1、为设计域内任点处的相对密度，为弹性模量惩罚因子，般取，万方数据三峡大学硕士学位论文为实体材料的弹性模量。由式可以得到单元刚度矩阵式中为应变矩阵为初始弹性矩阵为单元所处空间区域，则总刚度矩阵表达式为式中为总单元数。单元体积函数表达式为可得到总体积为采用单元插值方案，以体积比为约束，以结构的柔顺度最小为优化目标，建立连续体结构拓扑优化数学模型为，式中为结构整体柔度为位移列向量为整体刚度矩阵为设计变量列向量为优化后结构的体积为体积系数为设计域体积为载荷列向量为防止刚度阵奇异，最小密度值。由于本文采用基于梯度的优化方法求解拓扑优化模型，因此需要对设计变量进行敏度分析，总刚度对设计变量的求导即为。

2、依赖性等现象，常用的方法是敏度过滤，然而这种方法又容易产生灰度单元，导致拓扑结果边界模糊，不利于优化结果提取。这些数值不稳定现象的存在，使得优化结果的可靠性结构模型的可重构性以及拓扑构型的实际可制造性等方面均不能满足实际工程的要求，或者直接降低了设计的可靠度，对实际工程的指导意义大大降低。而在微结构优化中，如果出现这些数值不稳定现象，会导致材料宏观等效性能达不到预期效果，不能满足结构具有特殊性能的目的。因此抑制数值不稳定现象技术的研究非常重要，它关系到数值计算结果是否收敛以及最终拓扑构型是否可靠的问题。万方数据三峡大学硕士学位论文绪论课题来源本课题得到国家自然科学基金项目“流固耦合作用下柔性机构的无网格拓扑优化方法研究”湖北省自然科学杰出青年基金项目“轻质超高强度材料结构构型多尺度拓扑优。

3、化问题中和方向的长度。如图和所示，在相同设计域的情况下，当形状参数不变时，过滤半径随着网格密度的改变而固定不变。随着网格密度的增加，网格边长成比例的减小，过滤半径内的节点数量也相应增加，这就类似于等提出的规划方法，为了获得更清晰的拓扑结构而采用网格独立的物理长度。根据这特性，认为在选择适当的过滤半径时可以避免结构拓扑优化中的网格依赖性现象。图不同方法中过滤半径随着网格密度变化图将引入到节点密度拓扑优化的敏度过滤中，则节点敏度过滤表达式为ˆˆˆ式中表示以节点为中心，以过滤半径为半径的区域内节点总数，ˆ为权衡因子，其表达式为ˆ，式中，表示节点和节点之间的距离。拓扑优化数学模型及求解流程拓扑优化数学模型设点处的弹性模量为，基于插值函数建立密度弹性关系的表达式为式中。

4、节基于节点密度法的中间密度节点抑制方法研究引言改进的材料密度惩罚方法拓扑优化数学模型及求解流程数值算例分析与讨论本章小结节点密度法在材料微结构优化中的应用引言均匀化理论微结构优化数学模型及求解流程数值算例分析与讨论本章小结总结和展望全文总结研究展望参考文献后记附录攻读硕士学位期间发表的部分学术论著万方数据三峡大学硕士学位论文引言随着计算机应用技术和数值方法的迅速发展，拓扑优化作为产品设计的概念设计阶段也越来越多的在实际工程中广泛的应用。目前的拓扑优化方法中广泛采用方法构建材料相对密度与材料属性之间的关系，这种方法大多数以单元相对密度为设计变量，将连续体结构拓扑优化问题转化为单元或子域的有无问题，没有考虑单元间密度的连续性，密度场出现了阶跃性，导致出现了棋盘格式，然而为了避免棋盘格式和网格。

5、和网格依赖性现象有直接关系，它在定程度上决定了最后的拓扑优化结果。已有数值试验表明，过滤半径过大时容易导致灰度单元的出现，优化结果边界模糊，不利于优化结果的边界提取，而过滤半径较小且固定不变时易出现网格依赖性现象。般拓扑优化中过滤半径与网格的关系如图和所示，过滤半径的尺寸是跟随着网格单元的尺寸变化的，随着网格的加密即网格数量增加，网格单元尺寸减小，过滤半径随着减小，过滤半径相对于整个设计域会减小，这就导致随着网格的加密，拓扑结果会显示出更多的细节，不利于生产制造。本文提出种改进方法，建立过滤半径与网格密度之间的关系，使过滤半径不受网格密度改变的影响，即过滤半径随网格密度的万方数据三峡大学硕士学位论文改变而固定不变，其表达式为式中为过滤半径为形状参数，决定了过滤半径大小和分别为二维拓扑。

6、的敏度总体积对设计变量的求导即为的敏度结构柔度对设计变量的求导即为的敏度万方数据三峡大学硕士学位论文拓扑优化求解流程根据以上拓扑优化数学模型，基于节点密度法拓扑优化求解流程如图所示。本章的收敛条件是连续两次设计变量相对变化率时收敛。定义设计域载荷约束条件及材料属性有限元网格划分初始化设计变量组装刚度矩阵有限元结构分析柔度计算及敏度分析法更新设计变量收敛与否输出结果图拓扑优化流程图数值算例分析与讨论本节以两个典型的拓扑优化问题为例进行分析，主要是为了验证本章提出的方法的正确性和有效性，其中用悬臂梁来验证本文提出的方法可以消除棋盘格式，用梁来验证本文提出的方法既能消除棋盘格的同时也能抑制网格依赖性。悬臂梁以悬臂梁结构的拓扑优化。

7、化技术研究”。研究背景结构优化是上世纪六十年代随着计算机应用技术和数值方法的迅速发展而发展起来的门力学分支，它是力学理论与数学规划理论在结构工程中的应用。随着计算机技术的发展现代设计中不断增加的复杂性自然资源的匮乏和对结构优化方法学更加深刻的认识，结构优化经过近半个世纪的发展在理论上日臻完善，在工程领域也得到了广泛应用。结构优化按照设计变量的类型和求解问题的难易程度可分为尺寸优化尺寸变量形状优化形状变量和拓扑优化拓扑变量三个层次，对应于产品设计中的详细设计和概念设计阶段，对产品的设计研发过程起着重要作用。个完整的产品设计过程包括概念设计基本设计性能测试和详细设计。在概念设计阶段需大致确定出结构的拓扑形式，而经验设计在这个阶段占据了主导地位，使得产品设计在初始阶段具有定的盲目性和不确定性根。

8、逐步稳定的减小，方法经过步迭代最后收敛于，方法经过步迭代，目标函数值收敛于，方法经过步迭代最后目标函数值收敛于，三种方法拓扑优化结果对比如表所示。从表可以看出加入改进敏度过滤的节点密度法效率相对更高，而且目标函数结果也是最优。图目标函数收敛图表拓扑优化结果对比优化方法目标函数值迭代次数出现棋盘格﹨﹨梁以梁结构的拓扑优化为例来说明文中提出的方法可以消除网格依赖性，如图所示，其设计域几何尺寸为，材料弹性模量为，泊松比为，竖直方向的集中载荷，由于载荷和结构的对称性，为了小计算量，本例采用结构建立有限元模型，以材料体积分数为为约束，以结构的柔度最小为优化目标，建立优化模型，设计域离散为四种网格单元，采用本文提出的改进敏度过滤的节点密度法上例中的方法和加入敏度过滤的单元密度法上例中的方法分别进。

9、概念设计的草图，设计者在软件中绘制出产品的三维模型完成基本设计在有限元分析和多体动力学分析方法的帮助下，现代设计过程中我们会更多的使用计算机对设计的产品进行分析测试，计算所得数据用于评估设计插值的节点密度法的材料密度分布图，从图中可以看出采用双线性插值函数构建单元密度场的节点密度法的单元间密度是连续的，并且由于单元内部任意点的密度值都是由双线性插值函数插值所得到的，从而使得设计区域的密度场具有连续性，从数学本质上抑制了连续体拓扑优化中棋盘格现象的产生。万方数据三峡大学硕士学位论文图相邻四单元节点密度值密度值轴方向轴方向轴方向轴方向密度值单元密度法材料密度的分布双线性插值函数材料密度的分布图不同方法的单元材料分布网格依赖性和过滤半径在基于敏度过滤的拓扑优化方法中，过滤半径与棋盘格式灰度单元。

10、出存在大量的棋盘格现象图采用的是加入敏度过滤后单元密度法得到的拓扑优化结果，从图中可以看出，加入敏度过滤的单元密度法可以有效地消除棋盘格式，但图形边界存在较多的灰度单元图采用的是节点密度法而不加任何处理技术得到的拓扑结果，设计区域内没有出现棋盘格式，与采用加入敏度过滤的单元密度法得到的结果相似，说明不加任何处理技术的节点密度法可以有效消除棋盘格现象图采用的是加入改进敏度过滤的节点密度法，同样也没有出现棋盘格现象，说明加入改进敏度过滤的节点密度法同样可以有效消除棋盘格现象。单元密度法敏度过滤的单元密度法节点密度法改进敏度过滤的节点密度法图悬臂梁拓扑优化结果万方数据三峡大学硕士学位论文图显示的是后三种方法目标函数收敛图方法出现棋盘格未统计，从图中可以看出三种方法目标函数收敛非常相似，目标函数。

11、行优化设计，不同网格密度下采用不同方法的拓扑结果如表所示，本文提出方法的四组拓扑优化目标函数收敛图如图所示。万方数据三峡大学硕士学位论文图梁结构的设计域示意图图显示的是改进敏度过滤的节点密度法本章提出的方法在四种网格密度不同情况下的目标函数收敛图，从图中可以看出目标函数值平稳的逐步减小直到最后收敛，随着网格的加密，目标函数收敛值越小，说明结构柔度最小，即刚度最大。由表的拓扑结果对比可看出，采用本文提出的方法在不同网格密度下的拓扑优化结果非常相似，图形边界清晰，没有因为网格的加密而出现更多的细小结构，即没有出现网格依赖性现象而采用敏度过滤的单元密度法随着网格密度的增加，优化结果显示了更多的细小结构，表现出了网格依赖性现象，不利于制造。通过本例的优化结果对比说明本文提出的方法可以有效抑制网格。

12、例来说明文中提出的方法可以印制棋盘格现象，如图所示，其设计域的几何尺寸为，材料弹性模量为，泊松比为，竖直向下的集中载荷为，将设计域离散为个单元，以体积分数为为约束，以结构柔度最小为优化目标，建立拓扑优化模型所有量为相对值，无量纲，下文同。分别采用单元密度法不加任何滤波处理技术加入敏度过滤的单元密度法节点密度法不加任何滤波处理技术和本文提出的改进敏度过滤的节点密度法，为了更清楚显示拓扑结果，后两种方法的拓扑结果用密度等高图和节点密度图两种形式显示。拓扑结果图形和目标函数收敛图如图和图所示，其中基于节点密度法拓扑结果都以密度等高图和节点密度图两种图形显示下文相同。万方数据三峡大学硕士学位论文图悬臂梁结构的设计域图采用的是单元密度法不加任何滤波处理技术得到的拓扑结果，从图形中可以明显看。

参考资料：

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[12]绘本故事《鳄鱼怕怕牙医怕怕》（优） 编号18060（第29页，发表于2022-06-24）

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