1、为锐角，所以是异面直线与所成的角，因为，在中，所以，在中，因为所以，在中，，所以异面直线与所成的角的正切值是假设存在点，使得它到平面的距离为设，则，由得，在中所以由得解得，所以存在点满足题意，此时解法同解法以为坐标原点，的方向分别为轴轴轴的正方向，建立空间直角坐标系依题意，易得，所以，所以异面直线与所成的角的余弦是假设存在点，使得它到平面的距离为由知,设平面的法向量为，则，所以，即，取，则平面的个法向量为设由，得，解得或舍去，此时所以存在点满足题意，此时易混易错辨析冀州高二检测在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，⊥底面求点到平面的距离分析由是边长为的菱形，⊥平面可知如何建系，而由可以求出所涉及的点的坐标误解建立空间直角坐标系后，坐标轴上点的坐标较易求，而点不在坐标轴上，若求错点坐标，会导致后面求解结果错误向量是以平面内点为起点，点为终点的。

2、离求平面到平面的距离时，般也是转化成点到面的距离求两平行平面间的距离用公式求，为两平行平面的个法向量，分别为两平面上的任意两点转化为点面距或线面距求解预习效果检测已知向量与直线垂直，且经过点，则点到直线的距离为答案已知向量为平面的法向量，点在内，则,到的距离为答案解析，点到平面的距离为如右图，空间四边形的各边及两对角线的长均为，则点到平面的距离是答案解析设点是点在平面上的射影，分别连结，如图由于，所以它们在平面上的射影也都相等，所以点是的中心因为，所以的高为所以在中即点到平面的距离为已知在长方体中，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离是答案解析如图，建立空间直角坐标系，则,设平面的法向量为，则，解得，且不妨设，设点到平面的距离为，则在棱长为的正方体中，是的中点，则点到平面的距离是答案课堂典例讲练如图，在空间直角坐标系中有长方体求点到直线的。

3、，令，得又，点到平面的距离总结反思向量法求点到平面的距离的关键步骤求出平面的法向量确定该点与平面内点连线对应的向量计算该向量在平面法向量上的射影取射影的绝对值即为要求的点到平面的距离如图，正方体的棱长为，是底面的中心，则点的平面的距离为答案四棱锥中，四边形为正方形，⊥平面分别为的中点应用向量求直线与平面的距离证明平面求到平面的距离分析建立恰当的空间直角坐标系，写出相应点的坐标，向量用与线性表示，从而证明线面平行利用点到平面的距离，可求得线面距证明以为原点，建立如图所示的坐标系，则平面又∉平面，平面平面，到平面的距离等于点到平面的距离设平面的个法向量为，则⇒，令，得点到平面的距离则到平面的距离为总结反思求线面距的基本策略求直线与平面的距离，前提是直线与平面平行，故可转化为点面距，为此找出平面的个法向量和该点与平面内点连线的对应向。

4、，⊥平面，⊥，设点到平面距离为由，得解得点到平面的距离为解法三向量法如图所示，以为原点，分别以所在的直线为轴轴轴建立坐标系，则,设平面的法向量为，则⇒⇒，令，得又，点到平面的距离总结反思向量法求点到平面的距离的关键步骤求出平面的法向量确的中心因为，所以的高为所以在中即点到平面的距离为已知在长方体中，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离是答案解析如图，建立空间直角坐标系，则,设平面的法向量为，则，解得，且不妨设，设点到平面的距离为，则在棱长为的正方体中，是的中点，则点到平面的距离是答案课堂典例讲练如图，在空间直角坐标系中有长方体求点到直线的距离分析可利用坐标向量法求出点到直线的距离解析画出空间直角坐标系如图，求点到直线的距离因为，所以计算直线的方向向量找到直线上点求点到直线上点的向量在上的投影为所以。

5、等积法求解点面距解析解法转化法连接，交于点，设与交于，连接分别为的中点，平面，平面点到平面的距离即为点到平面的距离是正方形，⊥，⊥⊥平面，又平面，⊥，⊥平面面，平面⊥平面过点作⊥于，则⊥平面，因此是点到平面的距离，也等于点到平面的距离正方形边长为，且⊥，点到平面的距离为解法二等体积法连接可知，为的中点连接交于，连接，⊥，⊥，⊥平面，⊥，设点到平面距离为由，得解得点到平面的距离为解法三向量法如图所示，以为原点，分别以所在的直线为轴轴轴建立坐标系，则,设平面的法向量为，则⇒⇒，令，得又，点到平面的距离总结反思向量法求点到平面的距离的关键步骤求出平面的法向量确定该点与平面内点连线对应的向量计算该向量在平面法向量上的射影取射影的绝对值即为要求的点到平面的距离如图，正方体的棱长为，是底面的中心，则点的平面的距离为答案四棱锥中，四边形。

6、离分析可利用坐标向量法求出点到直线的距离解析画出空间直角坐标系如图，求点到直线的距离因为，所以计算直线的方向向量找到直线上点求点到直线上点的向量在上的投影为所以点到直线的距离为已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为答案解析，点到直线的距离为已知正方形的边长为，分别是的中点，⊥平面，且，求点到平面的距离分析在用向量方法求证垂直问题或求距离时，可以建立空间直角坐标系，通过坐标运算求解，也可直接通过向量运算进行求解还可利用等积法求解点面距解析解法转化法连接，交于点，设与交于，连接分别为的中点，平面，平面点到平面的距离即为点到平面的距离是正方形，⊥，⊥⊥平面，又平面，⊥，⊥平面面，平面⊥平面过点作⊥于，则⊥平面，因此是点到平面的距离，也等于点到平面的距离正方形边长为，且⊥，点到平面的距离为解法二等体积法连接可知，为的中点连接交于，连接，⊥，⊥。

7、量，是求点到平面距离的个重要前提，若把的坐标求错，会导致求解结果错误平面的法向量，若向量的坐标求错，会直接导致结果错误正解在平面内作⊥，交于点，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，所以，，设平面的个法向量为，则，得解得取，则设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为迷津点拨合理建系在利用向量处理立体几何问题时，要从题目的已知条件分析，合理地建立空间直角坐标系，特别注意线的垂点，直角等条件，如本例中由⊥底面及底面是菱形，可以知道如何建立坐标系求解坐标时要合理利用已知条件在利用向量处理立体几何时，建系固然重要，但建系后正确求出点的坐标更是关键，故解题时要充分观察利用已知条件，准确地求出所需的点的坐标，特别是些不在坐标轴上的点的坐标，如本例。

8、中的点的坐标成才之路数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版选修空间向量与立体几何第二章距离的计算第二章知识要点解读预习效果检测课堂典例讲练课时作业易混易错辨析课前自主预习课前自主预习点到直线的距离因为直线和直线外点确定个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间平面内点到直线的距离问题如图，设是过点平行于向量的直线，是直线外定点作⊥，垂足为，则点到直线的距离等于线段的长度，而向量在上的投影的大小等于线段的长度，所以根据勾股定理有点到直线的距离点到面的距离如图，设是过点垂直于向量的平面，是平面外定点作⊥，垂足为，则点到平面的距离等于线段的长度而向量在上的投影的大小等于线段的长度，所以点到平面的距离知识要点解读点线距已知点和个向量确定的直线，那么空间点到直线的距离的算法步骤为计算斜向量计算在向量上的投影根据勾股定理，计算已知由几何条件确定的直线，那么空间点到直。

9、的中心因为，所以的高为所以在中即点到平面的距离为已知在长方体中，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离是答案解析如图，建立空间直角坐标系，则,设平面的法向量为，则，解得，且不妨设，设点到平面的距离为，则在棱长为的正方体中，是的中点，则点到平面的距离是答案课堂典例讲练如图，在空间直角坐标系中有长方体求点到直线的距离分析可利用坐标向量法求出点到直线的距离解析画出空间直角坐标系如图，求点到直线的距离因为，所以计算直线的方向向量找到直线上点求点到直线上点的向量在上的投影为所以点到直线的距离为已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为答案解析，点到直线的距离为已知正方形的边长为，分别是的中点，⊥平面，且，求点到平面的距离分析在用向量方法求证垂直问题或求距离时，可以建立空间直角坐标系，通过坐标运算求解，也可直接通过向量运算进行求解还可利用。

10、为正方形，⊥平面分别为的中点应用向量求直线与平面的距离证明平面求到平面的距离分析建立恰当的空间直角坐标系，写出相应点的坐标，向量用与线性表示，从而证明线面平行利用点到平面的距离，可求得线面距证明以为原点，建立如图所示的坐标系，则平面又∉平面，平面平面，到平面的距离等于点到平面的距离设平面的个法向量为，则⇒，令，得点到平面的距离则到平面的距离为总结反思求线面距的基本策略求直线与平面的距离，前提是直线与平面平行，故可转化为点面距，为此找出平面的个法向量和该点与平面内点连线的对应向量为中点求证⊥平面求异面直线与所成角的正切值或余弦值线段上是否存在点，使得它到平面的距离为若存在，求出的值若不存在，请说明理由解析解法证明在中为中点，所以⊥，又侧面⊥底面，平面∩平面，平面，所以⊥平面连结，在直角梯形中，有且，所以四边形是平行四边形，所以由知，⊥，。

11、点到直线的距离为已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为答案解析，点到直线的距离为已知正方形的边长为，分别是的中点，⊥平面，且，求点到平面的距离分析在用向量方法求证垂直问题或求距离时，可以建立空间直角坐标系，通过坐标运算求解，也可直接通过向量运算进行求解还可利用等积法求解点面距解析解法转化法连接，交于点，设与交于，连接分别为的中点，平面，平面点到平面的距离即为点到平面的距离是正方形，⊥，⊥⊥平面，又平面，⊥，⊥平面面，平面⊥平面过点作⊥于，则⊥平面，因此是点到平面的距离，也等于点到平面的距离正方形边长为，且⊥，点到平面的距离为解法二等体积法连接可知，为的中点连接交于，连接，⊥，⊥，⊥平面，⊥，设点到平面距离为由，得解得点到平面的距离为解法三向量法如图所示，以为原点，分别以所在的直线为轴轴轴建立坐标系，则,设平面的法向量为，则⇒⇒。

12、线的距离的算法步骤为找到直线的方向向量在直线上任取点计算斜向量计算在向量上的投影计算点到直线的距离点到直线的距离的计算方法有找垂线段并求其长利用等面积法点面距已知点和个过点且垂直向量的平面，那么空间点到平面的距离的算法步骤为计算斜向量计算在向量上的投影计算点到平面的距离已知由几何条件确定的平面，那么空间点到平面的距离的算法步骤为找到平面的法向量在平面上任取点计算在向量上的投影计算点到平面的距离点到面的距离的计算方法有确定面的垂线段利用等积变换法直线到平面的距离和平面到平面的距离直线到平面的距离当直线与平面平行时，直线上任点到该平面的距离，叫直线到平面的距离求直线到平面的距离时，般转化为点到面的距离求直线到平面的距离设直线平面，，，是平面的法向量，过作⊥，垂足为，则，直线到平面的距离平面到平面的距离当两平面平行时，个平面内任点到另平面的距离，叫平面到平面的距。

参考资料：

[1]人教版高中语文课件1《沁园春长沙》课件（共34张PPT）（第34页，发表于2022-06-24 20:30）

[2]人教版高中语文必修一课件8《小狗包弟》（共39张PPT）（第39页，发表于2022-06-24 20:30）

[3]人教版高中语文必修一课件4《烛之武退秦师》（共31张PPT）（第31页，发表于2022-06-24 20:30）

[4]人教版高中语文必修一9《记梁任公先生的一次演讲》课件（共41张PPT）（第41页，发表于2022-06-24 20:30）

[5]人教版高中语文必修四第四单元第11课《廉颇蔺相如列传》课件（共23张PPT）（第23页，发表于2022-06-24 20:30）

[6]人教版高一语文必修三2.6琵琶行课件（共34张PPT）（第34页，发表于2022-06-24 20:30）

[7]人教版高一语文必修二3.10游褒禅山记课件（共24张PPT）（第24页，发表于2022-06-24 20:30）

[8]人教版高一语文必修二2.7《短歌行》课件（共18张PPT）（第18页，发表于2022-06-24 20:30）

[9]人教版高一语文必修二2.6孔雀东南飞（共40张PPT）（第40页，发表于2022-06-24 20:30）

[10]人教版高一语文必修二2.4《诗经》两首课件（共33张PPT）（第33页，发表于2022-06-24 20:30）

[11]人教版高一语文必修二1.1荷塘月色（共79张PPT）（第79页，发表于2022-06-24 20:30）

[12]人教版高二语文必修五2.6逍遥游课件（共42张PPT）（第42页，发表于2022-06-24 20:30）

[13]人教版必修二第五章第四节5.4圆周运动（共26张PPT）（第25页，发表于2022-06-24 20:30）

[14]人教版必修二第五章第六节5.6向心力（共18张PPT）（第18页，发表于2022-06-24 20:30）

[15]人教版必修二第七章第十节7.10能量守恒定律与能源（共21张PPT）（第21页，发表于2022-06-24 20:30）

[16]人教版必修二第七章第七节7.7动能和动能定理（共20张PPT）（第20页，发表于2022-06-24 20:30）

[17]人教版必修二第七章第六节7.6探究功与速度变化的关系（共15张PPT）（第15页，发表于2022-06-24 20:30）

[18]人教版必修二第七章第八节7.8机械能守恒定律（共23张PPT）（第22页，发表于2022-06-24 20:30）

[19]人教版必修二第六章第一节万有引力与航天6.1ppt（共18张PPT）（第18页，发表于2022-06-24 20:30）

[20]鲁人版语文唐诗宋词选读《13水龙吟》课件（共28张PPT）（第28页，发表于2022-06-24 20:30）