在 0≤ < 1, i = 1, ,n.的情况 下,可以得到不等式: (4) = ni1max i B将被称之为显性因素 。
引理 2. 令 B是一个 d.d.矩阵 , 并且令 1-B = A = (aij ):然后,让 i = 1,… ,n, (5) ,iiib)1(d e t BB I那么 Bi 是 bii的余因子 , 然 后 (6) .aaiijji i, j 之前的这两个引理都可以在不等式一书的 [3,节 4, 6, 和 7].被发现 (6) 由此我们可以说,每一列的 逆矩阵 元素的最大,而模数是主对角线。
假设一个非奇异 的 n× n的矩阵 A进行不旋转的高斯消去 ,当经过 k步的排除完成之后 , 我们会得到一个尚未处理的 n-k矩阵。
这个矩阵有个另外的称呼 -源矩阵(经过 k步之后 ) 或者称之为 Schur补 . 在后一种情况下,它是指 A/A( );当 (7) .,...,1 k 引理 3.它 认为 (8)\ ,'/ 1 BAA 当 B = 1A : 高斯消元法 这是一的众所周知的联系 (看 , 举个例子 [4, Sec. 0.7.3]). 令 nkjia kij ,...,1, 是 Schur补的这项。
)(/ AA , 是指数集 (7). 不等式如下: (9) ijjikijkjin aaA,)(,,m axm ax( ) A被称为生长因子。
d.d.矩阵的性质和高斯消去法是广为人知的。
我们将会在第三节陈 述以下我们需要的引理 引理 4.令 B∈ Mn(C) 是一个 d.d.矩阵且具有航优势因子 i (见 (3)). 然后我们可以得出 : (1) 高斯消去法在任何对角旋转规则下适用于 B。
(2) 对角占优矩阵具有积极的遗传属性。
换句话说,每个 Schur 补 B/B( )同样是一个 d.d.矩阵 .此外 ,对每一个 i 来说, 行优势因子 i . 是超越不了 B/B( )的。
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