1、零点的存在性定理数形结合等方法确定函数零点或其范围即时训练山西大学附中模拟规定记号“⊗”表示种运算,即⊗,设函数⊗且关于的方程为恰有四个互不相等的实数根则的值是大连模拟设方程,的根分别为则解析由题意函数,由于函数函数的图象均关于直线对称,故四个根之和为故选在同坐标系内画出函数的图象,如图所示,则,由,,得,所以故选助学微博函数零点的判定常用的方法有零点存在性定理数形结合解方程研究方程的解,实质就是研究的零点转化思想方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题思想方法融思想促迁移数形结合思想在函数零点问题中的应用典例已知以为周期的函数若方程恰有个实数解,则正实数的取值范围为解析因为当,时,将函数化为方程,其图象为半圆如图所示,同时在坐标系中作出当,的图象,再根据周期性作出函数其他部分的图象如图,将代入得,令,得,由图可知所求实数的取值范围为,答案,方法点睛数形结合思想的本质是转化,即把数的问题转化为形的问题直观解决,或者把形的问题转化为数的问题加以解决,如本题就是利用形函数的图象直观判断直线的大致位臵,建。

2、在,上的根的个数是函数零点的个数问题北京西城二模已知函数,其中表示不超过实数的最大整数若关于的方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是,,解析因为为偶函数,所以当,时,所以,即又,所以,故是以为周期的周期函数,据此在同坐标系中作出函数与在,上的图象如图所示,数形结合得两图象有个交点,故方程在,上有三个根故选当时又,故函数是以为周期的周期函数在同坐标系中,分别作出函数,的图象过定点可知当方程有三个不同的实根时,满足,或解得或故选变式若将本例中变为,则方程在,上所有根的和为解析由本例解析知在,上有六个不同根,不妨设为,由图象关于轴的对称性知,所以答案反思归纳判断函数零点个数的常用方法直接法令,则方程实根的个数就是函数零点的个数零点存在性定理法判断函数在区间,上是连续不断的曲线,且,再结合函数的图象与性质如单调性奇偶性周期性对称性可确定函数的零点个数数形结合法转化为两个函数的图象的交点个数问题画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的取值范围常用的方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围分离参数法先将参数分离得,再转化成求函数。

3、探究当函数在,内有零点时,是否定有二次函数的图象与零点的关系的图象与轴的交点无交点零点个数基础自测函数的零点所在的个区间是解析易知在上是增函数而故函数在区间,上有零点济南质检函数的零点个数为解析函数的零点个数,即是方程的解的个数,是方程的解的个数,也就是函数与的图象的交点个数在同坐标系中作出两个函数的图象,可得交点个数为给出下列命题函数的零点是,和,函数在区间,内有零点函数图象连续不断,则定有二次函数在时没有零点若函数在,上单调且,则函数在,上有且只有个零点其中正确的是解析错误,函数的零点为和,而并非其与轴的交点,与,错误函数在,上有两个零点,但正确当时,二次函数图象与轴无交点,从而二次函数没有零点正确由已知条件,数形结合可得与轴在区间,上有且仅有个交点函数是定义在上的偶函数,且满足当,时,若在区间,上方程恰有四个不相等的实数根,则实数的取值范围是解析由知函数是以为周期的周期函数,又为偶函数,故函数在,上的图象如图所示直线过定点在区间,上方程恰有四个不相等的实数根,等价于直线与函数的图象有四个不同的公共点,结合图形可得实数满足不等式,且,即答案,考点突破剖典例找规律考点例合肥模拟若偶函数满足,且在,时则关于的方程在,上的根的个数是函。

4、零点的个数问题北京西城二模已知函数,其中表示不超过实数的最大整数若关于的方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是,,解析因为为偶函数,所以当,时,所以,即又,所以,故是以为周期的周期函数,据此在同坐标系中作出函数与在,上的图象如图所示,数形结合得两图象有个交点,故方程在,上有三个根故选当时又,故函数是以为周期的周期函数在同坐标系中,分别作出函数,的图象过定点可知当方程有三个不同的实根时,满足,或解得或在,上的根的个数是函数零点的个数问题北京西城二模已知函数,其中表示不超过实数的最大整数若关于的方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是,,解析因为为偶函数,所以当,时,所以,即又,所以,故是以为周期的周期函数,据此在同坐标系中作出函数与在,上的图象如图所示,数形结合得两图象有个交点,故方程在,上有三个根故选当时又,故函数是以为周期的周期函数在同坐标系中,分别作出函数,的图象过定点可知当方程有三个不同的实根时,满足,或解得或故选变式若将本例中变为,则方程在,上所有根的和为解析由本例解析知在,上有六个不同根,不妨设为,由图象关于轴的对称性知,所以答案反思归纳判断函数零点个数的常。

5、值域问题加以解决数形结合法先对解析式变形,再在同平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解即时训练黑龙江哈尔滨模已知函数,则函数的零点个数是山东潍坊期末已知函数,,若函数有三个零点,则实数满足解析时,得,或解得或故选由于,故必须,即,显然时两个函数图象只有个公共点,所以,要使与的图象有三个公共点如图所示,只要,即即可故选确定函数零点所在的区间考点二例设函数,则函数在区间,内均有零点在区间,内均无零点在区间,内有零点,在区间,内无零点在区间,内无零点,在区间,内有零点嘉兴模拟设函数与的图象的交点为若,则所在的区间是解析法当,时,函数图象是连续的,且是解析因为在,上为单调增函数,且,所以函数的零点所在的大致区间是,故选由图象知,所以故选函数零点与其他问题的综合考点三例广东广州模已知是自然对数的底数,函数的零点为,函数的零点为,则下列不等式成立的是解析函数,均为定义域上的单调递增函数,且所以即,所以故选由分别得在坐标系中分别作出与,与,与的图象,由图象可知,所以故选反思归纳函数零点和其他知识相互结合的问题很广泛,但其中的关键还是对函数零点或其范围的确定,在解题中,要善于利用函。

6、方法直接法令,则方程实根的个数就是函数零点的个数零点存在性定理法判断函数在区间,上是连续不断的曲线,且,再结合函数的图象与性质如单调性奇偶性周期性对称性可确定函数的零点个数数形结合法转化为两个函数的图象的交点个数问题画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的取值范围常用的方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围分离参数法先将参数分离得,再转化成求函数值域问题加以解决数形结合法先对解析式变形,再在同平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解即时训练黑龙江哈尔滨模已知函数,则函数的零点个数是山东潍坊期末已知函数,,若函数有三个零点,则实数满足解析时,得,或解得或故选由于,故必须,即,显然时两个函数图象只有个公共点,所以,要使与的图象有三个公共点如图所示,只要,即即可故选确定函数零点所在的区间考点二例设函数,则函数在区间,内均有零点在区间,内均无零点在区间,内有零点,在区间,内无零点在区间,内无零点,在区间,内有零点嘉兴模拟设函数与的图象的交点为若,则所在的区间是解析法当,时,函数图象是连续的,且。

7、在,上的根的个数是函数零点的个数问题北京西城二模已知函数,其中表示不超过实数的最大整数若关于的方程有三个不同的实根,则实数的取值范围是,,解析因为为偶函数,所以当,时,所以,即又,所以,故是以为周期的周期函数,据此在同坐标系中作出函数与在,上的图象如图所示,数形结合得两图象有个交点,故方程在,上有三个根故选当时又,故函数是以为周期的周期函数在同坐标系中,分别作出函数,的图象过定点可知当方程有三个不同的实根时,满足,或解得或故选变式若将本例中变为,则方程在,上所有根的和为解析由本例解析知在,上有六个不同根,不妨设为,由图象关于轴的对称性知,所以答案反思归纳判断函数零点个数的常用方法直接法令,则方程实根的个数就是函数零点的个数零点存在性定理法判断函数在区间,上是连续不断的曲线,且,再结合函数的图象与性质如单调性奇偶性周期性对称性可确定函数的零点个数数形结合法转化为两个函数的图象的交点个数问题画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的取值范围常用的方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围分离参数法先将参数分离得,再转化成求函数。

8、零点的存在性定理数形结合等方法确定函数零点或其范围即时训练山西大学附中模拟规定记号“⊗”表示种运算,即⊗,设函数⊗且关于的方程为恰有四个互不相等的实数根则的值是大连模拟设方程,的根分别为则解析由题意函数,由于函数函数的图象均关于直线对称,故四个根之和为故选在同坐标系内画出函数的图象,如图所示,则,由,,得,所以故选助学微博函数零点的判定常用的方法有零点存在性定理数形结合解方程研究方程的解,实质就是研究的零点转化思想方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题思想方法融思想促迁移数形结合思想在函数零点问题中的应用典例已知以为周期的函数若方程恰有个实数解,则正实数的取值范围为解析因为当,时,将函数化为方程,其图象为半圆如图所示,同时在坐标系中作出当,的图象,再根据周期性作出函数其他部分的图象如图,将代入得,令,得,由图可知所求实数的取值范围为,答案,方法点睛数形结合思想的本质是转化,即把数的问题转化为形的问题直观解决,或者把形的问题转化为数的问题加以解决,如本题就是利用形函数的图象直观判断直线的大致位臵,建。

参考资料：

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