1、是首项为，公比为的等比数列．..规律总结般地，若给出的数列递推关系式或与的关系式，通过适当变形，能够变形为与的关系这里般为常数或的次式指数式．或变形为与的关系式等，可用换元转化法求解．形如的递推关系定可变形为的形式令，则即可用等比数列求解．数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的题型，对于等差数列等比数列的求和主要是运用公式．些既不是等差数列，也不是等比数列的求和问题，般有以下四种常用求和技巧和方法．专题二⇨数列求和问题已知等差数列中，若，则数列的前项和等于导学号分析数列为等差数列，，.解得规律总结若数列为等差或等比数列或可转化为等差或等比数列，则用公式法求和．，.，是首项为，公差为的等差数列，其前项的和为.求数列，的前项和.导学号分析。

2、后利用等差等比数列的相关知识解决．要注意发挥两个基本量，或，的作用，重视中项及性质的应用．注意观察条件中所给数列项的“下标”的构成规律．然后确定解题的思路步骤及注意事项，完成解答．并进行必要的检验．到由于数列中每项均裂成正负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必然是样多的，切不可漏写未被消去的项．若为等差数列，则求的各项和可用裂项求和法求解，此时.设数列为．求此数列前项的和.导学号分析这个数列的每项都是个等差数列与个等比数列的对应项的积，因此可以用错位相减法．解析由，得，当时，规律总结若为等差数列，为等比数列，则求前项和用错位相减法求解．，当时，，，.专题三⇨等差等比数列的判定或证明济南市模拟已知数列满。

3、从上到下记作，则故．从而.当时，以上个等式两端分别相加，得，即.又.显然也适合上式，的通项公式为.规律总结因为，所以形如型递推关系式求通项.设，若可求和，则用累加法求解．若是关于的次函数，累加后可转化为等差数列求和若是关于的二次函数，累加后可分组求和若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和．在数列中，求通项.导学号分析条件式可变形为，当变化时，除倍外，后项的分子都是前项的分母，逐项相乘可以消去，故用累乘法求解．解析，，以上个等式左右两边分别相乘得，即，且时，也适合上式.规律总结若数列满足，其中数列前项积可求，则可用累乘法求.已知数列满足求已知数列满足求通项公式.导学号解析由两边取倒数得，数列是首项为，公差为的等差数列.，．又，数。

4、，.不同情形考虑构造转化思想给出与的关系式或递推关系式研究数列时，常常要通过变形构造新列转化为等差等比数列求解．四川理，设数列，的前项和满足，且成等差数列.导学号求数列的通项公式记数列的前项和为，求使得成立的的最小值．分析求通项公式可以用求解先依据的通项确定求的前项和方法，求和后解不等式确定的最小值．专题六⇨等差等比数列的综合问题解析由已知，有，即．从而，.又因为成等差数列，即．所以，解得.所以，数列是首项为，公比为的等比数列．故.由得.所以.由.因为，所以.于是，使成立的的最小值为.规律总结解答综合应用问题的首要环节是审题，审题时要注意细节，抓住关键字词句，边读边译，将题目叙述的条件等价转化为数学关系式或解题语言，然。

5、就提示了变形方向．求出后即可求得.解析证明时．将上述式子变形，得．又，.数列是以为首项，为公差的等差数列．由知，.当时当时，.数列的通项公式为.规律总结已知条件式，证明关于或的个表达式成等差或等比数列，问题本身就给出了条件式的变形方向，可依据等差等比数列定义，结合对条件式变形构造新数列求解．所谓数阵是指将些数按定的规律排成若干行和列，形成图形，也称之为数表．常见数阵形式有正方形三角形长方形圆多边形花瓣形十字形等．专题四⇨以数阵为背景的数列问题将所有奇数按如图所示排成数阵，第行最右边的数是.导学号解析解法设第行左边第个数为，则，把这些式子左右两边分别相加，得.又每行都是公差为的等差数列，且第行有个数，则第行最右边的数是.解法将数阵最右边列。

6、此数列的通项公式为，而数列是个等差数列，数列是个等比数列，故采用分组求和法．规律总结如果个数列的通项公式能拆成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么可用分组求和法求解．解析.求和.导学号分析此数列的通项公式为，而可以分解成两项的差，于是可以采用裂项相消法求和．解析，．规律总结如果数列的通项公式可转化为类似于的形式，常采用裂项求和的方法，特别地，当数列的通项公式是关于的分式形式时，可尝试采用此法．使用裂项相消法时要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项．注意数学必修人教版新课标导学第二章数列章末整合提升知识结构专题突破课时作业知识结构专题突破数列的通项公式是数列的核心之，它如同函数的解析式样，有解析式便可研究其性质而有了数列的通项公式。

7、，.导学号证明数列是等比数列，并求出的通项公式设数列满足，证明对切正整数，有.分析“证明数列是等比数列”这问题本身就指出了．“条件式”的变形方向，即化为的形式．求的通项公式，由可想到试用逐差“累加法”．由的结论可求，由于，联想到裂项求和法，可找到解题途径．解析由，可得，是首项为，公比为的等比数列，即由题意得..规律总结解答数阵问题时，关键是分析构成数阵的各数的变化特点，如等差等比奇数偶数乘方等正负和差等．找出其规律，然后利用等差等比等数列知识求解．等比数列的前项和为，已知成等差数列，则的公比为.导学号解析等比数列的前项和为，由成等差数列得，即，解得的公比.在数列的应用问题中，常常渗透函数思想方程思想分类讨论思想转化化归思想等．专题五⇨数列中的数学思想数列的前项和。

8、公比为的等比数列．故.由得.所以.由.因为，所以.于是，使成立的的最小值为.规律总结解答综合应用问题的首要环节是审题，审题时要注意细节，抓住关键字词句，边读边译，将题目叙述的条件等价转化为数学关系式或解题语言，然后利用等差等比数列的相关知识解决．要注意发挥两个基本量，或，的作用，重视中项及性质的应用．注意观察条件中所给数列项的“下标”的构成规律．然后确定解题的思路步骤及注意事项，完成解答．并进行必要的检验规律总结解答数阵问题时，关键是分析构成数阵的各数的变化特点，如等差等比奇数偶数乘方等正负和差等．找出其规律，然后利用等差等比等数列知识求解．等比数列的前项和为，已知成等差数列，则的公比为.导学号解析等比数列的前项和为，由成等差数列得，即，。

9、为.导学号求数列的通项求数列的前项和.解析，又，数列是首项为，公比为的等比数列，．当时，，当时当时得又也满足上式，．规律总结.函数思想等差数列的通项是的次函数，前项和是的二次函数等比数列的通项和前项和都是的指数型函数实际解决问题，有时借助于函数的知识可更方便解决方程思想等差比数列的通项公式与前项和公式中含有这五个基本量，已知其中任意三个，通过解方程可以求出其余两个分类讨论思想当数列问题所给的对象不宜进行统研究或推理时，需通过分类来解决，如运用等比数列求和公式时，需对公比分和两种情况进行讨论与的关系需分或两种情况讨论等差数列的单调性需分，和或.对切正整数，有.已知数列中.导学号求证数列是等差数列求通项公式.分析已知与的关系可用变形，欲证是等差数列，即证常数，。

10、中，是数列的前项和，且，求.导学号解析将变形为.将代入并化简，得.由已知可求得.数列是等差数列，公差为，首项为.规律总结已知或与之间的关系式求通项，般用求解时，.而时，也适合上式．数列的通项公式为，.已知数列中且，求数列的通项公式.导学号解析由，得.不同情形考虑构造转化思想给出与的关系式或递推关系式研究数列时，常常要通过变形构造新列转化为等差等比数列求解．四川理，设数列，的前项和满足，且成等差数列.导学号求数列的通项公式记数列的前项和为，求使得成立的的最小值．分析求通项公式可以用求解先依据的通项确定求的前项和方法，求和后解不等式确定的最小值．专题六⇨等差等比数列的综合问题解析由已知，有，即．从而，.又因为成等差数列，即．所以，解得.所以，数列是首项为。

11、解得的公比.在数列的应用问题中，常常渗透函数思想方程思想分类讨论思想转化化归思想等．专题五⇨数列中的数学思想数列的前项和为.导学号求数列的通项求数列的前项和.解析，又，数列是首项为，公比为的等比数列，．当时，，当时当时得又也满足上式，．规律总结.函数思想等差数列的通项是的次函数，前项和是的二次函数等比数列的通项和前项和都是的指数型函数实际解决问题，有时借助于函数的知识可更方便解决方程思想等差比数列的通项公式与前项和公式中含有这五个基本量，已知其中任意三个，通过解方程可以求出其余两个分类讨论思想当数列问题所给的对象不宜进行统研究或推理时，需通过分类来解决，如运用等比数列求和公式时，需对公比分和两种情况进行讨论与的关系需分或两种情况讨论等差数列的单调性需分，和。

12、可求出任项及前项和，所以求数列的通项往往是解题的突破口和关键点．专题⇨求数列的通项公式写出下面各数列的个通项公式导学号，.分析观察法是求数列的通项公式的常用方法，先观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数的内在联系，从而归纳出数列的通项公式．解析注意各项的分子分别是,分母比分子大，该数列的通项公式为.奇数项为正，偶然项为负，可用来实现，而各项分母可看作各项分子均为，该数列的通项公式为.各项可看作，该数列的通项公式为．规律总结般地，已知数列的前几项求数列的通项公式，可用观察归纳法求解．观察时要注意符号规律，增减规律，必要时先统其大小关系或分子分母的变化规律．整理成相同的结构形式．横向看各项之间的关系，纵向看各项与其项数之间的关系，从而归纳得出结论．已知数列。

参考资料：

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