1、正项数列前项和满足求数列通项公式令，数列前项和为证明对于任意，都有听前试做由，得由于是正项数列，所以，于是，当时，综上，数列通项公式为证明由于，故„利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不定只剩下第项和最后项，也有可能前面剩两项又因为，所以，所以所以数列通项公式为，数列通项公式为，由有，设前项和为，则„，„，上述两式相减，得„，所以探究若，如何求解解，设数列前项和为，则„„„上述两式相减，得„，探究若，如。

2、用裂项相消法时，要注意消项规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项，特别是隔项相消„„„当为偶数时当为奇数时，所以，为偶数为奇数典题天津高考已知是各项均为正数等比数列，是等差数列，且求和通项公式设，，求数列前项和听前试做设数列公比为，数列公差为，由题意知由已知，有消去，整理得，解得又因为，所以，所以所以数列通项公式为，数列通项公式为，由有，设前项和为考纲要求熟练掌握等差等比数列前项和公式掌握非等差等比数列求和几种常见方法公式法与分组求和法公式法直接利用等差数列等比数列前项和。

3、等比数列中，已知，公比，等差数列满足求数列与通项公式记，求数列前项和解设等比数列公比为，等差数列公差为由已知，得，故，⇒，⇒或舍去所以，所以，由题意，得，„„„当为偶数时当为奇数时，所以，为偶数为奇数典题天津高考已知是各项均为正数等比数列，是等差数列，且求和通项公式设，，求数列前项和听前试做设数列公比为，数列公差为，由题意知由已知，有消去，整理得，解得又因为，所以，所以所以数列通项公式为，数列通项公式为，由有，设前项和为，则„，„，上述两式相减，得„，所。

4、得其和常见裂项技巧错位相减法如果个数列各项是由个等差数列和个等比数列对应项之积构成，那么这个数列前项和即可用此法来求，如等比数列前项和公式就是用此法推导自我查验判断下列结论正误正确打，错误打如果已知等差数列通项公式，则在求其前项和时使用公式较为合理如果数列为等比数列，且公比不等于，则其前项和求„之和时只要把上式等号两边同时乘以即可根据错位相减法求得如果数列是周期为周期数列，那么，为大于正整数答案若数列通项公式为，则数列前项和为解析选„„„„。

5、，有消去，整理得，解得又因为，所以，所以所以数列通项公式为，数列通项公式为，由有，设前项和为，则„，„，上述两式相减，得„，所以探究若，如何求解解，设数列前项和为，则„„„上述两式相减，得„，探究若，如何求解解设数列前项和为，则„„„„，即，利用错位相减法求和两点注意在写出与表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下步准确写出表达式在应用错位相减法求和时，若等比数列公比为参数，应分公比等于和不等于两种情况求解同时要注意等比数列项数是多少裂项相消法求和是。

6、式求和等差数列前项和公式等比数列前项和公式，分组求和法若个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减倒序相加法与并项求和法倒序相加法如果个数列前项中首末两端等“距离”两项和相等或等于同个常数，那么求这个数列前项和可用倒序相加法，如等差数列前项和公式即是用此法推导并项求和法在个数列前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如类型，可采用两项合并求解例如，„„„裂项相消法把数列通项拆成两项之差，在求和时中间些项可以相互抵消，从而求。

7、何求解解设数列前项和为，则„„„„，即，利用错位相减法求和两点注意在写出与表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下步准确写出表达式在应用错位相减法求和时，若等比数列公比为参数，应分公比等于和不等于两种情况求解同时要注意等比数列项数是多少裂项相消法求和是历年高考重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消基本思想，变换数列通项公式，达到求解目常见命题角度有角度型典题新课标全国卷Ⅰ为数列前项和已知，求通项公式设，求数列前项和听前试做由，可知，得，即由，得又，解得舍去或所以是首项。

8、，公差为等差数列，通项公式为，由可知设数列前项和为，则„„角度二型典题已知函数图象过点令，记数列前项和为，则听前试做由可得，解得，则，„„答案角度三型典题正项数列前项和满足求数列通项公式令，数列前项和为证明对于任意，都有听前试做由，得由于是正项数列，所以，于是，当时，综上，数列通项公式为证明由于，故„利用裂项相消法求和时，应注意抵消。

9、答案角度三型典题正项数列前项和满足求数列通项公式令，数列前项和为证明对于任意，都有听前试做由，得由于是正项数列，所以，于是，当时，综上，数列通项公式为证明由于，故„利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不定只剩下第项和最后项，也有可能前面剩两项„„„当为偶数时当为奇数时，所以，为偶数为奇数典题天津高考已知是各项均为正数等比数列，是等差数列，且求和通项公式设，，求数列前项和听前试做设数列公比为，数列公差为，由题意知由已知。

10、历年高考重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消基本思想，变换数列通项公式，达到求解目常见命题角度有角度型典题新课标全国卷Ⅰ为数列前项和已知，求通项公式设，求数列前项和听前试做由，可知，得，即由，得又，解得舍去或所以是首项为，公差为等差数列，通项公式为，由可知设数列前项和为，则„„角度二型典题已知函数图象过点令，记数列前项和为，则听前试做由可得，解得，则，„„答案角度三型典。

11、数列通项公式为，其前项和为，则等于解析选因为数列呈周期性变化，观察此数列规律如下，故因此„已知数列前项和为且，则解析，„„，得„答案设„，则„解析„„答案典题已知数列通项公式是，求其前项和听前试做„„„，所以当为偶数时当为奇数时，综上所述，，为偶数为奇数分组转化法求和常见类型若，且，为等差或等比数列，可采用分组转化法求前项和通项公式为，为奇数为偶数数列，其中数列，是等比或等差数列，可采用分组转化法求和在。

12、后并不定只剩下第项和最后项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面系数，使裂开两项之差和系数之积与原通项公式相等如角度将转化为是解决典题关键典题在错位相减后，前后各剩余两项方法技巧非等差等比数列般数列求和，主要有两种思想转化思想，即将般数列设法转化为等差或等比数列，这思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成不能转化为等差或等比特殊数列，往往通过裂项相消法错位相减法倒序相加法等来求和易错防范在应用错位相减法时，注意观察未合并项正负号结论中形如，式子应进行合并在应。

参考资料：

[1]2016秋三年级科学上册6.1《自转旋翼》课件4大象版PPT文档（ 23页）（第23页，发表于2022-06-24 22:15）

[2]2016秋三年级科学上册6.1《自转旋翼》课件1大象版PPT文档（定稿）（第15页，发表于2022-06-24 22:15）

[3]2016秋三年级科学上册5.4《落叶到哪里去了》课件2大象版PPT文档（ 24页）（第24页，发表于2022-06-24 22:15）

[4]2016秋三年级科学上册5.3《蚯蚓的邻居》课件4大象版PPT文档（ 18页）（第18页，发表于2022-06-24 22:15）

[5]2016秋三年级科学上册5.2《蚯蚓的房前屋后》课件4大象版PPT文档（ 21页）（第21页，发表于2022-06-24 22:15）

[6]2016秋三年级科学上册5.1《探访蚯蚓的家》课件4大象版PPT文档（ 20页）（第20页，发表于2022-06-24 22:15）

[7]2016秋三年级科学上册5.1《探访蚯蚓的家》课件2大象版PPT文档（ 17页）（第17页，发表于2022-06-24 22:15）

[8]2016秋三年级科学上册5.1《探访蚯蚓的家》课件1大象版PPT文档（定稿）（第16页，发表于2022-06-24 22:15）

[9]2016秋三年级科学上册4.3《上夜班的动物》课件2大象版PPT文档（ 16页）（第16页，发表于2022-06-24 22:15）

[10]2016秋三年级科学上册4.3《上夜班的动物》课件1大象版PPT文档（定稿）（第20页，发表于2022-06-24 22:15）

[11]2016秋三年级科学上册4.2《动物怎样过冬》课件1大象版PPT文档（ 20页）（第20页，发表于2022-06-24 22:15）

[12]2016秋三年级科学上册4.1《寻访蚂蚁》课件2大象版PPT文档（定稿）（第31页，发表于2022-06-24 22:15）

[13]2016秋三年级科学上册3.2《果实累累的季节》课件3大象版PPT文档（定稿）（第15页，发表于2022-06-24 22:15）

[14]2016秋三年级科学上册3.1《寻找秋天》课件2大象版PPT文档（ 27页）（第27页，发表于2022-06-24 22:15）

[15]2016_2017学年高一化学必修1教学课件章末复习_第4章《非金属及其化合物》（人教版）PPT文档（定稿）（第38页，发表于2022-06-24 22:15）

[16]2016_2017学年高一化学必修1教学课件章末复习_第3章《金属及其化合物》（人教版） 53页（定稿）（第53页，发表于2022-06-24 22:15）

[17]2016_2017学年高一化学必修1教学课件章末复习_第2章《化学物质及其变化》（人教版）PPT文档（定稿）（第22页，发表于2022-06-24 22:15）

[18]2016_2017学年高一化学必修1教学课件章末复习_第1章《从实验学化学》（人教版）PPT文档（ 27页）（第27页，发表于2022-06-24 22:15）

[19]2016_2017学年高一化学必修1教学课件4.4.2《硫酸和硝酸的氧化性》（人教版）PPT文档（定稿）（第36页，发表于2022-06-24 22:15）

[20]2016_2017学年高一化学必修1教学课件4.4.1《氨的性质与制法》（人教版）PPT文档（ 48页）（第48页，发表于2022-06-24 22:15）