1、近线方程𝑏𝑎,可得交点坐标为𝑎𝑚𝑏𝑎,�又因为⊥,所以𝑎𝑎,解得,故双曲线的方程为𝑥考点考点考点知识方法易错易混证明由知,则直线的方程为𝑥𝑥,即𝑥𝑥𝑦因为直线的方程为,所以直线与的交点直线与直线的交点为,𝑥𝑦则𝑀𝐹𝑁𝐹𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑥𝑦𝑥,因为,是上点,则𝑥−𝑦,代入上式得𝑀𝐹𝑁𝐹𝑥𝑥𝑥所求定值为𝑀𝐹𝑁𝐹考点考点考点知识方法易错易混思考直线与双曲线的位置关系的判断常见方法有哪些解题心得直线与双曲线的位置关系的判断和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似,但是联立直线方程与双曲线方程消元后。
2、以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点若存在,求出的值若不存在,说明理由解将直线的方程代入双曲线的方程后,整理得依题意,直线与双曲线的右支交于不同两点,解得的取值范围是,设,两点的坐标分别为假设存在实数,使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点则由⊥,得即整理得则由式得𝑥𝑥𝑘𝑘𝑥𝑘把式及代入式化简得解得或∉,舍去,可知存在使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点双曲线考纲要求了解双曲线的定义几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质范围对称性顶点离心率渐近线理解数形结合的思想了解双曲线的简单应用双曲线的概念双曲线的定义我们把平面内到两定点,的距离之差的绝对值等于常数。
3、点知识方法易错易混考点双曲线的定义及其标准方程例已知圆和圆,动圆同时与圆及圆相外切,则动圆圆心的轨迹方程为答案𝑦解析如图所示,设动圆与圆及圆分别外切于和根据两圆外切的条件,得因为,所以,即,考点考点考点知识方法易错易混所以点到两定点,的距离的差是常数且小于根据双曲线的定义,得动点的轨迹为双曲线的左支点与的距离大,与的距离小,其中则故点的轨迹方程为𝑦考点考点考点知识方法易错易混已知双曲线,点,为其两个焦点,点为双曲线上点,若⊥,则的值为答案解析解析关闭不妨设在双曲线的右支上因为⊥,所以,所以所以答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混思考如何灵活运用双曲线的定义求方。
4、线与双曲线𝑥𝑚−𝑦𝑛其中共渐近线的双曲线方程可设为𝑥𝑚−𝑦𝑛等轴双曲线的离心率等于,且渐近线互相垂直若双曲线𝑥𝑎−𝑦𝑏与𝑥𝑏−𝑦𝑎的离心率分别是则𝑒𝑒已知为双曲线的个焦点,则点到的条渐近线的距离为答案解析解析关闭双曲线的标准方程为𝑥𝑚−𝑦,其渐近线方程为𝑚𝑚,即𝑚,不妨选取右焦点𝑚,到其中条渐近线𝑚的距离求解,得𝑚𝑚故选答案解析关闭若实数满足,则曲线的焦距相等实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等𝑥−𝑦𝑘与曲线𝑥𝑘−𝑦答案解析解析关闭由,易知两曲线均为双曲线且焦点都在轴上,由𝑘𝑘,得两双曲线的焦距相等。
5、有两个方面是判定平面内动点的轨迹是不是双曲线,进而根据要求可求出曲线方程二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理余弦定理,结合,运用平方的方法,建立与的联系考点考点考点知识方法易错易混对点训练已知,分别为双曲线的左右焦点,点在双曲线上,且,则等于答案解析解析关闭由题意知,在中,由余弦定理得,即,由双曲线定义得,两边平方得得答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混已知为双曲线的左焦点为上的点若的长等于虚轴长的倍,点,在线段上,则的周长为𝑥−𝑦答案解析解析关闭如图所示,设双曲线右焦点为,则与重合,坐标为则所以,故周长为答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混考点双曲线的。
6、于零且小于的点的集合叫作双曲线定点,叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距双曲线定义的拓展设集合其中,为常数,且当时,集合是空集双曲线的标准方程和几何性质标准方程−−图形性质范围或,,或对称性对称轴坐标轴对称中心原点对称轴坐标轴对称中心原点标准方程−−性质顶点顶点坐标,顶点坐标,渐近线𝑎𝑏离心率𝑐𝑎,,,其中𝑎𝑏实虚轴线段叫做双曲线的实轴,它的长线段叫做双曲线的虚轴,它的长叫做双曲线的实半轴长,叫做双曲线的虚半轴长的关系,下列结论正确的打,错误的打“”平面内到点,距离之差等于的点的轨迹是双曲线关于,的方程𝑥𝑚−𝑦𝑛表示焦点在轴上的双曲。
7、注意二次项系数是不是的判断对于中点弦问题常用“点差法”考点考点考点知识方法易错易混对点训练已知双曲线的中心为原点是的焦点,过的直线与相交于,两点,且的中点为求双曲线的方程答案答案关闭解设双曲线的标准方程为𝑥𝑎−𝑦𝑏,由题意知设则有𝑥𝑎𝑦𝑏两式作差得𝑦𝑦𝑥𝑥𝑏𝑥𝑥𝑎𝑦𝑦𝑏𝑎𝑏𝑎,又的斜率是,所以𝑏𝑎将代入得,所以双曲线的标准方程是𝑥−𝑦考点考点考点知识方法易错易混双曲线中的参数三者的关系为,这是双曲线中参数关系的核心与双曲线𝑥𝑎−𝑦𝑏有公共渐近线的双曲线的方程可设为𝑥𝑎−𝑦𝑏已知双曲线的标准方程求双曲线。
8、的渐近线方程时,只要令双曲线标准方程中的为就得到两渐近线方程,即方程𝑥𝑎−𝑦𝑏就是双曲线𝑥𝑎−𝑦𝑏的两条渐近线方程离心率问题的处理方法与椭圆的类似考点考点考点知识方法易错易混双曲线中的焦点三角形的面积公式为𝑆𝑃𝐹𝐹𝑏𝜃其中为双曲线上任意点,但不能与,共线是双曲线的左右焦点,为的大小考点考点考点知识方法易错易混双曲线标准方程的两种形式的区分要结合,前系数的正负关于双曲线中离心率范围问题,不要忘记双曲线离心率固有范围若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况当直线与双曲线交于点时,不定相切,例如当直线与双曲线的渐近线平行时,直。
9、例已知圆和圆,动圆同时与圆及圆相外切,则动圆圆心的轨迹方程为答案𝑦解析如图所示,设动圆与圆及圆分别外切于和根据两圆外切的条件,得因为,所以,即,考点考点考点知识方法易错易混所以点到两定点,的距离的差是常数且小于根据双曲线的定义,得动点的轨迹为双曲线的左支点与的距离大,与的距离小,其中则故点的轨迹方程为𝑦考点考点考点知识方法易错易混已知双曲线,点,为其两个焦点,点为双曲线上点,若⊥,则的值为答案解析解析关闭不妨设在双曲线的右支上因为⊥,所以,所以所以答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混思考如何灵活运用双曲线的定义求方程或者解焦点三角形解题心得双曲线定义的应用主要。
10、几何性质多维探究类型已知离心率求渐近线方程思考双曲线的离心率与渐近线的方程有怎样的关系例已知,椭圆的方程为𝑥𝑎𝑦𝑏,双曲线的方程为𝑥𝑎−𝑦𝑏,与的离心率之积为,则的渐近线方程为答案解析解析关闭椭圆的离心率为𝑎𝑏𝑎,双曲线的离心率为𝑎𝑏𝑎,所以𝑎𝑏𝑎𝑎𝑏𝑎,所以,即,所以,所以双曲线的渐近线方程是,即答案解析关闭考点考点考点知识方法易错易混类型二已知渐近线求离心率例设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点,若点,满足,则该双曲线的离心率是𝑥𝑎−𝑦𝑏思考求双曲线的离心率需要建立谁与谁的关系答案解析解析关闭联立直线方程与双曲线的渐。
11、,选答案解析关闭“”是“方程表示双曲线”的充要条件充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件𝑥𝑘𝑦𝑘答案解析解析关闭当时方程表示双曲线当,”是“方程𝑥𝑘𝑦𝑘表示双曲线”的充分不必要条件答案解析关闭设双曲线经过点且与具有相同渐近线,则的方程为渐近线方程为𝑦答案解析解析关闭设双曲线的方程为𝑦,将点,代入上式,得,的方程为𝑥−𝑦,其渐近线方程为答案解析关闭𝑥−𝑦自测点评要熟练掌握双曲线中参数的内在关系及双曲线的基本性质理解离心率的大小范围,并能根据离心率的变化来判断双曲线的扁狭程度双曲线的定义中注意不是距离的差,而是距离差的绝对值考点考点考。
12、线与双曲线相交于点,但不是相切反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有个交点双曲线𝑥𝑎−𝑦𝑏的渐近线方程是𝑏𝑎,𝑦𝑎−𝑥𝑏的渐近线方程是𝑎𝑏易错警示忽视判别式而致误典例已知双曲线,过点,能否作条直线,与双曲线交于,两点,且点是线段的中点解设交点且线段的中点为若直线的斜率不存在,显然不符合题意设经过点的直线的方程为,即𝑦由𝑦𝑘𝑥𝑘得则𝑥𝑥𝑘𝑘𝑘由题意,得𝑘𝑘𝑘,解得当时,方程成为,方程没有实数解故不能作条直线与双曲线交于,两点,且点,是线段的中点典例直线与双曲线的右支交于不同的两点,求实数的取值范围是否存在实数,使得。
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