1、在等比数列的基本运算问题中,般是利用通项公式与前项和公式,建立方程组求解,但如果灵活运用等比数列的性质,可减少运算量,提高解题速度助学微博已知等比数列数列,也是等比数列判断数列为等比数列的方法定义法是不等于的常数,⇔数列是等比数列也可用是不等于的常数,,⇔数列是等比数列二者的本质是相同的,其区别只是的初始值不同等比中项法,⇔数列是等比数列在运用等比数列的前项和公式时,必须注意对与分类讨论,防止因忽略这特殊情形而导致解题失误思想方法融思想促迁移分类讨论思想在等比数列中的应用典例设等比数列的公比为,前项和,则的取值范围为解析因为为等比数列,可以得到,,当时,当时,,即上式等价于不等式组或,解式得,解式,由于可为奇数,可为偶数,得综上,的取值范围是,,答案,,方法点睛在应用公式或求和时,应注意公式的使用条件为,而当时,应按常数列求和,即因此,对含有字母参数的等比数列求和时,应分和两种情况进行讨论,体现了分类讨论思想即时训练等比数列中,求及前项和解当时满足条件,因此当时,由得。

2、答案考点突破剖典例找规律等比数列的基本运算考点例吉林长春调研考试等比数列中前三项和,则公比的值为或或高考天津卷设是首项为,公差为的等差数列,为其前项和若成等比数列,则等于高考新课标全国卷Ⅱ改编已知则的通项公式甘肃兰州模拟已知等比数列的前项和,且,则解析当时,显然成立,当时,由题意得,解得,综上,或故选由成等比数列可得,解得故选由,得,则是以为首项,公比为的等比数列,则当时,≨又≧,≨,整理得,解得或舍去答案反思归纳等比数列基本运算的方法策略将条件用,表示,在表示时要注意判断是否为解方程组求出消元时要注意两式相除和整体代入利用,研究结论考点二等比数列的判定与证明例金华十校联考已知数列和满足,其中为实数,为正整数证明对任意实数,数列不是等比数列证明当时,数列是等比数列当时,设为数列的前项和,是否存在实数,使得对任意正整数,都有若存在,求出的取值范围若不存在,请说明理由证明假设存在个实数,使是等比数列,则有,即⇔⇔矛盾≨对任意实数,数列不是等比数列证明≧,又,≨由式及知,≨故当时,数列是以为首项,为公比的等比数列。

3、式设等比数列的首项为,公比为,,则它的通项公式通项公式的推广等比数列的前项和公式公式的推导方法推导等比数列的前项和公式的方法是错位相减法公式,等比数列的常见性质在等比数列中,若,则若数列,项数相同是等比数列,则,,仍然是等比数列在等比数列中,等距离取出若干项也构成个等比数列,即为等比数列,公比为公比不为的等比数列的前项和为,则仍成等比数列,其公比为,当公比为时,不定构成等比数列基础自测高考江西卷等比数列,的第四项等于解析由等比数列的性质和定义进行解题,由等比中项性质得,因,得所以故选已知数列是公比的等比数列,则在,这四个数列中,是等比数列的有个个个个解析若是公比的等比数列,则是等比数列,而不是等比数列高考新课标全国卷Ⅱ等比数列的前项和为,已知则等于解析≧,≨,≨,又≧,≨,≨在等比数列中,则解析由,得,则,即答案高考北京卷若等比数列满足则公比前项和解析由题意得≨,得≨答案考点突破剖典例找规律。

4、等比数列的基本运算考点例吉林长春调研考试等比数列中前三项和,则公比的值为或或高考天津卷设是首项为,公差为的等差数列,为其前项和若成等比数列,则等于高考新课标全国卷Ⅱ改编已知则的通项公式甘肃兰州模拟已知等比数列的前项和,且,则解析当时,显然成立,当时,由题意得,解得,综上,或故选由成等比数列可得,解得故选由,得,则是以为首项,公比为的等比数列,则当时,≨又≧,≨,整理得,解得或舍去答案答案考点突破剖典例找规律等比数列的基本运算考点例吉林长春调研考试等比数列中前三项和,则公比的值为或或高考天津卷设是首项为,公差为的等差数列,为其前项和若成等比数列,则等于高考新课标全国卷Ⅱ改编已知则的通项公式甘肃兰州模拟已知等比数列的前项和,且,则解析当时,显然成立,当时,由题意得,解得,综上,或故选由成等比数列可得,解得故选由,得,则是以为首项,公比为的等比数列,则当时,≨又≧,≨,整理得,解得或舍去答案反思归纳等比数列基本运算的方法策略将条件用,表示,在表示时要注意判断是否为解方程组求出消。

5、解时,由得,于是要使对任意正整数,都有,即对任意正整数恒成立,可得令,则当为正奇数时的取值范围为,,反思归纳等比数列的判定方法定义法若为非零常数或为非零常数且,则数列是等比数列等比中项法若数列中,且,则数列是等比数列通项公式法若数列通项公式写成均是不为的常数,,则数列是等比数列前项和公式法若数列的前项和为常数且,则数列是等比数列如果判定数列不是等比数列,只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可即时训练高考陕西卷设是公比为的等比数列推导的前项和公式设,证明数列不是等比数列解设的前项和为,则,≧是公比为的等比数列,≨当时则对任意的,≧,≨,≧,≨,≨,这与已知矛盾≨假设不成立,故不是等比数列等比数列的性质及应用考点三例高考大纲全国卷等比数列中,则数列的前项和等于设等比数列中,前项和为,已知则等于已知等比数列中则的值为唐山月考在公比大于的等比数列中,则等于解析故选因为,在等比数列中也成等比数列,即成等比数列,所以有,即故选,≧,≨故选由题意及等比数列的性质知,又,≨,或又公比大于,≨≨,即,≨故选反思归纳。

6、元时要注意两式相除和整体代入利用,研究结论考点二等比数列的判定与证明例金华十校联考已知数列和满足,其中为实数,为正整数证明对任意实数,数列不是等比数列证明当时,数列是等比数列当时,设为数列的前项和,是否存在实数,使得对任意正整数,都有若存在,求出的取值范围若不存在,请说明理由证明假设存在个实数,使是等比数列,则有,即⇔⇔矛盾≨对任意实数,数列不是等比数列证明≧,又,≨由式及知,≨故当时,数列是以为首项,为公比的等比数列解时,由得,于是要使对任意正整数,都有,即对任意正整数恒成立,可得令,则当为正奇数时的取值范围为,,反思归纳等比数列的判定方法定义法若为非零常数或为非零常数且,则数列是等比数列等比中项法若数列中,且,则数列是等比数列通项公式法若数列通项公式写成均是不为的常数,,则数列是等比数列前项和公式法若数列的前项和为常数且,则数列是等比数列如果判定数列不是等比数列,只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可即时训练高考陕西卷设是公比为的等比数列推导的前项和公式设,证明数列不是等比数列解设的前项和为,则,≧是公比为的等比数列,≨当。

7、答案考点突破剖典例找规律等比数列的基本运算考点例吉林长春调研考试等比数列中前三项和,则公比的值为或或高考天津卷设是首项为,公差为的等差数列,为其前项和若成等比数列,则等于高考新课标全国卷Ⅱ改编已知则的通项公式甘肃兰州模拟已知等比数列的前项和,且,则解析当时,显然成立,当时,由题意得,解得,综上,或故选由成等比数列可得,解得故选由,得,则是以为首项,公比为的等比数列,则当时,≨又≧,≨,整理得,解得或舍去答案反思归纳等比数列基本运算的方法策略将条件用,表示,在表示时要注意判断是否为解方程组求出消元时要注意两式相除和整体代入利用,研究结论考点二等比数列的判定与证明例金华十校联考已知数列和满足,其中为实数,为正整数证明对任意实数,数列不是等比数列证明当时,数列是等比数列当时,设为数列的前项和,是否存在实数,使得对任意正整数,都有若存在,求出的取值范围若不存在,请说明理由证明假设存在个实数,使是等比数列,则有,即⇔⇔矛盾≨对任意实数,数列不是等比数列证明≧,又,≨由式及知,≨故当时,数列是以为首项,为公比的等比数列。

8、在等比数列的基本运算问题中,般是利用通项公式与前项和公式,建立方程组求解,但如果灵活运用等比数列的性质,可减少运算量,提高解题速度助学微博已知等比数列数列,也是等比数列判断数列为等比数列的方法定义法是不等于的常数,⇔数列是等比数列也可用是不等于的常数,,⇔数列是等比数列二者的本质是相同的,其区别只是的初始值不同等比中项法,⇔数列是等比数列在运用等比数列的前项和公式时,必须注意对与分类讨论,防止因忽略这特殊情形而导致解题失误思想方法融思想促迁移分类讨论思想在等比数列中的应用典例设等比数列的公比为,前项和,则的取值范围为解析因为为等比数列,可以得到,,当时,当时,,即上式等价于不等式组或,解式得,解式,由于可为奇数,可为偶数,得综上,的取值范围是,,答案,,方法点睛在应用公式或求和时,应注意公式的使用条件为,而当时,应按常数列求和,即因此,对含有字母参数的等比数列求和时,应分和两种情况进行讨论,体现了分类讨论思想即时训练等比数列中,求及前项和解当时满足条件,因此当时,由得。

参考资料：

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