1、线平分弧直线平分弧想想如果将题设和结论中个条件适当互换，情况会怎样平分弦不是直径直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧弦垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对两条弧平分弦所对条弧直径，垂直平分弦并且平分弦所对另条弧推论如图，为直径，⊥，⊥，你能得到什么结论弧弧圆两条平行弦所夹弧相等推论解析如图所示，连接，则利用勾股定理求得,因为⊥于点，所以,所以答案如图，为弦，半径为，⊥于点，交于点，且，则弦长是如图，已知直径⊥弦于点，下列结论中定正确是已知半径为,弦弦心距为,则长是如图，过点。圆心在等腰直角内部，，则半径为解析选延长交于点，连接，根据对称性知⊥，则又为等腰直角三角形，，则已知如图，在以为圆心两个同心圆中，大圆弦交小圆于，两点求证证明过作⊥，垂足为，则，所以，通过本课时学习，需要我们理解圆轴对称性及垂径定理推证过程能初步应用垂径。

2、将题设和结论中个条件适当互换，情况会怎样平分弦不是直径直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧要辅助线跟踪训练解析提示作垂直于，连接答案画图叙述垂径定理，并说出定理题设和结论题设结论直线经过圆心直线垂直弦直线平分弦直线平分弧直线平变式归纳如图，为弦延长线上点，求半径关于弦问题，常常需要过圆心作弦垂线段，这是条非常重得变式有什么关系变式依然成立吗变式,变式前三个图均不能，仅第四个图可以！定理辨析例如图，已知在圆中，弦长为㎝，圆心到距离为㎝，求圆半径。例题解根据题意得，⊥在中，根据勾股定理弧弧垂径定理垂直于弦直径平分这条弦，并且平分弦所对两条弧垂径定理证明猜想判断下列图形，能否使用垂径定理解析定理中两个条件直径垂直于弦缺不可，故，弧弧弧弧弧弧已知在中，是直径，是弦，⊥，垂足为求证，弧弧，吗想想将个圆沿着任条直径对折，两侧半圆会有什么关。

3、想将个圆沿着任条直径对折，两侧半圆会有什么关系解析圆是轴对称图形，任何条直径所在直线都是它对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠观察右图，有什么等量关系，弧弧，弧弧弧弧弧弧已知在中，是直径，是弦，⊥，垂足为求证，弧弧，弧弧垂径定理垂直于弦直径平分这条弦，并且平分弦所对两条弧垂径定理证明猜想判断下列图形，能否使用垂径定理解析定理中两个条件直径垂直于弦缺不可，故前三个图均不能，仅第四个图可以！定理辨析例如图，已知在圆中，弦长为㎝，圆心到距离为㎝，求圆半径。例题解根据题意得，⊥在中，根据勾股定理得变式有什么关系变式依然成立吗变式,变式变式归纳如图，为弦延长线上点，求半径关于弦问题，常常需要过圆心作弦垂线段，这是条非常重要辅助线跟踪训练解析提示作垂直于，连接答案画图叙述垂径定理，并说出定理题设和结论题设结论直线经过圆心直线垂直弦直线平分弦直。

4、弦长是如图，已知直径⊥弦于点，下列结论中定正确是已知半径为,弦弦心距为,则长是如图，过点。圆心在等腰直角内部，，则半径为解析选延长交于点，连接，根据对称性知⊥，则又为等腰直角三角形，，则已知如图，在以为圆心两个同心圆中，大圆弦交小圆于，两点求证证明过作⊥，垂足为，则，所以，通过本课时学习，需要我们理解圆轴对称性及垂径定理推证过程能初步应用垂径定理进行计算和证明掌握垂径定理推论,明确理解“知二得三”意义利用垂径定理及其推论解决相应数学问题要利用时间，思考下天之中做了些什么，是正号还是负号，倘若是，则进步倘若是，就得吸取教训，采取措施季米特洛夫，⊥，你能得到什么结论弧弧圆两条平弦垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对两条弧平分弦所对条弧直径，垂直平分弦并且平分弦所对另条弧推论如图，为直径，⊥，⊥，你能得到什么结论弧弧分弧想想如果。

5、⊥，则又为等腰直角三角形，，则已知如图，在以为圆心两个同心圆中，大圆弦交小圆于，两点求证证明过作⊥，垂足为，则，所以，通过本课时学习，需要我们理解圆轴对称性及垂径定理推证过程能初步应用垂径定理进行计算和证明掌握垂径定理推论,明确理解“知二得三”意义利用垂径定理及其推论解决相应数学问题要利用时间，思考下天之中做了些什么，是正号还是负号，倘若是，则进步倘若是，就得吸取教训，采取措施季米特洛夫垂直于弦直径理解圆轴对称性及垂径定理推证过程能初步应用垂径定理进行计算和证明进步培养学生观察问题分析问题和解决问题能力通过圆对称性，培养学生对数学审美观，并激发学生对数学热爱问题你知道赵州桥吗它是多年前我国隋代建造石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧结晶，它主桥拱是圆弧形，它跨度弧所对弦长为，拱高弧中点到弦距离为，你能求出赵州桥主桥拱半径吗想。

6、定理进行计算和证明掌握垂径定理推论,明确理解“知二得三”意义利用垂径定理及其推论解决相应数学问题要利用时间，思考下天之中做了些什么，是正号还是负号，倘若是，则进步倘若是，就得吸取教训，采取措施季米特洛夫垂直于弦直径理解圆轴对称性及垂径定理推证过程能初步应用垂径定理进行计算和证明进步培养学生观察问题分析问题和解决问题能力通过圆对称性，培养学生对数学审美观，并激发学生对数学热爱问题你知道赵州桥吗它是多年前我国隋代建造石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧结晶，它主桥拱是圆弧形，它跨度弧所对弦长为，拱高弧中点到弦距离为，你能求出赵州桥主桥拱半径吗想想将个圆沿着任条直径对折，两侧半圆会有什么关系解析圆是轴对称图形，任何条直径所在直线都是它对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠观察右图，有什么等量关系，弧弧，弧弧弧弧弧弧已知在中，是直径，是弦，⊥，。

7、系解析圆是轴对称图形，任何条直径所在直线都是它对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠观察右图，有什么等量关系，弧弧，并激发学生对数学热爱问题你知道赵州桥吗它是多年前我国隋代建造石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧结晶，它主桥拱是圆弧形，它跨度弧所对弦长为，拱高弧中点到弦距离为，你能求出赵州桥主桥拱半径，就得吸取教训，采取措施季米特洛夫垂直于弦直径理解圆轴对称性及垂径定理推证过程能初步应用垂径定理进行计算和证明进步培养学生观察问题分析问题和解决问题能力通过圆对称性，培养学生对数学审美观垂径定理进行计算和证明掌握垂径定理推论,明确理解“知二得三”意义利用垂径定理及其推论解决相应数学问题要利用时间，思考下天之中做了些什么，是正号还是负号，倘若是，则进步倘若是两点求证证明过作⊥，垂足为，则，所以，通过本课时学习，需要我们理解圆轴对称性及垂径定理。

8、米特洛夫，⊥，你能得到什么结论弧弧圆两条平行弦所夹弧相等推论解析如图所示，连接，则利用勾股定理求得,因为⊥于点，所以,所以答案如图，为弦，半径为，⊥于点，交于点，且，则弦长是如图，已知直径⊥弦于点，下列结论中定正确是已知半径为,弦弦心距为,则长是如图，过点。圆心在等腰直角内部，，则半径为解析选延长交于点，连接，根据对称性知⊥，则又为等腰直角三角形，，则已知如图，在以为圆心两个同心圆中，大圆弦交小圆于，两点求证证明过作⊥，垂足为，则，所以，通过本课时学习，需要我们理解圆轴对称性及垂径定理推证过程能初步应用垂径定理进行计算和证明掌握垂径定理推论,明确理解“知二得三”意义利用垂径定理及其推论解决相应数学问题要利用时间，思考下天之中做了些什么，是正号还是负号，倘若是，则进步倘若是，就得吸取教训，采取措施季米特洛夫以答案如图，为弦。

9、推证过程能初步应用于点，连接，根据对称性知⊥，则又为等腰直角三角形，，则已知如图，在以为圆心两个同心圆中，大圆弦交小圆于，已知半径为,弦弦心距为,则长是如图，过点。圆心在等腰直角内部，，则半径为解析选延长交以答案如图，为弦，半径为，⊥于点，交于点，且，则弦长是如图，已知直径⊥弦于点，下列结论中定正确是，⊥，你能得到什么结论弧弧圆两条平行弦所夹弧相等推论解析如图所示，连接，则利用勾股定理求得,因为⊥于点，所以,所以，⊥，你能得到什么结论弧弧圆两条平行弦所夹弧相等推论解析如图所示，连接，则利用勾股定理求得,因为⊥于点，所以,所以答案如图，为弦，半径为，⊥于点，交于点，且，则弦长是如图，已知直径⊥弦于点，下列结论中定正确是已知半径为,弦弦心距为,则长是如图，过点。圆心在等腰直角内部，，则半径为解析选延长交于点，连接，根据对称性。

10、弦所对另条弧推论如图，为直径，⊥，⊥，你能得到什么结论弧弧圆两条平行弦所夹弧相等推论解析如图所示，连接，则利用勾股定理求得,因为⊥于点，所以,所以答案如图，为弦，半径为，⊥于点，交于点，且，则弦长是如图，已知直径⊥弦于点，下列结论中定正确是已知半径为,弦弦心距为,则长是如图，过点。圆心在等腰直角内部，，则半径为解析选延长交于点，连接，根据对称性知⊥，则又为等腰直角三角形，，则已知如图，在以为圆心两个同心圆中，大圆弦交小圆于，两点求证证明过作⊥，垂足为，则，所以，通过本课时学习，需要我们理解圆轴对称性及垂径定理推证过程能初步应用垂径定理进行计算和证明掌握垂径定理推论,明确理解“知二得三”意义利用垂径定理及其推论解决相应数学问题要利用时间，思考下天之中做了些什么，是正号还是负号，倘若是，则进步倘若是，就得吸取教训，采取措施季。

11、，半径为，⊥于点，交于点，且，则弦长是如图，已知直径⊥弦于点，下列结论中定正确是于点，连接，根据对称性知⊥，则又为等腰直角三角形，，则已知如图，在以为圆心两个同心圆中，大圆弦交小圆于，垂径定理进行计算和证明掌握垂径定理推论,明确理解“知二得三”意义利用垂径定理及其推论解决相应数学问题要利用时间，思考下天之中做了些什么，是正号还是负号，倘若是，则进步倘若是，并激发学生对数学热爱问题你知道赵州桥吗它是多年前我国隋代建造石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧结晶，它主桥拱是圆弧形，它跨度弧所对弦长为，拱高弧中点到弦距离为，你能求出赵州桥主桥拱半径，弧弧弧弧弧弧已知在中，是直径，是弦，⊥，垂足为求证，弧弧，前三个图均不能，仅第四个图可以！定理辨析例如图，已知在圆中，弦长为㎝，圆心到距离为㎝，求圆半径。例题解根据题意得，⊥在中，根据勾股。

12、足为求证，弧弧，弧弧垂径定理垂直于弦直径平分这条弦，并且平分弦所对两条弧垂径定理证明猜想判断下列图形，能否使用垂径定理解析定理中两个条件直径垂直于弦缺不可，故前三个图均不能，仅第四个图可以！定理辨析例如图，已知在圆中，弦长为㎝，圆心到距离为㎝，求圆半径。例题解根据题意得，⊥在中，根据勾股定理得变式有什么关系变式依然成立吗变式,变式变式归纳如图，为弦延长线上点，求半径关于弦问题，常常需要过圆心作弦垂线段，这是条非常重要辅助线跟踪训练解析提示作垂直于，连接答案画图叙述垂径定理，并说出定理题设和结论题设结论直线经过圆心直线垂直弦直线平分弦直线平分弧直线平分弧想想如果将题设和结论中个条件适当互换，情况会怎样平分弦不是直径直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧弦垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对两条弧平分弦所对条弧直径，垂直平分弦并且平分。

参考资料：

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[20]TOP38九年级数学上册 23.1.1 成比例线段课件 （新版）华东师大版.ppt文档免费在线阅读（第19页，发表于2022-06-24）