1、转化法等,它们是解决些不规则几何体体积计算常用的方法,应熟练掌握注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征即时训练高考北京卷四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为如图,正方体的棱长为分别为线段,上的点,则三棱锥的体积为解析由三视图可知直观图是个底面为边长等于的正方形,高为的四棱锥,由棱锥的体积公式得四棱锥,平面,平面,到平面的距离等于到平面的距离即所以答案与球有关的表面积体积问题考点三例高考新课标全国卷Ⅰ如图,有个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高,将个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为,如果不计容器的厚度,则球的体积为辽宁大连模拟若个正四面体的表面积为,其内切球的表面积为,则解析设球半径为,根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为,球心到截面圆圆心的距离为,所以由,得所以球的体积为故选设正四面体棱长为,则正四面体的表面积为,正四面体高,由知因此内切球的表面积为,则答案反思归纳解决与球有关问题的关键是球心及球半径,在球中球心与截面圆圆心的连线截面圆圆心与截面圆周上点该点与球心的连线构成个直角三角形解决多面体或旋转体的外接球内切球问题的关键是确定球心在多面体或旋转体中的位置,找到球半径或直径与几何体相关元素之间的关系有时将多面体补形为正长方体再求解即时训练北京东城模拟已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上,若⊥则球的半径为高考福建卷已知多面体内接于球构成个简单组合体,如果该组合体的正视图侧视图俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为的正方形,则该球的表面积是解析如图,由球心作平面的垂线,则垂足为的中点又所以球的半径故选依题意得,球内接多面体是个棱长为的正方体,设球的直径为,则,所以。

2、圆柱圆锥圆台的侧面沿任意条母线剪开铺平分别得到什么图形提示矩形扇形扇环基础自测圆柱的底面积为,侧面展开图是个正方形,那么圆柱的侧面积是解析由得圆柱的底面半径是,故侧面展开图的边长为,所以圆柱的侧面积是故选正三棱柱的三视图如图所示,其中正主视图是边长为的正方形,该正三棱柱的表面积是解析由题中三视图可知,正三棱柱的高为,底面边长为,所以底面积为,侧面积为,所以正三棱柱的表面积是故选高考新课标全国卷Ⅱ如图,网格纸上正方形小格的边长为表示,图中粗线画出的是零件的三视图,该零件由个底面半径为,高为的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为解析原来毛坯体积为,零件的体积,所求的比值为故选高考新课标全国卷Ⅱ已知正四棱锥的体积为,底面边长为,则以为球心,为半径的球的表面积是解析设到底面的距离为,则,解得,故球的表面积为答案考点突破剖典例找规律几何体的表面积考点例高考重庆卷几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为高考浙江卷几何体的三视图单位如图所示,则此几何体的表面积是高考陕西卷几何体的三视图如图所示,则其表面积为高考山东卷个六棱锥的体积为,其底面是边长为的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为解析由三视图知该几何体是四棱柱,底面为梯形,梯形的两腰长均为,两个底面的面积之和为,个侧面的面积和为,所以几何体的表面积为故选由三视图知,此几何体的直观图如图,其表面积为故选由三视图知该几何体为以为半径的半球,表面积设该六棱锥的高为,则,解得,底面正六边形的中心到其边的距离为,故侧面等腰三角形底边上的高为,故该六棱锥的侧面积为由题中三视图可知,该多面体是棱长为的正方体去掉两个全等。

3、全国卷Ⅰ如图,有个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高,将个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为,如果不计容器的厚度,则球的体积为辽宁大连模拟若个正四面体的表面积为,其内切球的表面积为,则解析设球半径为,根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为,球心到截面圆圆心的距离为,所以由,得所以球的体积为故选设正四面体棱长为,则正四面体的表面积为,正四面体高,由知因此内切球的表面积为,则答案反思归纳解决与球有关问题的关键是球心及球半径,在球中球心与截面圆圆心的连线截面圆圆心与截面圆周上点该点与球心的连线构成个直角三角形解决多面体或旋转体的外接球内切球问题的关键是确定球心在多面体或旋转体中的位置,找到球半径或直径与几何体相关元素之间的关系有时将多面体补形为正长方体再求解即时训练北京东城模拟已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上,若⊥则球的半径为高考福建卷已知多面体内接于球构成个简单组合体,如果该组合体的正视图侧视图俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为的正方形,则该球的表面积是解析如图,由球心作平面的垂线,则垂足为的中点又所以球的半径故选依题意得,球内接多面体是个棱长为的正方体,设球的直径为,则,所以,所以该球的表面积为答案折叠与展开问题考点四例如图,在直三棱柱中,底面为直角三角形,是上动点,则的最小值为解析法由题意知,在几何体内部,但在面内,把面沿展开与在个平面上如图,连接,则的长度,即的最小值,三棱柱为直三棱柱,在中,即的最小值为法二设,由已知可得为直角三角形,则,在中由余即的最小值为法二设,由已知可得为直角三角形,则,在中由余弦定理得故可以看作。

4、三棱锥后得到的几何体,因此其表面积为答案反思归纳以三视图为载体的几何体的表面积问题的求法及注意事项恰当分析给出的三视图对于组合体要注意重合部分面积的处理对于由规则几何体切割得到的几何体,注意增加部分的表面面积的计算考点二几何体的体积例高考天津卷个几何体的三视图如图所示单位,则该几何体的体积为天津模拟已知个棱长为的正方体,被个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是解析该几何体是个组合体,上半部分是个圆锥,下半部分是个圆柱因为圆锥,圆柱,所以该几何体体积根据三视图,我们先画出其直观图,几何体由正方体切割而成,即正方体截去个棱台如图所示其中正方体棱长为故所求几何体体积为答案反思归纳求解几何体体积的策略及注意问题与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系计算柱锥台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高注意求体积的些特殊方法分割法补体法转化法等,它们是解决些不规则几何体体积计算常用的方法,应熟练掌握注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征即时训练高考北京卷四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为如图,正方体的棱长为分别为线段,上的点,则三棱锥的体积为解析由三视图可知直观图是个底面为边长等于的正方形,高为的四棱锥,由棱锥的体积公式得四棱锥,平面,平面,到平面的距离等于到平面的距离即所以,所以该几何体体积根据三视图,我们先画出其直观图,几何体由正方体切割而成,即正方体截去个棱台如图所示其中正方体棱长为故所求几何体体积为答案反思归纳求解几何体体积的策略及注意问题与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系计算柱锥台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高注意求体积的些特殊方法分割法补体法。

5、算体积的几何体计算旋转体的侧面积时,般采用转化思想解决,即将侧面展开化为平面图形求解解决与球有关的切接问题的关键是充分利用几何体的特征尤其是对称性寻找球心及半径,有时可构造长正方体简化运算求组合体的表面积时注意衔接部分的面积问题已知三视图求几何体的表面积与体积时,要准确还原几何体助学微博多维审题拓思维明思路求空间几何体体积的问题典例天津模拟如图所示,已知分别是棱长为的正方体的棱的中点,则四棱锥的体积为〚审题〛视角先求出四棱锥的高及其底面积,再利用公式求解视角二将四棱锥的体积转化为三棱锥与体积之和求解解析法连接,交于点,连接,过作⊥于,⊂平面且平面,平面到平面的距离就是到平面的距离平面⊥平面,⊥平面,即为棱锥的高,法二连接,设到平面的距离为,到平面的距离为,则由题意得,答案点评几何体的体积不易利用公式直接求解时,常用分割或补形的方法,将其转化为几个规则几何体,再进步求解即时训练如图,在长方体中,则四棱锥的体积为解析法连接交于,图略在长方体中,且⊥又⊥底面,⊥又∩,⊥平面,为四棱锥的高且矩形,法二连接图略,知⊥平面,⊥平面,答案第节空间几何体的表面积与体积最新考纲了解球棱柱棱锥棱台的表面积和体积的计算公式编写意图空间几何体的表面积和体积是高考重点考查的内容,常常与三视图结合在起考查,难度不大本节主要内容是几何体表面积和体积的计算,几何体表面距离的最值问题及翻折问题,重点突破了已知三视图求表面积体积问题及多面体与球相接切问题,体现了割补法在表面积体积计算中的应用考点突破多维审题夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理空间几何体的表面积和体积公式如下见附表质疑探究圆柱圆锥圆台的侧面积公式是如何导出的提示将其侧面展开利用平面图形面积公式求解质疑探究将。

6、,所以该几何体体积根据三视图,我们先画出其直观图,几何体由正方体切割而成,即正方体截去个棱台如图所示其中正方体棱长为故所求几何体体积为答案反思归纳求解几何体体积的策略及注意问题与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系计算柱锥台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高注意求体积的些特殊方法分割法补体法转化法等,它们是解决些不规则几何体体积计算常用的方法,应熟练掌握注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征即时训练高考北京卷四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为如图,正方体的棱长为分别为线段,上的点,则三棱锥的体积为解析由三视图可知直观图是个底面为边长等于的正方形,高为的四棱锥,由棱锥的体积公式得四棱锥,平面,平面,到平面的距离等于到平面的距离即所以答案与球有关的表面积体积问题考点三例高考新课标全国卷Ⅰ如图,有个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高,将个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为,如果不计容器的厚度,则球的体积为辽宁大连模拟若个正四面体的表面积为,其内切球的表面积为,则解析设球半径为,根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为,球心到截面圆圆心的距离为,所以由,得所以球的体积为故选设正四面体棱长为,则正四面体的表面积为,正四面体高,由知因此内切球的表面积为,则答案反思归纳解决与球有关问题的关键是球心及球半径,在球中球心与截面圆圆心的连线截面圆圆心与截面圆周上点该点与球心的连线构成个直角三角形解决多面体或旋转体的外接球内切球问题的关键是确定球心在多面体或旋转体中的位置,找到球半径或直径与几何体相关元素之间的关系有时将多面体补形为正长方体再求解即时训练北京东城模。

参考资料：

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