1、由正方体的性质可以得到，与的夹角为，与的夹角为所以向量与的夹角为连接，分别是的中点，所以，又，因此向量与共线反向，其夹角为对于平行四边形，图中的五个向量中各个向量之间的关系如何在图中画出平行四边形的个法向量分析分析图中五个向量的关系，要看它们是否相等相反或平行作平面的法向量，只要作向量，使之垂直于平面内两个相交向量即可法向量解析五个向量都在个平面内，所以是共面向量其中向量与长度相等且方向相同，所以与相等，向量与大小相等且方向相反，所以向量与相反，两向量也平行法向量如图所示如图，三棱锥中，⊥平面，⊥，且，为的中点求证是平面的法向量证明⊥平面，⊥又⊥，∩，⊥平面平面，⊥，为的中点，⊥由知，⊥平面，所以是平面的法向量方向向量已知四棱锥的底面是平行四边形，设平面∩平面，如图，求证向量是的个方向向量解析，平面，平面，平面，又平面。
2、既有大小又有方向的量，如果把问题的研究范围限定在同个平面上，称之为平面向量如果把问题的研究范围扩大到空间中，称之为空间向量即空间中的量叫作空间向量既有大小又有方向空间向量的表示与平面向量样，空间向量也有两种表示法种是用有向线段表示，叫作向量的起点，叫作向量的终点种用表示，也可用表示空间向量的长度和夹角与平面向量样，空间向量的也叫作向量的长度或模，用或表示大小如图所示，过空间任意点作向量的相等向量和，则叫作向量的夹角，记作规定当，时，向量与垂直，记作⊥当，时，向量与平行，记作由定义可知，两个向量的夹角是唯确定的，且，或向量与直线直线的方向向量如图，是空间直线，是直线上任意两点，则称为直线的方向向量向量与平面平面的法向量如果直线垂直于平面，那么把叫作平面的法向量共面向量在空间中，如果，则称这个向量平行于该平面平行于同平面的组向。
3、量与满足，则与平行答案解析单位向量模为，但方向不同，不能确定共线，不正确若，则与只有模相等，方向不确定，因此不正确若且和同向，则，因此不正确由，知与是相反向量，因此与平行直线的方向向量与直线上任意向量的夹角是答案或解析由直线的方向向量的定义易得在正四面体中，与的夹角为分析与的夹角的大小和与的夹角的大小是否相同向量夹角的顶点与向量起点有什么联系答案解析根据定义，大小不同两向量夹角的顶点是它们共同的起点课堂典例讲练向量的有关概念给出下列五个命题两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同若空间两向量满足，则在正方体中必有若空间向量满足则空间中任意两个单位向量必相等其中正确命题的个数为解析当空间两个向量的起点终点分别相同时，这两个向量必相等，但两个相等向量的起点不定相同，终点也不定相同，故错根据向量相等的定义，要保证两向量相等。
4、于该直线给定空间中任意点和非零向量，可以确定唯条过点且平行于向量的直线预习效果检测若空间向量与向量不相等，则与定有不同的方向有不相等的模不可能是平行向量不可能都是零向量答案解析不相等，可能方向不同，也可能模不相等，所以都不正确，只有正确若命题知识要点解读空间向量是平面向量概念的拓展，只有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，它的起点可以是空间内的任意点，只要保证它的大小和方向不改变，它是可以自由平移的，与起点无关空间中的所有向量的方向不都是定的，例如零向量的方向就不确定，可以认为是任意方向与向量相反的向量是个向量，它的方向和的方向相反，大小和的大小相等与向量相等的向量，它的方向和的方向相同，大小和的大小相等能平移到同个平面内的向量为共面向量由于向量可以根据需要进行平移，因此空间中任意两个向量都是共面向量，但空间中任意三。
5、不相等，则与定有不同的方向有不相等的模不可能是平行向量不可能都是零向量答案解析不相等，可能方向不同，也可能模不相等，所以都不正确，只有正确若命题命题四边形是平行四边形，则是的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分又不必要条件答案解析由四边形是平行四边形，可得但是由，只能说明与是相等向量，与所在的直线可能平行或共线，并不定构成平行四边形，所以是的必要不充分条件下列有关向量的命题是真命题的是所有的单位向量的模为且共线若，则这两个向量的长度相等且方向相反若向量满足且与同向，则若两个非零向量与满足，则与平行答案解析单位向量模为，但方向不同，不能确定共线，不正确若，则与只有模相等，方向不确定，因此不正确若且和同向，则，因此不正确由，知与是相反向量，因此与平行直线的方向向量与直线上任意向量的夹角是答案或解析由直线的方向向量的定义。
6、叫作共面向量不共面向量不平行于同平面的组向量叫作不共面向量直线的方向向量个向量所在直线平行于个平面知识要点解读空间向量是平面向量概念的拓展，只有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，它的起点可以是空间内的任意点，只要保证它的大小和方向不改变，它是可以自由平移的，与起点无关空间中的所有向量的方向不都是定的，例如零向量的方向就不确定，可以认为是任意方向与向量相反的向量是个向量，它的方向和的方向相反，大小和的大小相等与向量相等的向量，它的方向和的方向相同，大小和的大小相等能平移到同个平面内的向量为共面向量由于向量可以根据需要进行平移，因此空间中任意两个向量都是共面向量，但空间中任意三个向量不定共面平面的法向量不唯，但它们都是平行的平行于个平面的向量垂直于这个平面的法向量与平行的任意非零向量也是直线的方向向量直线的方向向量平行。
7、∩平面，，是的方向向量总结反思证明个向量是条直线的方向向量，只要证直线与直线平行即可若要证明个向量是个平面的法向量，只要证明直线垂直于平面即可都可转化为已学过的空间几何问题如图，在正方体中，分别给出直线的个方向向量分别给出平面平面的个法向量解析直线的方向向量可以是中的任个直线的方向向量可以是中的任个平面的法向量可以是中的任个平面的法向量可以是中的任个易混易错辨析误解或或正解下列命题中正确的是若与共线，与共线，则与共线向量共面即它们所在的直线共面零向量没有确定的方向若，则存在唯的实数，使总结反思在选项中，若，则结论不成立在选项中，向量共面与直线共面的不同点在于三个向量中的个向量所在直线与另两个向量所在平面平行时，三个向量所在的直线虽然不共面，但这三个向量是共面的选项中，若时，有无数个满足等式，而不是唯个若，，则不存在使成才之。
8、数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版选修空间向量与立体几何第二章向量或矢量，最初被应用于物理学很多物理量如力速度位移以及电场强度磁感应强度等都是向量“向量”词来自力学解析几何中的有向线段最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿从数学发展史来看，历史上很长段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到世纪末世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有套优良运算通性的数学体系世纪末，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算，把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样进入了数学但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同平面上的力。
9、知识要点解读空间向量是平面向量概念的拓展，只有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，它的起点可以是空间内的任意点，只要保证它的大小和方向不改变，它是可以自由平移的，与起点无关空间中的所有向量的方向不都是定的，例如零向量的方向就不确定，可以认为是任意方向与向量相反的向量是个向量，它的方向和的方向相反，大小和的大小相等与向量相等的向量，它的方向和的方向相同，大小和的大小相等能平移到同个平面内的向量为共面向量由于向量可以根据需要进行平移，因此空间中任意两个向量都是共面向量，但空间中任意三个向量不定共面平面的法向量不唯，但它们都是平行的平行于个平面的向量垂直于这个平面的法向量与平行的任意非零向量也是直线的方向向量直线的方向向量平行于该直线给定空间中任意点和非零向量，可以确定唯条过点且平行于向量的直线预习效果检测若空间向量与向量。
10、易得在正四面体中，与的夹角为分析与的夹角的大小和与的夹角的大小是否相同向量夹角的顶点与向量起点有什么联系答案解析根据定义，大小不同两向量夹角的顶点是它们共同的起点课堂典例讲练向量的有关概念给出下列五个命题两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同若空间两向量满足，则在正方体中必有若空间向量满足则空间中任意两个单位向量必相等其中正确命题的个数为解析当空间两个向量的起点终点分别相同时，这两个向量必相等，但两个相等向量的起点不定相同，终点也不定相同，故错根据向量相等的定义，要保证两向量相等，即总结反思求两向量夹角时，注意只有将两向量平移至起点相同处，得到的夹角才是所求如第问中，将向量平移至处，由于，的起点不相同，所以得到的为应求两向量夹角的补角同学们注意体会！如图，分别是棱长为的正方体的棱的中点，求向量与的夹角向量与的夹角解。
11、向量不定共面平面的法向量不唯，但它们都是平行的平行于个平面的向量垂直于这个平面的法向量与平行的任意非零向量也是直线的方向向量直线的方向向量平行于该直线给定空间中任意点和非零向量，可以确定唯条过点且平行于向量的直线预习效果检测若空间向量与向量不相等，则与定有不同的方向有不相等的模不可能是平行向量不可能都是零向量答案解析不相等，可能方向不同，也可能模不相等，所以都不正确，只有正确若命题命题四边形是平行四边形，则是的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分又不必要条件答案解析由四边形是平行四边形，可得但是由，只能说明与是相等向量，与所在的直线可能平行或共线，并不定构成平行四边形，所以是的必要不充分条件下列有关向量的命题是真命题的是所有的单位向量的模为且共线若，则这两个向量的长度相等且方向相反若向量满足且与同向，则若两个非零向。
12、作用于同物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数包括数量部分和向量部分，以代表空间的向量他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于世纪年代各自完成的他们提出，个向量不过是四元数的向量部分，但不于任何四元数他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积，并把向量代数推广到变向量的向量微积分从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了套优良的数学工具链接生活从平面向量到空间向量第二章知识要点解读预习效果检测课堂典例讲练课时作业易混易错辨析课前自主预习课前自主预习空间向量的概念向量是。
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高中数学2.1从平面向量到空间向量课件北师大版选修2_1