1、其中,其中为了简便，假设为偶数。万方数据杭州电子科技大学硕士学位论文令其中,。把式子代入可以将式转化为,从式子中我们可以看出，由于分母上是系列二阶因子相乘的形式，数学模型的非凸性大大增加。为了解决这个问题，我们可以将上述问题转化为系列分母为二阶的数字滤波器设计子问题。在第个子问题中，只优化分子的系数向量外和第个二。

2、大幅值误差比较，若为给定值，本文中取，则终止外部循环否则，继续外层循环。其中为最大的外循环次数,本文中取。为给定的容许误差，本文中取。为收缩因子，本文中取。双椭圆模型我们需要用些指标来对滤波器好坏进行判断。常用的指标有频率响应误差相位误差幅值误差群延迟误差等。对数字滤波器设计来说，个巨大的挑战就是滤波器的非线性相位,非线性相位会导致群延迟在不同的频率点上发生改变，会使相位的特性失真，这对相位。

3、法得到的最大幅值误差由决定最大相位误差由决定。则基于双椭圆模型的幅值误差和相位误差可以分别用下式表示ˆˆ定义,,那么频率响应可以表示为如下形式,修改后的频率响应误差幅值误差和相位误差可以表示为如下形式,。

4、排除在外。双椭圆模型用两个椭圆对幅值误差和相位误差进行分别独立的控制，并能有效的逼近幅值误差和相位误差所围成的非凸性区域。图双椭圆模型其中的实线椭圆对最大幅值误差进行约束，点画线椭圆对最大相位误差进行约束。虚线所围的区域即是滤波器幅值误差约束和相位误差约束所围成的区域，两个椭圆所围成的灰色区域就是对非凸区域的逼近，这个灰色的区域显然是凸的，而且与单椭圆约束模型相比，它能够更加精准的逼近原设计问题的非凸。

5、量外和第个二阶因子的系数。令,ˆ那么第个子问题可以表示如下可以看出，由于分母的存在，上式万方数据杭州电子科技大学硕士学位论文器稳定的前提下，采用种最小化误差准则，依靠计算机方程组来确定滤波器传递函数的系数，其中,。方法为了在数字滤波器设计中使用稳定三角形条件，我们需要用二级级联的形式来表示滤波器传递函数的分母，这增大了频。

6、差提出更高的要求。但是幅值误差所围成的区域是非凸的，我们需要选用特定的误差逼近模型来对误差所围成非凸区域进行逼近。当对频率响应的误差进行约束时，由于频率响应误差在复平面上是个圆，幅值误差和相位误差几乎同时被同个值控制在同范围内。当用椭圆的长轴和短轴分别对相位误差和幅值误差进行约束时，由于这个万方数据杭州电子科技大学硕士学位论文椭圆对滤波器幅值误差和相位所围成的非凸区域不能够有效的逼近，可能把很多好的解。

7、因子的系数。令,ˆ那么第个子问题可以表示如下可以看出，由于分母的存在，上式关于滤波器系数仍然是非线性的。对此，我们可以用策略把第步迭代得到的代入式的分母并进行次计算,其中,这时的分母可以看作个常数，那么此时的式子关于就是线性的。令,。

8、式可等价表示为如下的二次规划问题,上述问题式可以进步转化为,万方数据杭州电子科技大学硕士学位论文然后就可以通过算法进行求解。并由此形成了基于二阶因子迭代更新的序列最小化方法。算法的具体步骤如下对和进行初始化。对到，执行第步到第步。对到，执行第步到第步。内循环的初始化求。

9、其中,其中为了简便，假设为偶数。万方数据杭州电子科技大学硕士学位论文令其中,。把式子代入可以将式转化为,从式子中我们可以看出，由于分母上是系列二阶因子相乘的形式，数学模型的非凸性大大增加。为了解决这个问题，我们可以将上述问题转化为系列分母为二阶的数字滤波器设计子问题。在第个子问题中，只优化分子的系数向。

10、响应与分母多项式系数之间的非线性，针对此种情况，我们可以利用方法将原设计问题转化为系列的序列约束子问题，每个子问题只优化分子的系数和第个二阶因子的系数，避免了优化模型非线性的增加。为了具体的说明，我们以最小化最大频率响应误差的数字滤波器设计为例来介绍。数学模型可以表示为,其中表示区间,上的频率点集，表示数字滤波器的稳定域。首先，我们要滤波器频率响应的分母转化为二阶因子相乘的形式。

11、束区域，对幅值误差和相位误差分别更加灵活进行控制。令,以实线椭圆为边界的约束可以表示为,，它是椭圆长轴长度对短轴的比值，可以控制最大相位误差和最大幅值的相对大小。令ˆ以为中心，以为长轴，为短轴的点划线椭圆为边界的约束可以表示为ˆˆ,是相位误差约束的上界。万方数据杭州电子科技大学硕士学位论文和般很小，那么用这种方。

12、最小二乘问题,得。令，取，，，,。循环变量最大迭代次数。令，求解问题和中的，。如果问题不可行，令，，，并转到第步。若或，则回第步否则令。如果为给定的容许误差，本文中取，则终止。令，如果，，否则。令，,，回第步。满足条件时终止外循环。计算出幅值响应误差的最大值，和上次所得的最。

参考资料：

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