层石墨烯极化率在qFk时明显尖点,可以在图(c)清楚地看到,这表明屏蔽双层石墨烯声子频率将会表现出明显Kohn异常,即qFk时,声子频率中有一个可观察dip结构。很明显从图(c),以及上述我们对于)(q结果分析讨论可以得到,屏蔽声子色散,双层石墨烯将比单层石墨烯表现出更强Kohn异常,二维电子气居中。这导致更强奇异性,明显体现在双层石墨烯屏蔽函数一阶导数dqqd/)(中,而不是在单层石墨烯屏蔽函数二阶导数/)(dqqd上。通过施加栅电压来改变载流子密度从而来调谐Fk值,它可能验证Kohn异常确实与双层石墨烯Fk屏蔽行为有关。事实上,由于qFk时非常明显尖端极化率,双层石墨烯Kohn异常将相当类似于一维Peierls不稳定性,当qFk时,双层石墨烯屏蔽行为本质上类似于一维电子系统。等式()中极化率函数也决定了由自旋密度引起两个磁性杂质之间RKKY相互作用。(在这里,我们假定磁性此,较之普通二维屏蔽,双层石墨烯静电屏蔽被增强一个因素是log。对于内禀双层石墨烯我们可以写出屏蔽库仑势为)]()([)(rqNrqHqerersss,())(xH和)(xN分别是斯图鲁弗(Struve)函数和第二种类贝塞耳(Bessel)函数。在r很大时渐近形式是)(/~)(rqeqrss。由于对于所有没有奇异行为q来说,屏蔽函数是一个恒量,在势能上没有振荡项。这与内禀单层石墨烯或二维电子气屏蔽行为非常不相同。对于内禀单层石墨烯我们有)(SLGNq,())/(FSLGvgqN.内禀单层石墨烯极化率与q成线性增加,)/)(/()(Fveq,这就会导致背景(本底)介电常数)/)(/(*Fvge一次有效增强,即屏蔽库仑相互作用qeqV*/)(。库仑相互作用在实空间中可以表示为rerV*/)(,r为任意值。因此,r较大时,在内禀双层石墨烯中库仑势降为/r,但在内禀单层石墨烯中只降到r/。下面我们提供了零温度系数时外禀(掺杂)双层石墨烯静态极化率,,FEn.T,Kf,)(KkfFK.然后,我们可以将()式写作)()()(intintqqqerra,cos][)(''intKssKsKsKsKraffLgq,()cos][)(''intKssKsKsKsKerffLgq。())(intinterra表示有带内(带间)跃迁引起极化。通过对q方向角积分后,我们有Fkrakqkqqkqkkkdkgmqint)]()([)(,()Fkerqkqkkkdkgmq][)(int。()然后FFFFFFFFFrakqifqfkqkqkqkifkqkqkqifkqNq)(loglog)(int()FFFFerkqifqgqkqkqifqgkqNq)(log)()(int,()log)(FFFFFkqqkqqkqqkqkqf/log`)(FFFFFkqkkqkkqg,()最后,我们得到外禀双层石墨烯静态极化率)]()()([)(FkqqgqfNq。()等式()和等式()是本文得到基本结果,对外禀双层石墨烯极化率进行分析。在图中,我们展示了计算得到静态极化率波矢函数。图(a)和(b)分别展示了所计算得到带内和带间极化率,并与单层石墨稀作比较。图(c)展示是双层石墨烯总极化率。在q时有int)(Nra,)(inter它遵循压缩求和规则,)()/)(()(qNddfdq.对于q较小时,)(intqra减至/Fkq,)(intqer减至/Fkq.这种变化来自()式中重叠因子'ssF。对于单层石墨烯带内(带间)极化率减小(增大)与q增大成线性相关,当qFk时这两种极化正好完全抵消,qFk,因为向后散射被增强,所以随着q接近Fk,总极化率增大,这意味着屏蔽随q增大而增大。因此,尽管双层石墨烯是二维系统,但不具有恒定托马斯-费米屏蔽,直到qFk。该屏蔽存在于单层石墨烯和二维电子气中。图(a)图(b)图:双层石墨烯(浅色)(a)带内,(b)帯间,(c)总静态极化率。并与单层石墨烯(深色)做比较。(c)传统二维电子气静态极化率(虚线)图(c)单层石墨烯和双层石墨烯极化率函数本质区别在于qFk。由于单层石墨烯中Fk-向后散射受抑制,所以总极化率,以及它一阶导数是连续。然而,在双层石墨烯中,大角度散射由于手性特性而增强,这就会引起极化率在qFk奇异行为。尽管在qFk时双层石墨烯极化率是连续,但它有一个锋利尖点,它导数在Fk点是不连续,当q接近Fk时函数发散,即当qFk,//)(Fkqdqqd。除了在qFk区域中是恒定,这种现象与传统二维电子气完全相同,其在Fkq时也有一个尖点。注意,这种非解析行为存在于单层石墨烯极化率二阶导数中,即//)(Fkqdqqd。在较大动量转移范围内,qFk,双层石墨烯极化率接近一个定值(内禀极化率)即log)(Nq,因为在大波矢界限中带间跃迁占主导地位。这与二维电子气在q>Fk时静态极化率迅速降为(/~q)相当不同,而单层石墨烯极化率则随q增大而线性增大。因此,当q较大时,对于单层石墨烯来说,介电屏蔽)/()(Fvegq,而对于双层石墨烯和二维电子气,介电屏蔽)(q。当qFk时,与单层石墨烯相比,双层石墨烯极化率会导致Friedel振荡,。主要振荡项是屏蔽势能,可以表示为)()sin()(~)(rkrkCqkkqerFFTFFFTF,()其中]/)log[(C,除了额外常数C(二维电子气中C),这与二维电子气相似,但是却与单层石墨烯不同,单层石墨烯中Friedel振荡比例为/)cos(~)(rrkrF。双层石墨烯屏蔽函数在qFk时,奇异行为增强与Kohn异常和RKKY相互作用相关,有许多有趣结果,下面我们将进行讨论。双层石墨烯极化率在qFk时明显尖点,可以在图(c)清楚地看到,这表明屏蔽双层石墨烯声子频率将会表现出明显Kohn异常,即qFk时,声子频率中有一个可观察dip结构。很明显从图(c),以及上述我们对于)(q结果分析讨论可以得到,屏蔽声子色散,双层石墨烯将比单层石墨烯表现出更强Kohn异常,二维电子气居中。这导致更强奇异性,明显体现在双层石墨烯屏蔽函数一阶导数dqqd/)(中,而不是在单层石墨烯屏蔽函数二阶导数/)(dqqd上。通过施加栅电压来改变载流子密度从而来调谐Fk值,它可能验证Kohn异常确实与双层石墨烯Fk屏蔽行为有关。事实上,由于qFk时非常明显尖端极化率,双层石墨烯Kohn异常将相当类似于一维Peierls不稳定性,当qFk时,双层石墨烯屏蔽行为本质上类似于一维电子系统。等式()中极化率函数也决定了由自旋密度引起两个磁性杂质之间RKKY相互作用。(在这里,我们假定磁性dA.H.MacDonald(Elsevier,NewYork,),Vol.,andreferencestherein.[]E.McCannandV.I.Fal’ko,Phys.Rev.Lett.,();J.Nilsson,A.H.CastroNeto,N.M.R.Peres,andF.Guinea,Phys.Rev.B,();B.PartoensandF.M.Peeters,Phys.Rev.B,();M.KoshinoandT.Ando,Phys.Rev.B,();I.SnymanandC.W.J.Beenakker,Phys.Rev.B,().[]S.Morozov,K.Novoselov,M.Katsnelson,F.Schedin,D.Elias,J.Jaszczak,andA.Geim,Phys.Rev.Lett.,();K.Novoselovetal,Nat.Phys.,();J.Oostingaetal,Nat.Mater.,().[]E.H.HwangandS.DasSarma,Phys.Rev.B,().[]T.Ando,J.Phys.Soc.Jpn.,().[]B.Wunsch,T.Stauber,F.Sols,andF.Guinea,New.J.Phys.,().[]Y.Barlasetal.Phys.Rev.Lett.,().[]X.F.WangandT.Chakraborty,Phys.Rev.B,(R)().[]E.H.Hwangetal.,Phys.Rev.Lett.,();V.CheianovandV.Falko,Phys.Rev.Lett.,();K.NomuraandA.H.MacDonald,Phys.Rev.Lett.,();S.Adametal.,Proc.Natl.Acad.Sci.USA,().[]W.Kohn,Phys.Rev.Lett.,();A.M.Afnas’evandYu.Kagan,Sov.Phys.JETP,().[]T.Ando,A.B.Fowler,andF.Stern,Rev.Mod.Phys.,().[]S.DasSarmaandE.H.Hwang,Phys.Rev.B,();Phys.Rev.Lett.,().[]R.F.Peierls,QuantumTheoryofSolids,Clarendonpress,Oxford().[]S.DasSarmaandWu-yanLai,Phys.Rev.B,().[]V.A.M.Vozmediano,M.P.Lopez-Sancho,T.Stauber,andF.Guinea,Phys.Rev.B,().[]L.Brey,H.A.Fertig,S.DasSarma,Phys.Rev.Lett.,().Screening,Kohnanomaly,Friedeloscillation,andRKKYinteractioninbilayergrapheneE.H.HwangandS.DasSarmaCondensedMatterTheoryCenter,DepartmentofPhysics,UniversityofMaryland,CollegePark,Maryland-(Dated:April,)Wecalculatethescreeningfunctioninbilayergraphene(BLG)bothintheintrinsic(undoped)andtheextrinsic(doped)regimewithinrandomphaseapproximation,comparingourresultswiththecorrespondingsinglelayergraphene(SLG)andtheregulartwodimensionalelectrongas(DEG).WefindthattheKohnanomalyisstronglyenhancednBLG.WealsodiscusstheFriedeloscillationandtheRKKYinteraction,whichareassociatedwiththenon-analyticbehaviorofthescreeningfunctionatFkq.WefindthattheKohnanomaly,theFriedeloscillation,andtheRKKYinteractionareallqualitativelydifferentintheBLGcomparedwiththeSLGandtheDEG. 中文3740字双层石墨烯屏蔽,Kohn异常,Friedel振荡和RKKY相互作用研究E.H.HwangandS.DasSarmaCondensedMatterTheoryCenter,DepartmentofPhysics,UniversityofMaryland,CollegePark,Maryland20742-4111(Dated:April14,2008)我们用无规则近似计算了双层石墨烯內稟(非掺杂)和外禀(掺杂)时的屏蔽效应,并与相应的单层石墨烯和传统二维电子气结果作比较。
我们发现双层石墨烯中Kohn异常明显增强。
&nb此,较之普通二维屏蔽,双层石墨烯静电屏蔽被增强一个因素是log。对于内禀双层石墨烯我们可以写出屏蔽库仑势为)]()([)(rqNrqHqerersss,())(xH和)(xN分别是斯图鲁弗(Struve)函数和第二种类贝塞耳(Bessel)函数。在r很大时渐近形式是)(/~)(rqeqrss。由于对于所有没有奇异行为q来说,屏蔽函数是一个恒量,在势能上没有振荡项。这与内禀单层石墨烯或二维电子气屏蔽行为非常不相同。对于内禀单层石墨烯我们有)(SLGNq,())/(FSLGvgqN.内禀单层石墨烯极化率与q成线性增加,)/)(/()(Fveq,这就会导致背景(本底)介电常数)/)(/(*Fvge一次有效增强,即屏蔽库仑相互作用qeqV*/)(。库仑相互作用在实空间中可以表示为rerV*/)(,r为任意值。因此,r较大时,在内禀双层石墨烯中文字双层石墨烯屏蔽,Kohn异常,Friedel振荡和RKKY相互作用研究E.H.HwangandS.DasSarmaCondensedMatterTheoryCenter,DepartmentofPhysics,UniversityofMaryland,CollegePark,Maryland-(Dated:April,)我们用无规则近似计算了双层石墨烯內稟(非掺杂)和外禀(掺杂)时屏蔽效应,并与相应单层石墨烯和传统二维电子气结果作比较。我们发现双层石墨烯中Kohn异常明显增强。我们还讨论了Friedel振荡和RKKY相互作用,这与Fkq时,屏蔽非解析行为相关。我们发现,双层石墨烯与单层石墨烯和二维电子气相比,屏蔽,Kohn异常,Friedel振荡和RKKY相互作用具有本质不同。单层石墨烯是由单层碳原子排列在蜂窝状晶格中构成,理论上和实验上都受到了极大地关注,例如其独特电子传输和相对载流子特性表现与无质量手性狄拉克费米子类似。双层石墨烯由两层单层石墨烯组成,目前在技术应用和基础领域方面受到各方关注。单层石墨烯能带结构具有线性色散关系,双层石墨烯在低能量范围具有二阶色散关系,除了没能隙外,这使它与二维半导体系统类似。这项工作目是利用无规则近似计算双层石墨烯极化率(或屏蔽)函数。尽管许多有关单层石墨烯库仑屏蔽理论工作已被报道,但是,关于双层石墨烯库仑屏蔽研究尚未开展。了解双层石墨烯屏蔽效应是至关重要,因为它决定了许多基本特性,例如:电荷杂质通过屏蔽库仑散射进行运输,声子色散中Kohn异常,RKKY相互作用。为了了解双层石墨烯电子特性,有必要研究其屏蔽效应。双层石墨烯在某种意义上介于单层石墨烯和基于半导体传统二维电子气之间,因为在狄拉克点(价带和导带相交)它具有手性零带隙,这与单层石墨烯类似,但是二阶能量色散关系与二维电子气类似。在单层石墨烯中,由于其手性特性,Fk-向后散射被抑制,而在二维电子气中Fk-向后散射在确定低密度低温度载流子传输过程中起着关键作用。我们发现,由于二阶色散关系,双层石墨烯中Fk-向后散射被恢复(甚至被增强),更重要是由于其双层结构所形成对称性。双层石墨烯和单层石墨烯屏蔽特性本质区别,让我们预测,双层石墨烯中运输特性和其他电子特性比单层石墨烯更类似于二维电子气,,尽管双层石墨烯具有零带隙手性特性。双层石墨烯有效哈密顿量在理论文献中已经被很好确立。在低能量范围内哈密顿量减少到()矩阵形式))()((yxyxikkikkmH,()其中),/(Fvm,是层间相互作用常量,Fv是单层石墨烯费米速度。()式可以写成/),(seeKiiKrsK,对应能量)/(tan,/xyKsKkkmsk,s=表示带指标。根据()式,用无规则近似计算极化率和介电函数,我们在理论上得到了双层石墨烯屏蔽函数。静态介电函数可以写成)()(qqeq,()是背景(本底)介电常数,)(q是极化率。静态双层石墨烯极化率可以通过费曼图得到'''''')',()(KssssKssKKssKKKFffLgq,()g是简并因子(由于谷简并和自旋简并,g,),qkk',',ss,表示带指标.msksK/,/)cos'()',('ssKKFss,表示k和'k之间夹角,sKf是费米分布函数,])}([exp{sKsKEf,其中TkB/,是化学势。首先,我们假定T时,内禀(n和FE均为零非掺杂)双层石墨烯导带是空,价带被完全占据。然后,我们有Kf和Kf。由于导带是空,电子从价带到导带有效带间跃迁引起极化。由于带间跃迁,极化率变为)()(qq,]coscos[)()(''KKKKkdgq,()由于qKqK/)cos(cos。()式可以简化为log)(Nq,()/gmN是双层石墨烯态密度。因此,对于所有波矢内禀双层石墨烯极化率是一个常量。(需要注意是,只有当Fkq时,传统二维电子气极化率才是常量。)介电函数变为qqqs/)(,屏蔽波矢logTFsqq,()TFq是二维托马斯-费米屏蔽波矢,/gmeqTF.因此,较之普通二维屏蔽,双层石墨烯静电屏蔽被增强一个因素是log。对于内禀双层石墨烯我们可以写出屏蔽库仑势为)]()([)(rqNrqHqerersss,())(xH和)(xN分别是斯图鲁弗(Struve)函数和第二种类贝塞耳(Bessel)函数。在r很大时渐近形式是)(/~)(rqeqrss。由于对于所有没有奇异行为q来说,屏蔽函数是一个恒量,在势能上没有振荡项。这与内禀单层石墨烯或二维电子气屏蔽行为非常不相同。对于内禀单层石墨烯我们有)(SLGNq,())/(FSLGvgqN.内禀单层石墨烯极化率与q成线性增加,)/)(/()(Fveq,这就会导致背景(本底)介电常数)/)(/(*Fvge一次有效增强,即屏蔽库仑相互作用qeqV*/)(。库仑相互作用在实空间中可以表示为rerV*/)(,r为任意值。因此,r较大时,在内禀双层石墨烯中库仑势降为/r,但在内禀单层石墨烯中只降到r/。下面我们提供了零温度系数时外禀(掺杂)双层石墨烯静态极化率,,FEn.T,Kf,)(KkfFK.然后,我们可以将()式写作)()()(intintqqqerra,cos][)(''intKssKsKsKsKraffLgq,()cos][)(''intKssKsKsKsKerffLgq。())(intinterra表示有带内(带间)跃迁引起极化。通过对q方向角积分后,我们有Fkrakqkqqkqkkkdkgmqint)]()([)(,()Fkerqkqkkkdkgmq][)(int。()然后FFFFFFFFFrakqifqfkqkqkqkifkqkqkqifkqNq)(loglog)(int()FFFFerkqifqgqkqkqifqgkqNq)(log)()(int,()log)(FFFFFkqqkqqkqqkqkqf/log`)(FFFFFkqkkqkkqg,()最后,我们得到外禀双层石墨烯静态极化率)]()()([)(FkqqgqfNq。()等式()和等式()是本文得到基本结果,对外禀双层石墨烯极化率进行分析。在图中,我们展示了计算得到静态极化率波矢函数。图(a)和(b)分别展示了所计算得到带内和带间极化率,并与单层石墨稀作比较。图(c)展示是双层石墨烯总极化率。在q时有int)(Nra,)(inter它遵循压缩求和规则,)()/)(()(qNddfdq.对于q较小时,)(intqra减至/Fkq,)(intqer减至/Fkq.这种变化来自()式中重叠因子'ssF。对于单层石墨烯带内(带间)极化率减小(增大)与q增大成线性相关,当qFk时这两种极化正好完全抵消,qFk,因为向后散射被增强,所以随着q接近Fk,总极化率增大,这意味着屏蔽随q增大而增大。因此,尽管双层石墨烯是二维系统,但不具有恒定托马斯-费米屏蔽,直到qFk。该屏蔽存在于单层石墨烯和二维电子气中。图(a)图(b)图:双层石墨烯(浅色)(a)带内,(b)帯间,(c)总静态极化率。并与单层石墨烯(深色)做比较。(c)传统二维电子气静态极化率(虚线)图(c)单层石墨烯和双层石墨烯极化率函数本质区别在于qFk。由于单层石墨烯中Fk-向后散射受抑制,所以总极化率,以及它一阶导数是连续。然而,在双层石墨烯中,大角度散射由于手性特性而增强,这就会引起极化率在qFk奇异行为。尽管在qFk时双层石墨烯极化率是连续,但它有一个锋利尖点,它导数在Fk点是不连续,当q接近Fk时函数发散,即当qFk,//)(Fkqdqqd。除了在qFk区域中是恒定,这种现象与传统二维电子气完全相同,其在Fkq时也有一个尖点。注意,这种非解析行为存在于单层石墨烯极化率二阶导数中,即//)(Fkqdqqd。在较大动量转移范围内,qFk,双层石墨烯极化率接近一个定值(内禀极化率)即log)(Nq,因为在大波矢界限中带间跃迁占主导地位。这与二维电