1、令，则且到直线的距离为设的面积为，所以当且仅当时，等号成立故面积的最大值为解答圆锥曲线的定值定点问题，从三个方面把握从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关直接推理计算，在整个过程中消去变量，得定值在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法几何法若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决代数法若题目的条件和结论能体现种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值。
2、解，对考生的代数恒等变形能力计算能力等有较高的要求真题感悟江苏卷如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左右焦点分别为，已知点，和，都在椭圆上，其中为椭圆的离心率求椭圆的方程设，是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点ⅰ若，求直线的斜率ⅱ求证是定值解由题设知由点，在椭圆上，得，解得，于是，又点，在椭圆上，所以，即，解得因此，所求椭圆的方程是由知又直线与平行，所以可设直线的方程为，直线的方程为设，由，得，解得，故同理，ⅰ由得，解得，注意到，故所以直线的斜率为ⅱ证明因为直线与平行，所以，于是，故由点在椭圆上知。
3、且仅当,即时等号成立，且满足所以当的面积最大时，的方程为或探究提高若个函数式的分母中含有次式或二次式分子中含有次式或二次式的二次根式，则可以通过换元的方法把其转化为分母为二次式分子为次式的函数式，这样便于求解此函数式的最值微题型求几何量个参数的取值范围例青岛模拟已知椭圆经过点其离心率为求椭圆的方程设直线与椭圆相交于点，两点，以线段，为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求的取值范围解由已知可得，所以又点，在椭圆上，所以由以上两式联立，解得，故椭圆的方程为当时在椭圆上，解得，所以当时，由。
4、与范围问题时常从以下五个方面考虑利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围利用基本不等式求出参数的取值范围利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围第讲圆锥曲线的综合问题高考定位圆锥曲线的综合问题包括探索性问题定点与定值问题范围与最值问题等，般试题难度较大这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程不等式平面向量等诸多知识以及数形结合分类讨论等多种数学思想方法进行求。
5、系面积型求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为个参数的函数关系，用函数方法求解热点定点与定值问题微题型定点的探究与证明例苏锡常镇模拟如图，以原点为圆心的两个同心圆的半径分别为和，过原点的射线交大圆于点，交小圆于点，在轴上的射影为动点满足且求点的轨迹方程过点，作斜率分别为，的直线与点的轨迹分别交于，两点求证直线过定点解由且可知，三点共线且⊥过点作⊥，垂足为，设，因为由相似比可知，因为在圆上，所以，即，所以点的轨迹方程为证明设依题意，由，得，解得或，所以，，所以。
6、积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为个参数的函数关系，用函数方法求解热点定点与定值问题微题型定点的探究与证明例苏锡常镇模拟如图，以原点为圆心的两个同心圆的半径分别为和，过原点的射线交大圆于点，交小圆于点，在轴上的射影为动点满足且求点的轨迹方程过点，作斜率分别为，的直线与点的轨迹分别交于，两点求证直线过定点解由且可知，三点共线且⊥过点作⊥，垂足为，设，因为由相似比可知，因为在圆上，所以，即，所以点的轨迹方程为证明设依题意，由，得，解得或，所以，，所以，因为，所以。
7、左焦点为，又点，在椭圆上故所求椭圆方程为如图所示设连接由相切条件知同理可求所以为定值探究提高定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现训练江苏高考命题原创卷如图，过点，的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于，和，两点，过点的直线与椭圆交于另点，并与轴交于点，直线与直线交于点当直线过椭圆的右焦点时，求线段的长当点异于点时，求证为定值解由已知得得，所以椭圆的方程为椭圆的。
8、圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系该问题主要有以下三种情况距离型若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解斜率截距型般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系面积型求面。
9、，因为，所以，用替代中的，同理可得，显然，关于原点对称，所以直线必过原点探究提高如果要解决的问题是个定点问题，而题设条件又没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考由于这个定点对符合要求的些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，明确解决问题的目标，然后进行推理探究，这种先根据特殊情况确定定点，再进行般性证明的方法就是由特殊到般的方法微题型定值的探究与证明例南京盐城模拟已知椭圆的右焦点为点，在椭圆上求此椭圆方程点，在圆上，在第象限，过作圆的切线交椭圆于，两点，问是否为定值如果是，求出定值如不是，说明理由解右焦点为，。
10、消去并化简整理，得设点的坐标分别为由题意得，为上述元二次方程的两根，解方程得，则，由于点在椭圆上，所以从而，化简得所以因为，所以，即故综上，所求的取值范围是，探究提高求的取值范围的关键是用待定系数，表示其大小，找到和的大小关系式后利用已知条件求的取值范围本题利用了不等式的性质，也可以利用函数导数来求范围训练浙江卷已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称求实数的取值范围求面积的最大值为坐标原点解由题意知，可设直线的方程为由消去，得因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以，将中点，代入直线方程解得，由得或。
11、右焦点为此时直线的方程为由，解得所以证明当直线与轴垂直时，与题意不符，所以直线与轴不垂直，即直线的斜率存在设直线的方程为，联立直线与直线的方程解得即，而所以，所以为定值热点二最值与范围问题微题型求线段长度三角形面积的最值例新课标全国Ⅰ卷已知点椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点求的方程设过点的动直线与相交于，两点当的面积最大时，求的方程解设由条件知，得又，所以，故的方程为当⊥轴时不合题意，故设将代入，得当，即时从而又点到直线的距离所以的面积设，则，因为,当。
12、，从而同理因此，又由知，所以因此，是定值考点整合定值定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程数量积比例关系等，这些直线方程数量积比例关系不受变化的量所影响的个点，就是要求的定点解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程数量积比例关系等，根据等式的恒成立数式变换等寻找不受参数影响的量圆锥曲线中最值问题主要是求线段长度的最值三角形面积的最值等椭圆中的最值分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上的任意点，为短轴的个端点，为坐标原点，则有，双曲线中的最值分别为双曲线，的左右焦点，为双曲线上的任点，为坐标原点，则有求解。
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