情况下，每年的最优销售价格是多少数学模型建立如下设这种电视机的总销售量为，每台生产成本为，销售价格为，那么厂家的利润为根据市场预测，销售量与销售价格之间有下面的关系,这里为市场的最大需求量，是价格系数这个公式也反映出，售价越高，销售量越少同时，生产部门对每台电视机的成本有如下测算这里是只生产台电视机时的成本，是规模系数这也反映出，产量越大。
9、过程中，我们还可以根据多元函数的些特点选择其它些特殊解法来快速解题，如标准量代换法不等式法二次方程判别式法梯度法数形结合法标准量代换法求些有多个变量的条件极值时,我们可以选取个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了如果给定条件是几个变量之和的形式,般设这几个量的算术平均数为标准量例设,求的最小值解取为标准量,令,,则,为任意实数,从而有等号当且仅当,即时成立，所以的最小值为不等式法利用均值不等式均值不等式是常用的不等式，其形式为，这里，且等号成立的充分条件是例已知,，求的极小值解。
10、这个关于的二次方程要有实数解,必须即解关于的二次不等式,得显然,求函数的极值,相当于求或的极值由得这个关于的二次方程要有实数解,必须,即解此关于的二次不等式,得所以,把代入,得再把,代入,得,最后把,,代入,得所以,当,,时,函数达到极大值同理可得,当,,时,函数达到极小值也可以从作类似讨论得出的极大值和极小值梯度法用梯度法求目标函数在条件函数时,组限制下的极值，方程组,的解,就是所求极值问题的可能极值点其中表示目标函数的梯度向量,，得，且当时当时由元函数取极值的第充分判断法，为最小值点，即在曲线上,取得最小值，最小值,。
11、邻域内有定义,如果对该邻域内任异于,的点都有,或,，则称函数在点,有极大值或极小值,极大值极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点函数的条件极值定义函数,在个约束条件,下的极值称为条件极值多元函数普通极值存在的条件定理必要条件若元函数,在点,存在偏导数，且在该点取得极值，则有,,备注使偏导数都为的点称为驻点，但驻点不定是极值点定理充分条件设元函数,在,附近具有二阶连续偏导数，且,为,的驻点那么当二次型正定时为极小值当负定时为极大值当不定时不是极值记,，并记，它称为的阶矩阵对于二次型正负定的判断有如下定理定理若,，则二次型是正定的，此时,为极小值若,，则二次型是负定的，此时,为极大值特殊。
12、销售量越大，成本越低于是，问题化为求利润函数在约束条件下的极值问题作函数,就得到最优化条件由方程组中第二和第四式得到，即将第四式代入第五式得到再由第式知将所得的这三个式子代入方程组中第三式，得到,由此解得最优价格为。只要确定了规模系数与价格系数，问题就迎刃而解了现在利用这个模型解决本段开始提出的问题此时，由于去年该厂共售出万台，每台售价为元，因此得到又由于生产万台时成本就降低为每台元，因此得到将这些数据代入的表达式，就得到今年的最优价格应为元台结束语本文通过对多元函数条件极值的各种解法及应用的介绍，我们知道对于不同的多元函数其极值有不。
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毕业论文《多元函数条件极值的解法与应用》